Ф.П. Васильев - Методы решения экстремальных задач (1981) (1158203), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Следуя уже известной нам процедуре исследования задач на условный экстремум (см. 44 2.2, 4.8, 4.9, 6.2 иэ !4! и 4 2), составим функцию Лагранжа задачи (1) — (5): 1. (х, и, ), ф) =! ! х (3, т) — р (з) 1» Фз+)! ф (з, 1) ( — хг (3, 1)+ э +а'х„(з, 1)+) (з, 1)) пз п1, (39) где ф (э, 1) — множитель Лагранжа, соответствующий ограничению (2) Будем предполагать, что функции х (з, 1), ф (з, 1) являются достаточно гладкил~и на Я=((з, 1): 0(з<1, 0~1(Т). Поскольку уравнение (2) уже учтено в (39), то от функций х(з, 1) н р(1) будем требовать лишь удовлетворения граничным и начальным условиям (3) — (5); дополнительные условии на функцию ф(з, 1) будут наложены ниже.
Дадим приращения (вариацин) переменным х, р, й т. е. рассмотрим функции х(з, 1)+бх(з, 1), рр)+бр(1), !(з, 1)+6)(з, гп (з, 1) сн й, удовлетворяющие условиям (3) — (5). Тогда бхз /з з=О, бх, !»„г=т(бр(1) — бх(1, 1)), бх 9 е — — О. (40) Вариация функции Лагранжа (39), представляющая собой главную линейную часть приращения этой функции, имеет вид 66 ~ 2 (х (з, Т) — р (з)) бх (з, Т) аз+)) ф ( — бхг+аабх +6() азо1. Учитывая условия (40), преобразуем двойной интеграл с помощью интегрирования по частям.
Получим 6(. ) (2(х(з, Т) — у(з)) — ф(з, Т))бх(з, Т)с(з.(- о +~~ (фг+а ф,з) бх бз с(1+ай) оз о1+ Т +аэ~ (тф(1, 1)+фз(1, 1)) бх(1, 1) М+ +аэт ~ ф 11, 1) бр(1)б1+~ ф,(0, 1)бх(0, 1)з(1. Считая что в оптимальной точке выполняется условие стационар. ности 61. О, и пользуясь достаточно большим пйоиэволом в выбоу))е х(з, 1), приравняем нулю коэффициенты при вариацняк бх(з, ), х(з, 1), бх(1, 1), бх(0, 1) и придем к условиям для множителя Лагранжа ф(з, 1), полностью совпадающим с сопряженной краевой задачей (13) — (16); приравнивая нулю нозффициенты при бр(1), и 61(з, 1), получим условия ф(1, 1) О, ф(з, 1) О, которые согласно формуле (21] означают равенство Л (и) 0 — условие оптимальности в задаче (!) — (5) при и ш 13=Н. Изложенный на примере задачи (1) — (б) подход к получению сопряженной краевой задачи применим для шнроното Класса задач оптимального управления процессами, описЫваемымй как обыкнобенными дифференциальными уравнениями, тай и урйииениями с частными производными.
Этот подход кратко можио Еформулировать в инде следуЮщих правил: 1) сначала нужно записать задачу минимизации р виде э(и)-~(п(, Ц(х, и, $) О, бси01, 1 Т, Ж( 11(х, и) О, 1 Г7, где Ог-эаданнаЯ область иэ евклидова ппостРанствй Е"Н х .х(6) * (хт(6), ..., х" Я)) — фаэовые переменные, и (ит($), ..., иэ(й))— управления, 1л — дифференциальными оператор 11 ~Япераэоры тра. ннчнык и начальных условий, и соетавить фун)сциЮ агранжв Е(х, и, ф) з (и)+ ~, '') ф,(й) 1.1(х(б), иф)~ й) ой1 5 Ф П Васчаьев 2) затем нужно найти вариацию функции Лагранжа по фазовым переменным и управлениям с соблюдением граничных и начальных условий 1, (х, и) =О, 1=1, р, и с помощью интегрирования по частям (или с помощью формулы Гаусса — Остроградского для сложных многомерных областей) с учетом граничных и начальных условий преобразовать полученную вариацию тзк, чтобы выражения под зна- ками интегралов по областям 6; не содержали частных производных вариаций фазовых переменных; 3] наконец, пользуясь условием стационарностн функции Лаг- ранжа и провзволом в выборе вариаций фазовых переменных, при- равнять нулю коэффициенты при соответствующих взриациях; сово- купность полученных при этом равенств представляет собой условия на множители Лагранжа и образует искомую сопрянгенную краевую задачу.
Предлагаем читателю, пользуясь этими правилами, самостоятельно вывести сопряженную краевую задачу для задачи (33), (2) — (5), а также для рассматриваемых ниже задач оптимального управления. Подчеркнем, что приведенные в этом пункте рассуждения, ко- нечно, не могут считаться строгими и являются лишь полезными наводящими соображениями при получении сопряженной краевой задачи, выводе формулы градиента, необходимых условий оптималь- ности. Лля полной строгости нужно еще выполнить большую и труд- ную работу и определить, что понимается под решением исходной и сопряженной краевых задач, исследовзть вопросы существования и единственности решения этих задач, дать строгин вывод формулы приращения с оценкой остаточного члена и т, п.
б. Выше были подробно рассмогрены задачи оптимального управ- ления для простейшего уравнения теплопроводности с одной прост- ранственной переменной. Из этих рассмотрений видно, что хотя окончательные расчетные формулы, реализующие методы проекции градиента и условного градиента для ограничений вида (6), (7], достаточно просты н удобны для использования на ЭВМ, однако вывод этих формул связан с довольно громоздкими оценками, н строгое исследование таких задач является весьма тонким и хлопот- ным делом. Еще более трудным и громоздким становится исследова- ние задач оптимального управления системами, описываемыми более общими параболическими уравнениями при более сложных фуннцио- налах, граничных условиях, ограничениях на управления н на решения.
Здесь мы ограничимся лишь приведением формул градиента для следующей задачи. Пусть Я вЂ” заданная область в евклидовом пространстве Е" пере- менных з= (з„ ..., з„) с кусочно гладкой границей Г; пусть Гг н Г,— кусочно гладкие части границы Г, не имеющие общих точек, причем Г, Ц Гз = Г (в частности, одно из этих множеств Г, или Г, может быть пустым). Пусть 1а, Т вЂ” заданные моменты времени.
Обозначим Я= ((з, Гн з а й, (з(1( Т). Пусть в Я имеется конеч- ное число кусочно гладких поверхностей, разбивающих Я на конеч- ное число подобластен 0н 1= 1, 2, .„, р (случай р= 1, О, = 0 не исключается). Г!оверхно ть, которая служит границей для подобла- стей Ог н Оэ, обозначим через Гьь Будем считать, что физические характеристики рассматриваемой области () (плотность, теплопровод- ность, удельная теплоемкосгь и т. и.) непрерывны внутри каждой подобласти 01 и мОГут терпеть разрывы типа скачка лишь на поверх- ностях Гзг, 130 Рассмотрим задачу минимизации функции (функционала) т о'(и) = ~ ~ Фв(5, у, х (з, у, и), ио(з, !)) Из с(у+ г +) 1 Ф,(5, с, ' ', и,(5, !))с(Гзду-]- дх(5, с, и) с,г, т +~ ~ Фв (5, с, х(в, с, и), ив (5, !)) дгв а!+ с,г, ~ Фв (5, х (з, Т, и), ив (5)) с(з (41) при условиях х, = ~~ аи(з, !)х, -1- ~ Ь;(5, !)хв,+с(з, !)х— Фо(5 с, ио (5, !)), (5, !) ш (С] Гдх(5, !) 1 (х(з, Б)г =0, =0, (5, у] =Г б ы ~ дЬУ «(5 !) ~ шГ, — Фг(в.
! ис(5 у])(ошГ, !о~у~7 ( дйс ' ) ~~ в» в ° оо дх (з, !) + у (з, !) х (з, !) ср, (з, у, и, (з, !)) )о ш г„ У )возро ! (у<т; х(з, !) )с с — — Фв(5, ив (5)), зон (], (42) (43) (44) (46) (46) 131 дх (з, !) у - т дх (з, !) где ' ,~~ асс (з, !) сов (л, з;у ' — производная функции х по конормали к границе подобласти ()в в точке (з, !); л = = л (5, !) — внешнЯЯ Дли с!в ноРмаль в той же точке (з, с] с напРавляющими косинусами соз(л,вс), !=1, 2, ...л; (г(з, !)]г — разы ность предельных значений функции г (3, т) при стремлении точки (3, т) к (з, с] ~Гас изнутри подобласти Яз и срс соответственно; асс(5, !), ь;(з, !), сР; (з, с, и), с(з, !), У(5, !), Фс(з, с, г, и) — задано и пые фуннции своих аргументов, ~ асу(5, !)3сйу~и ~,'рос, агу й у=! с=г ниаУЬ пРи всех Рн !) сн с3, К = (ес, ..., $,); со = соло( > 0; а;у(з, !), Ь, (з, !) непрерывны внутри подобластей с2с и могут терпеть разрывы тйпа скачка лишь иа поверхностях Гш] функции и (ио(з, !), и, (з, !), и, (з, !), ив (5)) являются управлениями, подлежащими определению иа условия минимума функции (41).
Будем считать, что ио(5 !) сы ьо(0) ис(5, !) адьо(Гс) (с = 1, 2), ио(5) шов(()) й удовлетворяют ограничениям типа (6] или (7). Нетрудно видеть, что рассмотренные выше задачи оптимального управления для уравнения теплопроводности (2) являются простым частным случаем задачи (41) — (46). Заметим, что неноторые из управлений ис (1=0, 1, 2, 3) могут отсутствовать в задаче (41) — (46),— в этом случае функции Ф;, ср; не зависят от и. 6" Управление и=(из(з, 1), и,(з, 1), и,(з, 1), из(з)) в задаче (41)-(46) удобно считать элементом гильбертова пространства Н= = Сз (с]) Хсз (Г,] Х(з [Гз]муз ((]), в котором скалярное произведение двух любых элементов и! = (и„(з, 1), и,с(з, 1), и,с(з, 0 из!(з)) (1 ~ 1, 2] определяются посредством формулы (и,, из]„=г)] ил,(з, 1) и„(з, 1) ссз с]с+ О т +~ ] им(з, 1) и„(з, 1) сСГтдс+ ]л !', т +~ ~ и„(з, 1)им(з, 1)дздс+]г из,(з)изз(з)дз, и Г л л С, и) ср„-]-Ф д — ~~ ~ (ассф)з соз(л, зс)+ с=! С=! ьс сов(л, з) Фсз фсл+Фсл]зшг,! (ффзл+Фзл)]зшгл! ф(з.
Сл, и) фзл+Фзл ,С' (и) = — ф (3 +~ с=! где частные производные ф;л вычислены для аргументов (з, ис(з, 1)), 1= О, 1, 2, 3, а Фсл и Ԅ— для тех же аргументов, с которыми функция Ф; входит в (4Ц, с =О, 1, 2, 3; ф= ф(з, С, и) — решение сопряженной краевой задачи л л фс = — ~ (ассф]з з +~ ', (Ьсф)з — сф- с, 1=! дФл (з, 1, х(з, С, и), и,(з, 1)) г си с л л (ассф)з соз'хл, зс) — ~ Ь; соз(л, зс)ф+ сс ! с=! +фсоз(л, 1) ) О, (з, 1)евГьд дзс дФт(з, 1, дН', и,(з~ 1]) дх(з, С, и) ф(з, 1) ~ —, 1„<С<ТС зшрз дг зшрс 132 а норма — формулол ']и]Н ((и„из)Н) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
