Г.Б. Бокий - Кристаллохимия (1157627), страница 40
Текст из файла (страница 40)
е. указано силс- вое поле, действующее па него, то квапговомехаякческая задача заключаетсл вопределении возможных значений энергии (спектра) изучаемой частицы и характера состоявкя дзяз«ечвя чагткцы. Эта задача как раз решается анализом и решением уравнения Шредингера. Под изучением состояния движения следует понимать изучение вероятностного распределения возможных значений скоростей или пространственного положения частицы. Такой тип информации диктуется волновыми свойствамн частицы и статистическим характером квантовой механики, о .см говорилось в предыдущем разделе.
Стационарное уравнение Шродннгсра выест внд: Н'7 (х, у, т) = ЕР(х, у, «), (!3) где Н вЂ” оператор Гамильтона шгтвцьь яг; ляющкйся аналогом фупцеи Гачвльтова классической мехапикн, ф — волновая функция частицы (подробло смысл этой ф)вкцик будет объяснен пижс). Прежде всего можно отметить аналогию с классвческвм соотяошеппсм для функции Гамильтона. Н(х, у, -, Рх, ГО р ) = Е, которое прн известкой форме функции Гамильтона определяет совокупность значений х, у, «, д„, рю ро которые могут принадлежать рассматриваемой частице при заданной энергии Е. Однако в уравнении Шредикгера функцяя Н заменена оператором, форма которого такова, что уравпснке имеет аналогию с волновым уравнением. Именно, в самом общем случае, когда с классической точки зрояня частица должна была бы обладать кинетической и нотенцнальиой энергией (в квантовой механике определенной величиной является только полная энергия, а кинетическая и потенциальная энергии порознь нс имеют определенных значений), оператор Гамильтона част«к!ы кисет внд: д« ет + (16) где !т« — оператор Лапласа, 7« = дПдх' + + д« / ду'+ д«,Г дз'! Л = Ь /2я, Д вЂ” постоянная Планка.
Уравяснэе Шредвнгера, таким образом, кмеэт форму ( 3« — Р«а Н('Р Е'Р Иу) 'т плк 2т (г«т+ (Š— (Г) Ч" =О, Именно в последней форме уравнение Шредингера аналогично уравнениям волновых процессов. Поэтому целесообразно использовать «наглядные аналогиит чтосы лучше уяснить себе рааличные особенности уравнения Шредингера.
Такие наглядвые аналогии будут рассмотрены в следующих разделах, где подробно раабираются одномерные, двухмерные и трехмерные механические колебания (колебания струны, мембраны и «пылевого шараа). 3. Колебания струны *. Рассмотрим стрю пу, натянутую вдоль оси х. Пусть ьзь. ~чвнбудь точка этой струны получи:ы небольшое вертикальное смшпсвве вдов . ся р. Струна начнет совершать колебал а. Йайдем уравненво двяжеякя такой роасбл«ощейся струны. Найдом си. у, которая действует на элемент струны д«в пав.«:вленпп ося. Имеяно зта сила оьродсазш х х«зх х Рис. 223. К выводу уравнения колебания струны колебательное движение струны.
Очевячно, величина атой силы ранна (см. рис. 223): Р = Тяп й« вЂ” Тз!в«у« = Т(е!п«(ч — зшйг), где Т вЂ” сила катя>кения струны, которая по абсолютной величине постоянна во всех точках струн«д и направлена по касательной к линки струны в данной точке. Если смещение струны невелико, то углы эь и й, малы, я синусы отатихуглов можно заменять тангеясамн; последние же определяют наклон нривой у(х) в соответстаующих точках, т. е. равны ду/дх в точках х и х+ дх. Таким образом получим: Р=Т'~ ~ —,„~ — Я) ~. Производная ду(дх ость функция от х.
Разложим зту функцню в точке х -(- дх в ряд Тейлора к ограничимся линейп ~м нриближснием: — — +Ых~д ~д.~~. Таким образом, вертпкальная составля«о щая результирующей силы натяжений. «Подробкео см., например, Ф, Морз «Ко- лебание и звук«. М.— Л., ОПТИ, 1949. действующая на элемент поверхности стру- ны, равна Р-Тдх~гдх д' ~ =т~)д з) дх. х Легко проверить, что величина и имеет размерность скорости и связана с длиной волны соотношением э =сзЛ!2п. Решение можно также записать в виде 2лх 1 у=зш вс —— — Л ) или 2ях у =сов вС вЂ” — ~, Л (19) или дзу т дхз Т дгз (20) (25) вЛ 2лС вЂ” = — = яя. г Л т ЫсЕ с тЕ сссз Отсюда получаем Л = 21)л, (20) овЕ + в'Е = О. (22) у ~ зш в (с ~ —. „) (23) Обовиачим массу единицы длины струны через т, Тогда масса элемента струны длиной с(з равна тс(з.
Если углы у малы, то можно принять дз = с(х и туз = тс(х. Уравнение движеяяя элемента струны ость просто уравнение движения Ньютона, которое с учетом вышеизложенного запишется следующим образом: дзу дсу .Тех = тдх=. дхз ды Для решения этого уравнения предположим, что у можно представить в виде произведения функции, зависящей только от координат, на функцию, зависясцую только от времени, т,е. у = ч'(х)е(с). тогда уравнение (20) сводится к аиду 1 дзЧ' т дзЕ Ч дх — ТЕ дС (21) Поскольку * и с — независимые переменные, то левая часть уравнения, аавнслщая только от х, может быть равна правой части уравнения, зависящей только от С, прн любых х и с только в том случае, если обе части упавнения равны одной и той же по'стоянпои, Приравнивая левую и правую части уравнения (21) такой постоянной, получим два отдельных уравнения для ч'(х) и для е (П: ЫзЧ' — — =гоп с.
Ч' пхз Удобнее ввести новую постоянную в, положив сопзС = — твт(Т. Тогда уравнения прнмут вяд: с(зЧ" твз х + с(хз Т Решениями втих уравнений служат простые синусоиды и косинусоиды. Комбинируя их получим выражение для у. Выбранная форма ааписн для постоянной (сопзЦ удобна тем, что тогда в решевиях вида (здесь введено обозначение Тст = оз, величину в можно отождествить с угловой частотой). причем сразу отсюда получается, что функция у при заданном С имеет одно и то же значение при х = лЛ для всех целых аначений и. Таким образом, если струна отклоняется от положения равновесия, то ее колебание образует волну, распространяющуюся вдоль струны с определенной скоростью и.
Уравнение (22), описывающее движение струпы, пазываетG я волновым уравпеннем. Ему удовлетворяет бесчисленное множество решений вида (23). Отбор решений возможен, если заданы так называемые граничные условия. Пусть, например, струна аакреплепа в конечных точках х = 0 и х = Е (Ь вЂ” длина струны). Тогда на функцию у накладываются следующие граничные условия: у(о, с)=ч'(о)е(с)=о, (24) у(Л, с) =Ч (цЕ(с) =О. Так как приз=о Ч' (0)=0, торешение не может содержать косинусов. Так как при х=ЬЧ'(Ь) = О, то при с = 0 зш (всси) =О, откуда т.
е. возможны колебания струны только по вполне определенным (дискретным) наборам значений длины волны. В случае закрепленной струны волна, возникшая на одном ее конце, дойдя до другого копна, отразится. Возникнут две бегущие волны (прямая и отраженная), движущиеся в протнвоиоложпых направлениях. В результате интерференции (наложения) этих волн возникает стоячая волна.
В точках струны, где вти волны полностью компенсирусот друг друга, струна остается неподвижяой. Такие точки называются узлами (или узловыми точками). Из условия (26) вытекает, что при л 1 будут только два узла (на концах) и расстояние между ними равно половине длины волны, т. е. Л 2Е; ири л = 2 будут три узла и Х = Т и т. д. Набор дискретных возможных длин волн называется спектром Дискретность спектра покалывает, что длины волн «квантованы». 4. Колебания мембраны и «пылевого шара». Двумерным аналогом колеблющейся струны может служить колеблющаяся мембрана.
Волновое уравнение для мембраны имеет вкд: д«(( д«(7 а д«(( 1 дх«+ ду«Т дт« где Т вЂ” натяжение мембраны, о — массовая плотность мембраны (имеющая ту же размерность, что и плотность ю одномерного случая). Это уравнение можно еаписать также в виде о д«Г «7«0 = —— Т дю (27) где Ч« — двумерный оператор Лапласа: «Г - д«(дх«+ д«(дуй Как и в случае волнового уравнения для струны, уравнение (27) тоже допускает разделение переменных (времени и пространственных координат).
После такого разделения уравнение, в которое входят только пространственные переменные, запишется в виде: У"Р(»ну)+ Т Ч ((у)=О. (28) В колеблющейся мембране, еакрепленной по краям, в отличие от колеблющейся струны, вакреплеяной у концов, будут не уэловые точки, а узловые л«п«ни. Наждое состояние колебания мембраны можно характернэовать числом и формой таках узловых линий (они могут быть концентрическими, расположенными в шахматном порядке и т. п.). Полная характеристика увловых ливий дается двумя наборами целочисленных значений (которые обозначаются через в и ().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
