Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 25
Текст из файла (страница 25)
При некоторых требава! сэ ниях к функциим аи, Ьь с, у, фи Фс и к области СС можно Доказать, что при каждом и ш Н обобщенное решение х(з, С, и) краево! задачи (42) — (46) сушествует и единственно ]139, 167, 2!3], а функция (41) при условиях (42) — (46) дифференцируема в Н и ее градиент имеес вид а а (п1/ф)а)сов(п, зг)+у(з, 1) ф — ~ Ь;соз(л, з;) зр 6 1=1 ! ~ нет~ дФз (з, 1, х (з, 1, и ), и, (з, 1)) 1 1зшта ф (з, Т) в.— Ђ дФ(з, х(з, Т, и), из(з)) дз з е ьз.
Имея формулу градиента и опираясь на общую схему методов проекции градиента и условного градиента иэ 4 4, пп. 2, 3, нетрудно распксать формулы, реализующие эти методы применительно к задаче (41) — (46). У яр аж пени я. 1. Рассмотреть задачу (1) — (5), (7), заменив т условие (6) па условие Р(1) ш1.,(0, Т),~ )Р(1) — р(1),зд1()7,', где Р(1) ш1,(О, Т) и число Яе>0 заданы.
Описать методы проекции градиента и условного градиента. 2. Найти градиенты функции (1) при условиях (2) — (5) по каждои иэ переменных ф =~р(х) шаг(0, 1), р(1) ш Ез (О, 1), 7(з, 1) ш ш 1., (1)) и по совокупности переменных и = (ф(х), Р (1), )(з, 1)) ш Н =- =Ез (О, 1) хЕз (О, Т] хьз(О). Описать методы проекции градиента и условного градиента, считая, что р(1), )(з, 1) удовлетворяют условиям (2) — (5), и, кроме того, фаня~ ф(з)~ф~зз почти всюду на (О, 1). 3. Рассмотреть функцию 7(и) 5е~/х(з, Т, и) — у (з) Р дз + т +~,~ ~ р(1) ~зд1+5зЦ ~1(з, 1) ~здз31 при условиях (2) — (5), счи~ая '0 ()г=сопз1)0, 1 О, 1, 2; д(з) шбз(0, 1).
Доказать, что эта функ- цйя сильно выпукла нз Н; найти ее градиент; описать градиентный метод при (7 = Н и методы проекции градиента и условного гради- ента при ограничениях (6), (7). 4, Рассмотреть функцию 7 (р) ~) х(з, Т, и) — у (з) (з дз+ т +() ~ ) р(1)',з31, () сопз() О, при условиях (2) — (6), считая функ- цию /(з, 1) ш Ез(0) заданной.
Заказать, что тогда управление Р =Р,(1) минимизирует 7(Р) тогда и только тогда, когда Н(Р„(1), ф (1 1 Рд) ш1пН(Р ф(1 1 ре)), Оец((Т, где минимум берется по отйеэкУ Ряип~Р~Рюа„, Н(Р, ф) азчрф+Дрз, 1Р(з, 1, Р) —.Ре- шение задачи (13) — (15). Указание: заметить, что Н(р, ф) вы. пукла по р, Г(Р) Нр(р(1), ф(1, 1, Р)), и воспользоваться теоре- мой 2.5. 5. Рассмотреть задачу (!) — (7) при ограничениях х~х(з, 1, и) ( ~х, где х х — заданные величины; учесть этн ограничения с по- мощью штрафной функции, т 6.
Требуется минимизировать функцию а (Р) = [ р' (Г) 4Г при й условиях (2) — (6), считая ф>нкцию ) (з, Г) ~ ьа(О) заданной и дополнительном условии «(з, Т, р) =у(з), 0«з «д у(з) ~ Ее(0, 11. Указать штрафную функцию Ра (р) для дополнительного условия; найти градиент функции Фь(р) = а (р)+Ра (р); описать методы проекции градиента и условного градиента.
$8. Оптимальное управление колебательными процессами Задачи оптимального управления колебательными процессами имеют многочисленные приложения — к ним, например, приводят задачи об успокоении качки судна или стрелы подъемного крапа, о работе вибротранспортеров, об организации виброзащпты, амортизации и т. и. 46 — 48, 108, 120, 201, 213, 2141. Здесь мы рассмотрим две задачи оптимального управления процессами, описываемыми уравнением колебания струны и уравнением поперечных колебаний стержня. г.
Пусть имеется однородная упругая гибкая струна, один конец которой свободен, на другой ее конец действует внешняя сила и, кроме того, к каждой точке струны также приложена внешняя сила. Требуется, управляя указанными внешними силами, к заданному моменту времени привести струну в состояние, как можно меньше отличающееся от некоторого заданного состояния (например, состояния покоя). Математическая формулировка этой задачи: минимизировать функцию 7 / (и) = йе ~ ~ х (з, Т, и) — уа (з) ~Я г(з+ +рт~ ~хг(з, Т, и) — рг(з)1згЬ (1) а при условиях хм=а'х„+)(з, 1), (з, 1) и=Я=(0<а<1, 0<г<Т), (2) х,(0, 1)=р(1), х,(1, 1)=0, 0<1<Т, (8) х(з, 0) =тра(з), хг(з, 0) =чгт(ь), 0«з«1, (4) и=(р(1), )(з, 1)) я(г':- Н =Аз[0, Т) х ~,(Я), (5) где ая > О, 1 > О, Т > О, ре» О, 5, » 0 — заданные постоя нные, ра+Рз>0; грг(з),уг(з), (=1, 2, 0«а«1 — заданные 134 по з, ! соответственно. Пользуясь формулами для х(з, 1, и), х, (з, 1, и), нетрудно показать существование следов х(, (, и), х,(, 1, и) яЬ,[0, 11, непрерывно зависящих от 1~[0, Т) в метрике Аз[0, 1).
Это значит, что функция (1), в которой под х(з, Т, и), х,(з, Т, и) понимаются соответствук>щие следы функций х, х~ прй т Т, определена при всех и ен Н. Далее, пользуясь формулой (б), можно показать, что если последовательность (из) сходится к а слабо в Н, то следы х(, 1, и,)- х(, 1, и), х,(, 1, и„) — х,(, 1, и) сходятся слабо в 1.,[0, 1) при каждом 1~ [0, Т).
Стсюда, учитывая, что норма в гильбертовом пространстве слабо полунепрерывна снизу, получаем слабую полунепрерывность снизу функций (!) в Н. Согласно теореме 3.6 тогда функция (1) достигает своей нижней грани на любом выпуклом замкнутом ограниченном множестве У из Н, т. е. ц, чь Сб. В силу линейности краевой задачи (2) †(4) имеем равенство х (з, 1, а и + (1 — а) о) = ох(з ( и) +(! — ц) х(з, 1, о), (з () еи() (Т) справедливое при всех и, о ен Н и всех действительных а. Отсюда следует выпуклость функции (1) на Н.
Покажем, что функция (1) дифференцируема на Н, Возьмем произвольные и, и+й~Н и соответствующие им решения х(з, 1, и), х(з, 1, и+А) краевой задачи (2) — (4). Обозначим Лх(з, 1)=х(з, 1, и+й) — х(з, 1, и). Из (2) — (4) следует, что Лх (з, 1) является решением краевой задачи Лха=а'Лх„+Л~(з, 1), (з, () еи9, Лх,),,=Лр(1), Лх,),,, О, 0(1<Т, (8) ЛхЬ ~=0 Лх.Ь з-О. здесь й=(Лр(1), Л7(з, ()) ен Н. Тогда приращение функции (1) запишется в виде Ы = У (и + Ь) — У (и) = с = $ 2Р, (х (з, Т, и) — у, (з)) Лх (з, Т) с(з+ о 1 + $ 2Р, (х~ (з, Т, и) — у~ (з)) Лхс (з, Т) ~й+ Н, (9) а 13$ где А' = 2~, ~ ! Ьх (я, Т) (о СЬ + 2~, ~ ! Лх (я, Т) (о СЬ. о о Пользуясь формулой (6), можно написать явные выра- жения для Лх, Лхс, из которых будет следовать оценка Ст ~о~~о(!тоныч~;!!~чо.
~с'и.о)- с~аз, о С, = сопя1 ~ О. (10) Для дальнейшях преобразований формулы прираще- ния (9) введем функцию чс=ф(я, Т, и) как решение сле- дующей краевой задачи: фи = а~ф~~, (5, С) е= Я, )ч~,,=О, ф,~,,=О, 0(С<Т, (11) ф! т=2рт(хс(я, Т, и) — у,(я)), 0(я(1, орс ~ ~х т = — 2ро (х (я, Т, и) — уо (я)), 0 ~ я = С. Под решением краевой задачи (!1) будем понимать функ- цию ф ф (я, С) ен Ео (СС), имеющую следы Чс (я, ° ) ~ енЕо[0, Т) ср(, С) енЕо[0, 1) при всех зев [О, С), с~ он[0, Т1, и удовлетворяющую интегральному тождеству ~ ') (Фсс — аоФ,с) ф сЬ сСС = е ~2ро(х(я, Т, и) — уо(я)) Ф(я, Т) СЬ+ +~2~,(хс(я, Т, и) — у,(я))Фс(я, Т)с(я, о справедливому при всех Ф (я, С) еи Но (с1) со следами Ф~с о* Фс!с о=Ф ~.
о —— Ф,!с с — — О. Решение задачи (11) может быть представлено с помощью формулы Далам- бера, откуда, кстати, и следует его существование. С помощью решения Чс(я, С, и) краевой задачи (11) приращение (9) можно преобразовать к виду т Ы(и) = ~ аоф(0, С) сор (С) с(С+ о + $ $ ср (я, С) Л~ (я, С) с(я с(С+ Я. (12) !37 В самом деле, с учетом условий (8), (11) имеем ! Ы(и) =~ ( — фо(з, Т) Лх(з, Т)+ о +ф(з, Т) Лх~(з, Т)) т(з+Н= о т -(((,';< — оь ~-ол*й а)н-~о= о 1о = $ ~ ( — фа Лх+ ф Лхи) сЬ Ж+ Я = = ~ ~ [ао ( — ф„.
Лх+ ф Лх„) + ф Лд оЬ Ж+ я е = ~~ '~-( — ФЛх+фйх,)г(оЖ+ +11 ФЬ| (з ((+Н=11фЛ( (з (!+ е е т р=1 + а' ~ ( — ф, Лх + ф Ьх,) ~ т(! + Я = о я=о т =~ аоф(00ь 1)Лр(!) Ж+~)ф(з, !)Л((з, !)г(зт((+Н. о е Разумеется, приведшие к формуле (12) преобразования нельзя признать строгими; относительно строгого доказательства формулы (12) можно высказать то же замечание, которое было сделано в 5 7 в аналогичном случае. Йз (12) и (10) следует, что функция (1) при условиях (2) — (4) дифференцируема во всех точках иенН, причем ее градиент в точке и имеет вид Г(и)=(аоф(0, (, и); ф(з, 1, и)) енН., (13) Таким образом, для получения градиента в заданной точке и ен Н нужно последовательно решить две краевые задачи — задачу (2) †(4) и задачу (11), а затем воспользоваться формулой (13).
Можно показать, что У(и) ~ ен Сь т(Н). Так как функция (1) выпукла на Н, то согласно теореме 2.5 эта функция на выпуклом множестве (/ы Н 1зз будет достигать своей нижней грани в точке и = (р, ((), )х (з, 1)) ен(с' тогда и только тогда, когда (с" (и ), и — их)и= т =~ аддр(0, 1, их) (р(1) — р„(1)) ас(+ о +~ ~дР(з, 1, и,) Д(з, () — Г,(з, ())гЬсИ) 0 о' при всех и= (р(1), ) (з, ()) ~ У. Для решения задачи (1) — (5) могут быть использованы описанные выше методы минимизации, Кратко остановимся на методах проекции градиента и условного градиента, предполагая, что множество (,с состоит из управлений и=(р((), Г'(з, ()) ен Н, удовлетворяющих условиям т ~ Р (Ос()~баю ~)1'(з Ос(ос(1 -Ж, (14) о Я где )хо, )тс — заданные положительные числа.
Метод проекции градиента для задачи (!) — (5), (14) с учетом формулы (13) сведется к построению последовательноети (ид=(Р,(1), гд(з, 1))) по пРавилам ! рд(1) — ададдР(О, 1, и„) т при ~ ! Рд (() — ададхр (О, 1, ид) )и Ш ( )1о', йх(рдй) — адидс)(0, с, и„)] Рд+д (1) = т ) ~ рд (С) — ададс)с(0, С, ид),дЛ)~с~ ~о т при ~ ! р, (1) — ададдр (О, 1, ид) ~о с(1 ) )тх', и с'д(з () аддр(з с ид) прн ~);)д(з, () — аддр(з, (, ид))дс(зс((~я, е дс()д(в с) — адс)с(и с, ид)) (, ~ ~ с) (в С) — а ср(я, С, и ) со с)ос)С)сСо при ~ ~,')д(з, 1) — аддр(з, (, ид),"с(зссс))т(, (15) сд о(з с) ) где параметр ад) 0 выбирается одним из способов, описанных в $ 4, п, 2, )зэ Одна итерация метода условного градиента для задачи (1) — (6), (14) будет выглядеть так: < Ри (г) = Ря (()+из (ри (г) — ря(г)) (16) ~„ы(я, г) 7я(з, ()+аз(Ця(я, () — (я(з, ()), где йоФ(о, б и„) т ) „со,, ..>,.н)'.' Щ~(я,пи ) ( ~ ~ ~ $ (я, б и,) Р Яя Л()~~' е (17) рт ая =~~ а'ф(0, (, ии)(р (г) — Ря(())г(г+ 1 о + $ $ зр (з, (, ия) (7„ (я, () — ( я (я, ()) йз й( х х ~ ~(2$)я (х(я, Т, и,) — х(я, Т, й„) /'+ ~о +2(ч(х~(я, Т, ии) — хс(з, Т, йя)1') я(з~ (1я) причем если выражение в первой илн во второй квадратной скобке обращается в нуль, то и„=(ри((), 1я(з, ())— оптимальное управление в рассматриваемой задаче (1) †(5), (14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
