Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Точнее, пусть У вЂ” метрическое пространство с расстоянием р (и, о) между точками и, о е У, и пусть р (и, У,) 1п1 р (и, о)— сии, расстояние от точки и до множества У,. Задача !!. По заданным точностям е)0, б>0 найти точку икь нв У такую, что (((иеь)-У / ~е, р(и,э У,)мб. (3) Заметим, что в одной и той же задаче минимизации на множестве ~l могут быть введены, вообще говоря, различные метрики.
Тем не менее, выбор подходящей метрики на (/ не совсем произволен и определяется ососенностями конкретной задачи, характером проводимых исследований, требованиями практики. В конечномерных задачах минимизации, когда и=(и', ..., и'"), чаще все!о выбирают евклндову метрику р (и, о) = ~ ! и! — о',' возможны случаи, когда удобнее пользоваться метриками иа ',!у р(и, о)= и!ах !и! — о',' или р(и, о)=! ~~ !и' — и!''!и! !<!<ус '2=!' 1 ~ р < !г т, и др. В задачах оптимального управления, где и=и(!)=(иа(!), ..., и" (!)), (в<((Т, многие исследования удобно проводить в метрике Ц((в, Т1, когда (г ! !у2 р(и, о)=(~ ~', ~ис(!) — пс(!)!" Ж) .
В вопросах приближез,е=-! ния функций, минимизации функционалов, связаннь|х с интегральными или дифференциальными уравнениями математической физики, возможно использование более сложных метрик, гарантирующих близость в среднем или равномерную близость не только самих функций, но и их производных до определенного порядка. Некоторые конкретные примеры метрик, используемых в экстремальных задачах, были приведены в ~ 1.1; см. также Ц 2, 5. Для приближенного решения задачи ! достаточно с помощью какого-либо метода построить любую минимизирующую последовательность ',ил)! ил~У, 1=1, 2, ...; )пп /(ил)=)„(4) и в качестве искомой величины /„удовлетворя!он!ей условию (2), взять значение функции l (ив) с достаточно большим номером й.
Можно попробовать воспользоваться последовательностью (4) и прн рен:енин задачи 11 и, как зто иногда делают на практике, попытаться взять в качестве искомой точки и, м удовлетворяющей условиям (3), точку ил с достаточно большим номером й. Однако здесь сразу возникает вопрос: будет ли такая точка и; близка ко множеству (/„в требуемой метрнкеу Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Пусть у (и) =- ив (1-ь иа)- ! при и =-. О, /(и)=-О прп и<0; (2'=Еа=( — со<и<со), Очевидно, 6 Ф и Васильев !6! здесь /„ = О, (/,„ = [ьн и = О). Последовательность иь = й, А = 1, 2,, является минимизирующей: !'пп l (й) = 6. Но она не сходится к (/„в метрике Е' и, более того, р (иь, (/ ) = /г -~ со.
П р и м е р 2. Пусть требуется минимизировать функ- 1 цию /(и) =~х'(/)й, где х(/) является решением задачи о Коши: х(/) = и(/), 0»/» 1, х(0) =О, а управление и = = и(/), 0»/» 1, принадлежит множеству (/ ограничен- ных измеримых функций, удовлетворяющих неравенству ,'и(/)!»1 почти всюду на 0»/»1. Метрика на мно- жестве (/ пусть задана нормой !!и! пространства /.,[О, Ц или /. [О, Ц. Очевидно, в этой задаче 1 =О, причем нижняя грань / достигается на управлениях и„ (/), почти всюду на О » / » ! равных нулю, и только на них.
Последовательность и~ (/) = з)п (2пй/), О» /-=. 1, /г = 1, 2, ..., является минимизирующей для этой задачи. В самом деле, хь(/) =х(/, и,) = (2пл) '[1 — сов (2па/)], А= 1, 2, ..., так что 0»,/(и~)=(З/8)п-Чг-" '— 0 при А- со. Однако (иь(/)) не сходится к и„(/)=О нн в норме /,[О, Ц, ибо 1 [и» вЂ” и„!с,=~а!и'(2пй/)Й=1/2, ни тем более в норме /.
[О, Ц. П р и м е р 3. Рассмотрим задачу минимизации функции ! ./(и) =~ и'(/) с// на множестве (/=С[0, Ц. Здесь /,„=О о и (/„состоит из единственной точки и, = и (!) =О. Возь- мем произвольную минимизирующую последовательность: 1 ]и,(/)] ен С [0, Ц, 1!т ~ и[(/) г//=О. Имеем: ! иа — и, [Е = ' о 1 = ~ и,". (/) Ш-~ 0 прн л- оо. Это означает, что любая а минимизирующая последовательность в рассматриваемой задаче будет сходиться к оптимальной точке по норме /.,[О, Ц. В то же время существуют минимизирующие последовательности, которые не сходятся к и, (/) по норме С[0, 1,'.
Примером такой последовательностй может слу- жить '; 1 —,:2й/ — 1, 0 =-/(1/й, оа(/) =-' [ О, 1//г » ! » 1, й = 1, 2, ... !62 В самом деле, ! о„— и» (7, = 1!(Зя)-ь О при я — ~ со, а ! о» вЂ” и, ~ с = 1 тг О. Пример 4. Пусть l(и)= гпах ~и(г)), У С[О, 1]. о<~<~' Тогда l, =О, У„= [и, (Г) =О). Здесь любая минимизируюшая последовательность, очевидно, сходится к и„ (() по норме С[О, 1!. Однако, если мы захотим построить последовательность [и,(Г)), сходящуюся к и, (!), скажем, равномерно на [О, 1) вместе со своей производной, то должны проявить осторожность при выборе минимизируюших последовательностей, ибо не все из них будут сходиться к и„(Г) в указанной метрике, Например, и»(Г) = = з!и (И)!Й, )г= 1, 2, ..., сходится в этой метрике к и„(!), а у минимизирующей последовательности с»(!) = =.
з!п)г(!Ац"-, й=!, 2, ..., производная (о»(!)) не сходится к и„(г) по норме С[О, 1). Эти простые примеры показывают, что в одних задачах минимизации любая минимизирующая последовательность будет сходиться к оптимальной точке в требуемой метрике, в других задачах могут существовать минимизирующие последовательности, не обладающие таким свойством. Кроме того, одна и та же задача может обладать указанным свойством в одной метрике и не обладать им при выборе другой метрики на множестве У. Таким образом, в зависимости от выбора метрики задача (!) может быть отнесена к одному из двух классов задач, которые принято называть корректно поставленными и соответственно некорректно поставленными задачами минимизации.
Перейдем к более строгим формулировкам. Определение !. Задача (1) называется корректно поставленной в метрике р или, короче, р-корректной, если 1) У =-1п! /(и)) — оэ и множество У„=(иыУ: и l(и) = l,[ непусто; 2) любая минимизирующая последовательность (и») в этой задаче р-сходится ко множеству У„, Если нарушено хотя бы одно из условий 1) или 2) определения 1, то задачи (1) называют некорректной в широком смысле слова В дальнейшем нас будут интересовать методы решения задачи !1, в которой условие 1) предполагается всегда выполненным, и поэтому некорректность задач минимизации всюду ниже будем понимать в следующем более узком смысле.
Определение 2. Задача (1) называется некорректно постпвленной в метрике р, если 1) /,< — со, У»~3! 6* !63 2) существует минимизирующая последовательность (и„), не сходящаяся к У, в метрике р. В смысле этих определений задача из примера 1 является некорректной в евклидовой метрике; задача из примера 2 некорректна в метрике пространств 1.,~0, 1) и ) !О, 1); задача из примера 3 некорректна в метрике С !0, 1], но в то же время она корректна в метрике Е,[0, 11.
Классы корректных задач минимизации в различных метриках выделяют теоремы 1.3.1, 1.3.8, 1.3.9, 1.3.11 о существовании оптимальной точки. Однако имеются широкие классы практически важных задач минимизации, являющиеся некорректно поставленными в нужных для приложений метриках. Многие задачи минимизапии функций конечного числа переменных на неограниченных множествах некорректны в евклидовой метрике.
Большинство задач оптимального управления, исследованные в главе 1 некорректно поставлены в метрике тех банаховых пространств, которые чаще всего используются в прикладных задачах. Другие классы некорректных экстремальных задач, возникающих в самых различных областях физики, техники, экономики и т. д., см. в 117!. Корректно поставленные задачи минимизации хороши тем, что в них в качестве решения задачи (3) можно взять один из членов произвольной минимизирующей последовательности (4) с достаточно большим номером. Для некорректных задач аналогичные действия могут привести к ошибочным результатам, так как в этом случае нет никаких гарантий того, что полученная тем или иным методом минимизирующая последовательность (и,) непременно будет р-сходиться к множеству С'„. Иначе говоря, если в качестве входных даниьж, по которым будет определяться р-приближение к (l„использовать значения минимизируемой функции, то можно потерпеть неудачу, ибо из малости погрешности .' (и,) — l„не всегда следует близость и„к (/, в требуемой метрике р.
Это значит, что для приближенного решения некорректных задач требуются специальные методы, позволяющие с гарантией строить минимизирующие последовательности, р-сходящиеся к множеству оптимальных точек. Такие методы существуют и их принято называть мешодами регуляразациа 1!7, 105, 163, 212!. Ниже будут описаны три метода регуляризации. 164 У и р а ж н е н и я.
1. Пусть (1=(и: и я Е', 0 (и <-[-оо]. Рассмотреть задачи минимизации на множестве С» функций l (и)=и', »'(и)=(!+и) т, ч' (и) = 1, »'(и) =и (1-~-из) В»' (и) =и (1+их) '+ии, а сопя! ) О. Выяснить, какие нз зтнх задач корректны н какие некорректны в естественной метрике р (и, о) = и — о .
2 Будет ли корректной задача минимизации функции а'(и) =- ! = ~ из (1) Щ на множестве (»р Ез [О, 1] в метрике 1, [О, 1!' С [О, 1]й о 3. Рассмотрим задачу мнннмнзации функции тз(1, и) прн усчовиях; х= — и (О, О~! 1; х(0) =О, и = — и (О ~м (/=(и(1): и(0 я сн (з [О, 1], и(01( 1 почти всюду на [О, 1]1 Будет ли эта задача корректно поставленной в л'етрнке С [О, 1)З Ез [О, 1]) У к а з а н и е: рассмотреть последовательность и» (О= а(п Ь1, 0 -1.-1, Гг=1, 2, ...
4 Вынсннть, будет ли корректной в метрике Е,[а, Ь] задача »[Ь минимизации функции / (и) = [ 5 К (1, з) и (з) йз Щ на множестве а а (уй Ез [а, Ь], где К (1, з) — заданная функция нз 1.,(йн О=ВО з): и 1(Ь, а~а Ь] У к а за н не: рассмотреть последовательность иа(б=ап М, а==(~ Ь, й= — 1, 2, .. 5 Выяснить, будет лн задача минимизации функции а'(и) = ь 3 [ и (з) из — [(1) щ на множестве (»Р Ез [а, Ь) корректной в мета а рике С[а, Ь] илн Ее[а, Ь], если здесь [(1) — заданная дифференцируемая функция, причем производная [(1) ы Ез [а, Ь], [(0) =0 (задача численного ди]»ференцирования). У к а з а н ив: рассмотреть последовательност~ и» (з) =[ 00+соя вч а (з.= Ь, А =1, 2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
