Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Покажем, что множество йс= [и: и~Уч, й (и) (С[ компактно в метрике С,[а, Ь] при любом С ) О. В самом деле, из неравенства й (и) ( С следует, что гпах ( и (() ; '= 1(и((с -=. С, и<~«Ь (и(() — и(т) ~ (С(1 — т,т, С тая [а, Ь] для любой функции и(() ен йс. Это значит, что множество функций йс равномерно ограничено и равностепенно непрерывно на отрезке [а, Ь].
В силу теоремы Арцела тогда из любой последовательности [и„(()] ен йс можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой непрерывной функции и(1) равномерно на [а, Ь]. Убедимся в том, что и(1) ен йс. Прежде всего, из замкнутости У в метрике С,[а, Ь] и условия ии(() яУ, й=!, 2, ... следует, что и(() ен У. Далее, в неравенстве й (и„) (С можно совершить предельный переход по соответствующей подпоследовательности и получить, что и(() енСт[а, Ь] и й(и)-=С.
Это значит, что и (() ен йс, Тем самым компактность множества йс в метрике С,[а, Ь] доказана. Следовательно, функция й (и) = 1(и(1 удовлетворяет всем требованиям определения 1 и может служить стабилизатором задач минимизации в метрике С,[а, Ь]. Аналогично показывается, что в качестве стабилизатора здесь можно взять функцию й(и) = ~1 и — й~(ст, где й=и(() — известная функция из С~[а, Ь].
Пример 5. Остановимся на примерах стабилизаторов для задач минимизации /(и) на множестве У: — С„[а, Ь]. Здесь С,"[а, Ь] — банахово пространство гп раз непрерывно дифференцируемых г-мерных вектор-функций с ко(йи(О печной нормой ~(и((с =~ гпах ~ — „,,—.)~,.Сходимостьпоии<! <и ~ ~=0 следовательности [и,(()) к и(() в метрике С',"[а, Ь] означает равномерную на [а, Ь] сходимость последовательностей ниии ((]1 иии (О ] к — „, при каждом (=О, 1, ..., и. Пусть У 170 замкнуто в метрике С,"[а, Ь), а (7 непусто и содержит хотя быодну точку и изН,+'[а, Ь'1 (см. обозначения в З !.1).
Рассуждая по аналогии с примером 3, можно показать, что стабилизатором здесь можно взять функцию Другим стабилизатором в задачах минимизации в С, [а, Ь) может служить функция где у сопз1, 0:-у(1. Эта функция определена на банаховом пространстве С, ' т[а, Ь) т раз непрерывно дифференцируемых вектор-функций и (1) = (и' (1), ..., и'(1)) с нормой 11и11 ., т = ь) (и). Если множество (7 замкнуто в метрике С, [а, Ь1 и хотя бы одна точка минимума 7(и) на (7 принадлежит пространству С,' т[а, Ь), то по аналогии с примером 4 нетрудно показать, что ь)(и) а самом деле является стабилизатором такой задачи в метрике С, [а, Ь1.
Пример б. Пусть рассматривается задача минимизации функции l(и) на множестве с/~Ц[а, Ь1, где 1( (р(оо. Пусть сг' замкнуто в метрике Е'[а, Ь"1 и хотя бы одна точка минимума принадлежит пространству Н,та [а, Ь', или С, ' т[а, Ь) при каком-либо целом пг)0. Тогда и качестве стабилизаторов в метрике 7.' [а, Ь] можно взять гз(и) — — 11и11з„.
~ или ь) (и) =11и11с'" т соответственно. Это следует из того, что равномерная сходимость функции на [а, Ь; 'влечет за собой сходимость по норме пространс ва Ел [а, Ь). П р и м е р 7. Наконец, приведем пример стабилизатора в метрике пространства 7.г (а, Ь) Пусть сГ множество из Ь,'(а, Ь), замкнутое в метрике этого пространства, пусть множество сг, точек минимума Г ункцни уги) нз Г непусто.
Предположим, что сГ„содержит коти и одну точку и (Г) гя У" (а, Ь1. Здесь под У'(а, Ь) понимается 171 банахово пространство вектор-функций и (1) = (иг (1), ..., иг (1)) с огра- ниченным изменением; нормой в этом пространстве является величина ! и [у — и (а) '+ !'„(и), где У (и) — полное изменение функции и (1) на отрезке [а, Ь]. Напомним, что функция и (П имеет ограниченное « изменение на [а, Ь], если верхняя грань суммы ~р ~и(1;) — и (1;,), г= ! по всевозможным разбиениям [1/) = (а=1.
< 1, «... 1„= Ь) отрезка [а, Ь] ограничена равномерно по л -.1, а величина !/ (и) = анр ьцр У, и(1!) — и(1;,), «~! 1/,.1; называетсн полным изменением и (1) на [а, Ь) ([11], гл. У! 4 2). Про- странство У'[а, Ь] является яодпространством Е![а, Ь]. Рассмотрим функцию О (и) = ' и ', = и (а),'+ УЬ (и) на множестве Е/и =-(/[) У' [а, Ь[. По условию множество Е/«П У' [а, Ь) непусто. Следовательно, ненусзы множества (/ц и (/«~ — — (/ П (/ Кроме того, й (и) ==-0 на Юа. Покажем, что множество И = [и: и щ Е/ц, й (и) < С] компактно в метрике Ц [а, Ь] при любом Стеб. В самом деле, из неравеяства О (и) С следует 1 и (1) - ' и (а) + и (1) — и (а) -.:- ' и (а) + !'ь (и) < С нри всех 1щ [а, Ь] для любой функции и(1) из (!С. Далее, считая для определенности и(1) ими (Ь) при 1)Ь, будем иметь Ь ([„(1 ! ) и(1)]л1 (Уь~т(и) «1 ~ ~У~-,т(и) У~ („)]«/, а а а а-гт «-1-т ~ У„(и) П вЂ” ~ У~~ (и) Л .= 2Ст ь а при всех т) 0 н всех и (1) щ !!с.
Следовательно, множество функ- ции й . равномерно ограничено и ранностепенно непрерывно по норме Е![а, Ь]. Это значит ([204], стр. !14; [87], стр. 324 †3), что нз любой последовательности (и« (1)) щ йг можно выбрать под- последовательность, сходящуюся в метрике Ее[а, Ь] к некоторой функции и (1) сн Е', [а, Ь]. Убедимся в том, что и (1) щ 1) . ! !режде всего, тан как и«(1)щ(/, й=1, 2, ..., а С замкнуто в метрике Е! [а, Ь], то и (1) еи (/. Остается показать, что и(1) щ У']а, Ь] н О(и). С. В силу теорем Хе«ли (]11], стр.
366 — 369) нз [и«(1)] можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся в каждой точке отрезка [а, Ь] к некоторой функции и (1) са Уг [а, Ь]. Не умаляя общности, можем считать, что сама последовательность (и; (1)] гходится к о (1) при всех 1 щ [а, Ь] и и и (1) в метрике Е; [а, Ь[. Но нз сходимости (и«(1)) к и (1) в Е', [а, Ь] следует существование подцоследовательности, сходящейся к и (1) 172 почти всюду на [а, Ь] Ц! [], стр.
388). Поэтому, изменив функцию и (1) на множестве меры нуль, можем считать, что и (1) с о (1) гн рг [а, Ь]. ч Наконец, из соотношений, и(а) + ~ ! и(1;) — и (гг,),=!цп ([и„(а) + е аь а + ~' [не(1г) — ьь(1; г) ) <С, справедливых для любого конечного г=! разбиения [1г) отрезка [а, Ь], следует, что (га (и) <С.
Компактность Ь множества () в м.трике Ц [а, Ь] доказана Таким образом, функция () (и) = [ и 'к обладает ссойствами стабилизатора в метрике 1.', [а, Ь[. Как видно из приведенных примеров, при построении стабилизаторов весьма полезны знания критериев компактности множеств в используемых метрических пространствах, георем вполне непрерывного вложения одного функционального пространства в другое. С помощью теорем вложения [35, (57, [89, 204] аналогично могут быть построены стабилизатооы лля задач минимизапин в пространгтвах Ср (6), С~ (6) и других, где 6 — некоторая заданная область из и-мерного евклидова пространства У п р а ж и е н и я. ! Можно ли взять функцию () (и) = г = ) (, 'и (П,з+ и (1) !з) Ж в качестве стабилизатора а метрике С [О, !] а ! и задаче минимизации функции 1 (и) =~ ' и (1) зг(1 на множестве С= =А~[0, )Р 2.
Пусть функция 1(и)= гпах и(1),+ гпах,'и(1), мннимнзиа<г<!' о<!<! руется на множестве () =Сз [О, )]. При каких т, р функция () (и)= 1 т [' 'кч ~ очи (1) 'л у — о1 может служить стабилизатором этой задачи в а г=! метрике С' [О, )]у ! 3. Какие из функций () (и)=~ ! и (1) лг(1, () (и) = шах,! и(1) '„ е а<!<! 1 () (и) =~ ([ и (1) + 'и (1) ) г(1 и в каких метриках могут служить стаби! лизатором в задаче минимизации 1 (и) = ] ! и (1) ' Л на множестве (Г= о — !.,[о, (р 4. Для задачи минимизации функций иа выпуклом замкнутом множестве из 1.р [а, Ь[, ! (р <+со привести примеры слабых стабилизаторов 5. Пользуясь теоремами вложения из книги [204] показать, что шаР [и(з): , 'и (з); м„,<)г <со~ из Им~х (6) компактен в метРнке Тггл+г Н'" (6) при всех яг)0 (обозначения см.
а 4 !.!). Опираясь на этот факт, предложить стабилизатор для задачи минимизации функций на множествах (г иэ Нм (6) в метрике Н™ (6). [73 6. Доказать. что если Яг(и) и 1)а(и) — р-стабилизаторы !слабые стабилизаторы) с одной и той же областью определения г/а, то ь) (и)ь игьгг(и)+ааг)з(и), ест~в, иг —.-.О, аз+из) О также является р-стабилизатором [слабым стабилизатором!. $ 3. Нормальное решение Остановимся еще на одном аспекте задач минимизации. В тех случаях, когда множество [/ точек минимума функции /(и) на (/ состоит более чем из одной точки, можно поставить задачу об отыскании наилучшей в некотором смысле точки этого множества.
Например, может возникнуть задача об определении точки и, е- :[/„ближайшей к некоторой фиксированной точке й в некоторой метрике р„т. е, р,(и„й) = гп1р,(и, и). ггыи„ В более общем виде подобную задачу можно сформулировать так: на множестве !/о ы [/ задана функция Р(и), причем [/й = [/о П(/„~ ([) и требуется найти такую точку и еи (/а, в которой [) (и) достигает своей нижней грани на (/а. Определение 1, Точку и„е=(/„, назовем нормальным решением задачи (1.1) гга функции [з (и) или, короче, ьа-норлгальным решением задачи (1.1), если [п1 Й(и) = И (и,). ио В задачах оптимального планирования функция [г(и) может выражать собой стоимость затрат на организационные и технологические перестройки при переходе от существующего состояния производства к его новому состоянию, соответствующему плану и.
Тогда среди всех оптимальных планов и еи [/„естественно выбрать тот план иа, для которого стоимость затрат Р(и„) минимальна. Таким образом, в данном случае наилучший оптимальный план представляет собой !1-нормальное решение задачи (1.!) !10, 171. Следует подчеркнуть, что задача определения ь)-нормального решения 2 (и) -~ [п1; и ~ [/а, (1) весьма осложняется тем, что множество (/а задано неявно, и оно лишь в редких случаях может быть точно и конструктивно описано. 1(ак было замечено выше, задача описания множества [/а особенно сложна в том случае„ 174 когда исходная задача (1.1) некорректна в требуемой метрике.
Рассмотрим еще один аспект задачи (1), связанный с явлением неустойчивости множеста Уй при неточном задании функции. А именно, пусть вместо точного значения функции ((и) известны лишь его приближения (ь (и), й= 1, 2, ..., и пусть !пп (У(и) — У„(и)) =0 при каждом а со и ~ (/. Тогда для отыскания 11-нормального решения задачи (1.1) можно попытаться нанти множества У$ = =(ш пей У, /ь(и)=(п1/„(п)=/Д и точки и„е-=(/3 из и условия Р(иэ)оо(п111(и), Ь=1, 2, ..., а затем в каче- и," стае приближения к 11-нормальному решению взять точку ил с достаточно большим номером й. При этом неизбежно возникнет вопрос: будет ли последовательность (и„) сходиться ко множеству 11-нормальных решений в требуемой метрике? Оказывается, ответ на этот вопрос в общем случае отрицательный, поскольку предыдущие действия могут привести к большим погрешностям в определении ь)-нормального решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
