Диссертация (1155087), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Рассмотрена распределенная модель двойного гиперцикла. Показано, что при малых значениях коэффициентов диффузии возникают новые пространственно-неоднородные решения. Разработан комплекс программ для численного решения распределенной системы двойного гиперцикла. Приведены примеры численного моделирования.72Глава 3Асимптотика собственных значенийматрицы Якоби в распределенныхматематических моделях Лотки-ВольтеррыКак было показано, множество математических моделей репликаторных систем, описываются системой нелинейных дифференциальныхуравнений.
Распределенные модели математической биологии, в частности, системы Лотки-Вольтерры описываются системой дифференциальных уравнений с частными производными.Некоторые их них можно записать следующим образом= () + Δ,(3.1)где = (1 (, ), ..., (, )) - вектор-функция ( + 1)-го переменного.Здесь ≥ 0, = (1 , , ...
); ∈ Ω; Ω - замкнутая односвязная область в-мерном пространстве; () = (1 (), 2 (), ..., ()) - гладкая дваждынепрерывно дифференцируемая вектор-функция, - матрица с неотрицательными элементами ≥ 0, , = 1, ..., ; Δ - -мерный операторЛапласа Δ = (Δ1 , Δ2 , ..., Δ ).
Известно, что диффузионные слогаемые могут влиять на эволюции системы [13],[16], [44].Уравнение (3.1) рассматривается с начальными условиями(, 0) = (), ∈ Ω.(3.2)На границе Ω области Ω задано условие Неймана⃒ ⃒⃒= 0. ⃒Ω(3.3)Задача (3.1) - (3.3) изучается в полном метрическом пространстве73вектор-функций{︀}︀ = 1 (, ), ..., (, ) : (, ) ∈ 1 (Ω), = 1, ..., , ∈ Ω ,где 1 (Ω) - пространство функций Соболева с нормой⎛|||| 1 = ⎝ Z∑︁=1 Ω⎞ 12⃒⃒2⃒ ⃒⃒⃒⎠⃒ ⃒ (3.4)В распределенных репликаторных системах (, ) - концентрацияэлементов вида в момент времени в точке пространства ; () фитнес (средняя приспособленность системы); - матрица диффузии.Далее в работе будем пользоваться определениемОпределение 3.1.Пространственно-однородным решением системы(3.1) называется решение () уравненияΔ + () = 0,() ̸= .В математической биологии важно исследовать устойчивость систем взависимости от начальных данных и параметров, характеризующих систему [17], [22].
Поскольку в ряде случаев система (3.1)-(3.3) имеет достаточно большую размерность, при исследовании таких систем важноиметь качественные критерии [21], [30] позволяющие установить асимптотическое поведение решения при разных значениях матрицы и различных видах функции ().Для того чтобы оценить влияние диффузионных слагаемых на асимптотическое поведение системы, рассмотрим динамическую систему в ℜ := ()(3.5)Пусть 0 = (01 , ..., 0 ) - стационарная точка системы (3.5), т.е.
(0 ) = 0.Обозначим через матрицу Якоби вектор-функции () в точке 0(︃=(︀ )︀ )︃ 0,, = 1, ..., .74Неподвижная точка 0 системы (3.5) является также пространственнооднородным решением системы (3.1), поскольку выполняется равенство (0 ) + Δ0 = 0.Рассмотрим линейное приближение системы (3.1) в точке 0 := + Δ.Согласно теореме об устойчивости по линейному приближению [18] система полулинейных параболических уравнений (3.1) будет устойчива вокрестности неподвижной точки 0 , если все собственные значения краевой задачи + Δ = , ∈ Ω,⃒ ⃒⃒=0 ⃒Ω(3.6)(3.7)отрицательны. Если хотя бы одно собственное значение задачи (3.6), (3.7)положительно, система (3.1) будет неустойчивой.Известно, что даже если система (3.5) устойчива в окрестности решения = 0 , то соответствующая система с диффузией может бытьнеустойчивой в окрестности этого пространственно-однородного решения [44] и наоборот. Поэтому (особенно в случае систем большой размерности), большую роль играет асимптотика собственных значений системы (3.6), (3.7).
Заметим, что хотя знаки вещественных частей первогои последующих приближения собственых частей системы (3.1) не даютни достаточного, ни необходимого условий устойчивости системы (3.1) встационарной точке = 0 , они являются важными признаками возможного поведения системы в окрестности этого решения.753.1. Случай матрицы диффузии простой структурыПусть матрица (матрица диффузии) имеет простую структуру[8], т.е. кратность любого собственного значения матрицы равна числу линейно независимых собственных векторов, отвечающих этому собственному значению. Предполагается, что все собственные значения матрицы неотрицательны.
В этом случае существует невырожденная матрица такая, что Λ = −1 , где Λ - диагональная матрица, элементыкоторой - собственные числа матрицы .Положим в (3.6), (3.7)() = (),() = (1 (), ..., ()),тогда имеем(3.8) + ΛΔ = ,|Ω = 0,(3.9)где = −1 , ∈ Ω.Рассмотрим решение краевой задачи на собственные значения для функции (), ∈ Ω,Δ = −, ∈ Ω, > 0,⃒ ⃒⃒= 0. ⃒Ω(3.10)Известно, что эта задача имеет счетное множество решений - собственных значений0 = 0 < 1 ≤ 1 ≤ ... ≤ ≤ ..., → +∞, → +∞,∞и соответствующее множество собственных функций { ()}=1 , которые образуют полную ортогональную систему в 1 (Ω)[14].Тогда относительно собственных значений краевой задачи (3.6), (3.7)имеет место следующая теорема76Теорема 3.1.Пусть матрица диффузииструктуру, и пусть,причем ̸= элементы матрицы , = 1, ..., при. ̸= .в(3.1) имеет простую- собственные значения матрицыПусть → ∞при → ∞,Тогда собственные значения задачиа-(3.6), (3.7)могут быть представлены в виде асимптотического разложения постепенмя : = − + − −1∑︀̸= = 1, ..., ; = 1, 2, ..., → +∞, → +∞.
−+ (−2 ),(3.11)Доказательство.Положим() = (), = 1, 2, ...,где = (1 , 2 , ..., ) - вектор в C . Подставляя это равенство в (3.8),придем к матричной задаче на собственные значения( − Λ) = ,Положим = ( )−1 , → 0, = 1, 2, ....(3.12) → ∞, тогда последнее равенствоможно записать в виде(−Λ + ) = ( ).(3.13)Здесь ( ) = · .Задача (3.13) может быть интерпретирована как задача об отыскании собственных зачений ( ) возмущенной посредством добавкиматрицы диагональной матрицы −Λ.Согласно результатам [11], собственные значения ( ) и собственные векторы ( ), могут быть представлены в виде регулярного анали77тического разложения по степеням с некоторыми коэффициентами:( ) = − + 1 + 2 2 + (2 ), ( ) = ,0 + ,1 + 2 ,2 + (2 ) = 1, ..., ;(3.14) = 1, 2, ....Легко заметить, что ,0 является вектором, у которого все компонентынули, кроме ()-й, равной единице.Подставляя разложение (3.14) в (3.13) и собирая члены одного итого же порядка по , имеем−Λ ,0 = − ,0 ,(3.15)−Λ ,1 + ,0 = 1 ,0 − ,1 ,−Λ ,2 + ,1 = 2 ,0 + 1 ,1 − ,2 .Умножим скалярно обе части второго из равенства (3.15) на ,0 , получим(︀)︀1 = ,0 , ,0 = , = 1, ..., .Для отыскания следующего члена разложения 2 представим вектор ,1в виде линейной комбинации базисных векторов ,0 :,1=∑︁ ,0 , = .=1Подставляя это разложение во второе из равенств (3.14) и умножая последовательно обе части на векторы 1,0 , 2,0 , ..., ,0 , получим = −Коэффициенты ,( ,0 , ,0 )=−, − − ̸= .
= 1, 2, ..., , остаются неизвестными, однако непосредственно проверяется, что на дальнейшие выкладки это обстоятельство никак не влияет.С учетом последнего равенства имеем,1=−∑︁̸=∑︁ ,0 + ,0 . − =178Подставляя теперь это равенство в третье уравнение (3.15) и умножаяобе части скалярно на ,0 , получим2 = −∑︁ ( ,0 , ,0 ) = − − − ∑︁̸≠=Далее, подставив выражения для 2 и 1 в (3.14), получим (3.11).Замечание.Формула (3.11) показывает, что первые члены разложения будут положительны, если <, > 0,т.е.
если коэффициенты диффузии достаточно малы. Факт потери устойчивости пространственно-однородных решений и возникновения пространственно-неоднородных состояний диссипативных структур равновесияпри малых коэффициентах диффузии описан в [12]. Причем при последовательном уменьшении коэффициента диффузии возникают бифуркации (перестройки) структуры диссипативных членов.В связи с этим возникает гипотеза, что достаточным условием возникновения диссипативных структур является условие <,1 = 1, 2, ..., ,здесь 1 - первое ненулевое значение, = > 0, а появление бифуркационных решений опрделяется неравенством <, = 2, 3, ..., = > 0.Отметим, что в частных случаях это условие является верным [6].793.2.
Пример математической моделиЛотки-Вольтерры с матрицей диффузиипростой структурыМатематичская модель пищевой цепи описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений [45]:⎧⎪⎪⎪˙ 1 = 1 (1 − 11 1 − 12 2 ),⎪⎪⎨˙ = (− + ,−1 −1 − − ,+1 +1 ),⎪⎪⎪⎪⎪⎩˙ = (− + ,−1 −1 − ). = 2, − 1,(3.16)Доказано [45], что система (3.16) содержит асимптотичеки устойчивоеположение равновесия.Рассмотрим распределенную математическую модель пищевой цепи:⎧⎪1 (,)⎪⎪= 1 (1 − 11 1 − 12 2 ) + (Δ)1⎪⎪⎨ (,)= (− + ,−1 −1 − − ,+1 +1 ) + (Δ) ,⎪⎪⎪⎪⎪⎩ (,) = (− + ,−1 −1 − (, )) + (Δ) = 2, − 1(3.17)80Не умаляя общности, предположим, что Ω = [0; 1].Элементы матрицы Якоби системы (3.16) выглядят следующим образом:⎧⎪⎪⎪1 − 211 01 , если = 1,⎪⎪⎨1 = −12 02 , если = 2,⎪⎪⎪⎪⎪⎩0, иначе;⎧⎪⎪,−1 0 , если = − 1,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨− + ,−1 0 − 2 0 − ,+1 0 ,−1+1 = 2, − 1 ⇒ =⎪⎪−,+1 , если = + 1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩0, иначе;⎧⎪⎪⎪,−1 0 , если = − 1,⎪⎪⎨ = − + ,−1 0−1 − 2 0 , если = ,⎪⎪⎪⎪⎪⎩0, иначе.если = ,81Приведем численный пример:Пример 3.1.Рассмотрим систему (3.17) размерности = 8 с матрицей диффузии ⎛⎜0.148⎜⎜0.158⎜⎜⎜0.136⎜⎜⎜0.104=⎜⎜⎜0.121⎜⎜⎜0.115⎜⎜⎜0.100⎝0.1680.158 0.136 0.104 0.121 0.115 0.1000.351 0.173 0.222 0.187 0.163 0.1660.173 0.230 0.189 0.143 0.167 0.0950.222 0.189 0.309 0.134 0.197 0.0910.187 0.143 0.134 0.157 0.097 0.0750.163 0.167 0.197 0.097 0.204 0.1050.166 0.095 0.091 0.075 0.105 0.1450.279 0.206 0.224 0.181 0.172 0.138⎞0.168⎟⎟0.279⎟⎟⎟0.206⎟⎟⎟0.224⎟⎟⎟0.181⎟⎟⎟0.172⎟⎟⎟0.138⎟⎠0.293матрицей коэффициентов :⎞⎛000000 ⎟⎜0.1000 0.5457⎟⎜⎟⎜2.1168 0.1036 0.242900000⎟⎜⎟⎜⎜ 01.0487 0.3149 0.14820000 ⎟⎟⎜⎟⎜⎜ 001.5641 0.2876 0.1806000 ⎟⎟=⎜⎟⎜⎜ 0001.5289 0.0219 0.010900 ⎟⎜⎟⎟⎜⎜ 00000.7231 0.1563 0.00510 ⎟⎟⎜⎟⎜00002.5470 0.1920 0.2732⎟⎜ 0⎠⎝0000000.4140 0.0371и вектором :(︁)︁ = 0.3151 1.3009 0.3000 0.2228 0.8461 0.2577 0.6640 0.2116Непосредственно проверяется, что неподвижная точка здесь:1 = 0.6708;2 = 0.4545;3 = 0.2963;4 = 0.56225 = 0.4373;6 = 0.3559;7 = 0.5557;8 = 0.497082Матрица линеаризации A в задаче (3.6) отнсоительно уравнения (3.17):⎞⎛000000⎟⎜−0.0671 −0.3661⎟⎜⎟⎜ 0.9621 −0.0471 −0.110400000⎟⎜⎟⎜⎟⎜00.3107 −0.0933 −0.04390000⎟⎜⎟⎜⎟⎜000.8793 −0.1617 −0.1015000⎟⎜=⎜⎟⎟⎜0000.6686 −0.0096 −0.004800⎟⎜⎟⎜⎟⎜00000.2574 −0.0556 −0.00180⎟⎜⎟⎜000001.4154 −0.1067 −0.1518⎟⎜⎠⎝0000000.2058 −0.0184Матрица диффузии имеет собственные значения:1 = 0.0105;2 = 0.0206;3 = 0.0272; 4 = 0.0321;5 = 0.0956;6 = 0.1132;7 = 0.1734; 8 = 1.364.Матрица преобразования в этом случае:⎛⎜ 0.4994⎜⎜ 0.3533⎜⎜⎜ 0.2425⎜⎜⎜ 0.1010 =⎜⎜⎜−0.6022⎜⎜⎜−0.2491⎜⎜⎜−0.2843⎝−0.22640.30720.1552−0.2576 −0.3958−0.0557 −0.20610.46140.14650.2800−0.3731−0.4381 −0.27120.44240.1040−0.39640.7292⎞0.5479 −0.0479 0.4524 0.2259 0.2720⎟⎟−0.0614 0.0084 −0.4974 0.4405 0.4548⎟⎟⎟−0.6259 0.1592 0.5349 −0.2618 0.3518⎟⎟⎟0.0541 0.0968 −0.4650 −0.6081 0.3963⎟⎟⎟0.1952 0.4881 0.1462 0.1949 0.2901⎟⎟⎟0.3821 −0.4954 0.1544 −0.3935 0.3200⎟⎟⎟−0.3391 −0.6627 0.0163 0.3197 0.2367⎟⎠−0.0474 0.2003 0.0082 0.1470 0.442483Матрица −1 соответственно:⎛ −1⎜ 0.4994⎜⎜ 0.3072⎜⎜⎜ 0.1552⎜⎜⎜ 0.5479=⎜⎜⎜−0.0479⎜⎜⎜ 0.4524⎜⎜⎜ 0.2259⎝0.27200.3533−0.2576−0.3958−0.06140.0084−0.49740.44050.4548⎞0.2425 0.1010 −0.60 −0.2491 −0.2843 −0.2264⎟⎟−0.0557 0.4614 0.28 −0.4381 0.4424 −0.3964⎟⎟⎟−0.2061 0.1465 −0.37 −0.2712 0.1040 0.7292 ⎟⎟⎟−0.6259 0.0541 0.19 0.3821 −0.3391 −0.0474⎟⎟⎟0.1592 0.0968 0.48 −0.4954 −0.6627 0.2003 ⎟⎟⎟0.5349 −0.4650 0.14 0.1544 0.0163 0.0082 ⎟⎟⎟−0.2618 −0.6081 0.19 −0.3935 0.3197 0.1472 ⎟⎠0.3518 0.3963 0.29 0.3200 0.2367 0.4424Тогда матрица в системе (3.8) относительно уравнения (3.17) выглядит следующим образом:⎛⎜ 0.2035 0.0504 0.1912 −0.0224 0.1246 0.3452 0.4090⎜⎜−0.0714 −0.3863 −0.2413 −0.1461 −0.2350 0.1926 −0.6342⎜⎜⎜−0.2367 −0.2477 −0.1195 −0.3414 −0.1963 0.1147 −0.0631⎜⎜⎜−0.0929 0.3703 0.2820 −0.2762 0.3202 0.0793 −0.0835=⎜⎜⎜ 0.3355 0.4942 0.3885 −0.4441 0.3680 −0.2912 0.2109⎜⎜⎜−0.3828 −0.0523 −0.0210 0.0028 0.0094 −0.5131 −0.0788⎜⎜⎜−0.0530 0.1150 0.1363 0.7744 −0.3498 −0.0673 −0.1917⎝0.1703 0.0888 −0.0939 0.1788 −0.1562 0.3395 −0.1517Следовательно, собственные значения в (3.17) равны−21 = −0.0105 + 0.2035 − 3.9221−1 + ( ),−22 = −0.0206 − 0.3863 + 2.5045−1 + ( ),−23 = −0.0272 − 0.1195 − 27.2478−1 + ( ),−24 = −0.0321 − 0.2762 + 21.6648−1 + ( ),−25 = −0.0956 + 0.368 + 3.328−1 + ( ),−26 = −0.1132 − 0.5131 + 1.6133−1 + ( ),−27 = −0.1734 − 0.1917 + 1.979−1 + ( ),−28 = −1.364 + 0.3599 + 0.0836−1 + ( ).⎞−0.2599⎟⎟0.1775 ⎟⎟⎟−0.1410⎟⎟⎟−0.2106⎟⎟⎟−0.0856⎟⎟⎟−0.1824⎟⎟⎟0.0417 ⎟⎠0.355984Если выбрать в качестве системы собственных функций () систему () = cos(), = 0, 1, 2, ..., то = ()2 и собственные значения соответственно равны:1 = −0.2973 + (−2 ),2 = −1.1346 + (−2 ),3 = −2.8451 + (−2 ),4 = −5.2073 + (−2 ),5 = −23.1957 + (−2 ),6 = −40.7256 + (−2 ),7 = −84.0697 + (−2 ),8 = −861.5000 + (−2 ).85Далее приведены графики решения системы (3.16) с начальнымиусловиями = 1, 8 ⇒ (, 0) = 1 − · cos()8На рис.3.1 изображены графики функций (, ).Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
