Г.Б. Бокий - Кристаллохимия (1157627), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Для классической частицы с массой ш импульс можно выразить через скорость частицы ш р тп Тогда соотношение Де-Бройля примет внд: С другой стороны, »волне» с длиной волны Л принадлежит также и частота ч, которая, согласно Де-Бройлю, определяется по формуле: ч= —, Ь' Ь (12) где )» — знергия частицы. Таким образом, имеем соотношение, связывающее энергию частицы с волновой характеристикой (частотой) Н = ят. Это соотношение подобно по своей форме постулированной Бором формуле для энергии атомной системы (связанного в атоме влектрона): Е=яйт, 1. Основные принципы квантовой механики.
Теория Бора, которая краткобыла охарактерпаована в предыдущем параграфе, позволила вычислить положение (частоты) спектральных линий атома водорода. Однако зта теория не могла объяснить спектры других атомов. Даже для гения удавалось с помощью этой теории получить только качественные соотношения. Совсем ве удалось согласовать теоию со спектром молекулярного водорода. аже для атомарного водорода можно было рассчитать только частоты, но не удавалось определить интенсивность линий и их тонкую структуру, наблюдаемую с помощью спектральных приборов большой разрешающей способности. где л — целое число.
Представления Де-Бройля о волновой трактовке частицы (электрона) в 1927 г. получили подтверждение в опытах по днфракцнп електропов. Для ориентировки укажем, например, что для электрона с энергией 20 ав длина волны по Де-Бройлю будет равна 2,7 Х Х10-' см, т.е. имеет порядок величины длины орбиты злентрона в атоме водорода в нормальном состояянн (первая боровская орбита). Действительно, радиус первой боровской орбиты равен ао = = 0,529 10-» см, а ее длина равна2паз= — 3,39 10-' см. Вообще волны Де-Бройля имеют ту любопытную особенность, что можно дать усложненное соотношение между втой волной и длиной любой орбиты теории Бора.
Следует обратпть еяимание, что понятие совершенно свободная частица есть фикция. Однако это понятие применимо кри вполне определенных условиях. В классической физике, очевидно, частицу ма>яка считать свободной, если потенциальная энергия ее взаимодействия мала по сравнению с ее кинетической анергией, изменение кинетической энергии происходит только в результате «столкновений» с другими частицами (влияние внешнего силового поля не учитывается), т.
е. область взаимодействия много меньше длины свободного движения частицы между такими взаимодействиями. Эти рассуждения можно с определенной модификацией распространить и на представления Де-Бройля. Строго говоря, говорить о волновом процессе с определенной длиной волны можно только в том случае, если волна распространяется на бесконечном протяжении, Однако если область взаимодействия мала по сравнению со средним расстоянием между частицами, то, когда на этих расстояниях укладывается много длин волн, можно говорить о свободной частице и ее длине волны Де-Бройля. Другими словами, необходимо, чтобы заметное изменение силового поля, действугощего на частицу, проявлялось бы только на расстояниях. много ббльшнх де-бройлевской длины волны.
В атомной системе это условие не выполняется и приписать связанному электрону определенную длину волны нельзя. Но если рассматривается стационарная система (энергия системы не иаменяется), то можно ввести вторую вовновую характеристику — частоту. Другими словами, в связанных стационарных системах для частицы можно указать только энергию, ио не импульс, для свободной же частицы можно указать обе эти величины. Следует, однако, иметь в виду, что в предельном случае очень малых длин волн, когда де-бройлевская длина волны сравнима с раамерами рассматриваемой частицы, квантовая механика переходит в свой классический прототип — релятивистскую механику плн механику Ньюта на (в нерелятивнстском случае). Для классической механики характерно, что если заданы начальные условия для частицы (начальное положение в пространстве и начальная скорость), а также внешние условия, в которых происходит движение частицы (силовое поле во всех точках пространства и во все моменты времени), то можно строго рассчитать положение и скорость частицы в любой последующий момент времени.
В квантовой механкке эсе определяется ио-иному. В этой теории нельзя аадать начальные условия в классическом смысле. Поэтому теряет смысл и аадача строгого расчета положения и скорости частицы в последующие моменты времени. Однако волновые свойства частиц дают определенную информацию об этих величинах. Эти свойства дают возможность определить нахождение частицы в момент времени г в какой-либо точке пространства или вероятность обнаружить у частицы определенное значение ее скорости. Квантовая механика характеризует статистические результаты опытов с очень большим числом частиц, находящихся в одинаковых условиях.
Именно эта статистнчность проявляется в волновом аспекте квантовой механики. Корпускулярпые же свойства частиц проявля>отса в аакопах взаимодействия между ниии н в законах действия на нпх внеп>ннх силовых полей. Невозможность задания в квантовой механике начальных условий связана со специфической особенностью квантовых систем — так называемым принципом неопределенности (Гейзенберг, 1927 г.). Согласно этому принципу, точность определения координаты частицы х и соответствующей ей составляющей импульса р ограничена условием Ахар„~ )>!2л. Это условие характеризует п ограниченную точность информации, которую можно получить о частице.
Например, если с помощью прибора удалось зафиксировать точно поло>кение частицы в пространстве, то эта фиксация связана с неконтролируемым воздействием прибора на состояние движения частицы, и скорость ее илк импульс становятся полностью неопределенными. Максимальная информация в принципе достижима лишь с точностью Ах Ьр„= А/2я, 2. Уравнение Шредингера.
Классическая механика основана на постулатах Ньютона. Основное уравнение, определяющее движение материальной точки, не выводится, а именно постулируется. Аналогичное имеет место и для кзактазомеханического уравнения двия>ения Шредингера. >1тобы лучше понять кнтерпрстаця>о уравнения Шредингера, полезна напомнить основные идеи классической механики Ньютона. В классической механике под уравнонкем движения частицы понпмается уравнение, решая которое при заданных начальных условиях, можно найти пространственную координату и импульс (илп скорость) частицы в любой последующий момент времеви.
формулой сЮ Ых ьге З'» а= — = —, в йг — ьггз ьлг лг — —..- Р, зы (à — Н,= — ~ Р(х. хе авд т — '=Р, ьггз г('э ж — =Р. ьггз аэх ль — = Р„, ьгзз х' Таким образом, лаз Уравнение движения Ньютона есть математическое выражеяне постулата Ньютона, согласно которому в каждой пространственной точке и в каждый момент времени частица испытывает ускорение а~ пропорцнопальное внешней силе К действующей на частицу в этой пространственной точке в рассматриваемый момент времени: а= — Р, где т — масса частицы. Так кск то уравненне можно также написать в виде: Здесь и — вектор скорости частицы, г— радиус-вектор пространственной точки нахождения частицы.
Для составляющпх но осям координат получим; Решение уравнения такого типа имеет вид; ( Г „(О = '„(г,) + ~) Р„(') "' Ь х (Г) = х (ге) )- (г — ге) х, (Га) + г + ( 1,(г 1Р (г"),(г". ь Как видим, для определения х(г) требуется знание начальных условвй, т.о. х(Ы) и л (го). Работа, производимая над частицей силой Р на бесконечно малом пути ьгз, равна скалярному проиаведению силы на путь: )г Ъ. Работа, производимая на конечном пути, равна интегралу по этому пути от элементарной работы: При действии силового поля на свободную частицу меняется анергкя последней, причем у свободной частицы вся энергия есть кинетическая энергия ее движения: таз(2. Если частица (точечное тело) имеет потенциальную энергию ьг, за счет изменения которой производится работа, то сила действия при этой работе определяется л'(Г Р = — —, = — кгаг) Н; ьгг з одномерном случае (ска;кем, сила дейст- вует вдоль осп х) В некоторых случаях ва счет уменьшения потенциальной энергии частицы увеличивается ее кннетпческая энергия.
Прн этом, гслн система замкнута (т, е. частица изолирована от внешних воздепствий), полная энерпгя частицы не должна изменяться (закон сохранения энерпш). Математв ~огкк в одномерном случае это получэстся следующим образом. Из условия Г = — ЫО / Зх следует Л(l —.: = — Рйх и Но оо закону Ньютона Р = та = тггг~'Лы Поатому можно написать х х ( гГл Их Гйх=т 1 — „г(х=т )Лг — = гй ы з т ~ тгз юге = т, хьгх =- —., ЫФ = — — —. пли тхз шх .з Н+ — '= Н,+ — '.
2 2 Этот результат показывает, что для замкнутой (иаолкрованной) системы сумма кинетической и потешГяальной энергии, т. е. полная энергия системы есть величина постоянная. Законы сохранения (в том числе к закон сохранения энергии) являются самыми общими законамн природы, Онн остаютгя в силе и для систем, описываемых квантовой, а не классической ьтеханпкслй Поэтому величина полной внгрг.ин изучаемой квантовой системы существенным образом входит в аппарат квантовой теории стационарных систем, каковыми, в частности, являются иаолировапные системы. Если авданы условия, в котовых осуществляется движение изучаемои частицы (скажем, электрона), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
