Диссертация (1155087), страница 8
Текст из файла (страница 8)
3.1. Распределенная математическая модель пищевой цепи (3.16) с начальнымиусловиями:1 (, 0) = 1 − 0.125 cos();0.375 cos();4 (, 0) = 1 − 0.5 cos();1 − 0.75 cos();2 (, 0) = 1 − 0.25 cos();3 (, 0) = 1 −5 (, 0) = 1 − 0.625 cos();7 (, 0) = 1 − 0.875 cos();6 (, 0) =8 (, 0) = 1 − cos();Пример 3.2.Рассмотрим пример 3.1 с коэффициентами диффузии 0.1 · ( ) ( коэффициенты диффузии из примера 3.1).86Следовательно, собственные значения в (3.16) равны−21 = −0.00105 + 0.2035 − 39.221−1 + ( ),−22 = −0.00206 − 0.3863 + 25.045−1 + ( ),−23 = −0.00272 − 0.1195 − 272.478−1 + ( ),−24 = −0.00321 − 0.2762 + 216.648−1 + ( ),−25 = −0.00956 + 0.368 + 33.28−1 + ( ),−26 = −0.01132 − 0.5131 + 16.133−1 + ( ),−27 = −0.01734 − 0.1917 + 19.79−1 + ( ),−28 = −0.1364 + 0.3599 + 0.836−1 + ( ).Если выбрать в качестве системы собственных функций () систему () = cos(), = 0, 1, 2, ..., то = ()2 и собственные значения соответственно равны:1 = −3.7807 + (−2 ),2 = 0.1669 + (−2 ),3 = −3.4289 + (−2 ),4 = 0.5889 + (−2 ),5 = −1.8550 + (−2 ),6 = −4.4894 + (−2 ),7 = −8.5389 + (−2 ),8 = −85.8284 + (−2 ).На рис.3.2 изображены графики функций (, ).87Рис.
3.2. Распределенная математическая модель пищевой цепи (3.16) с начальнымиусловиями:1 (, 0) = 1 − 0.125 cos();0.375 cos();4 (, 0) = 1 − 0.5 cos();1 − 0.75 cos();2 (, 0) = 1 − 0.25 cos();3 (, 0) = 1 −5 (, 0) = 1 − 0.625 cos();7 (, 0) = 1 − 0.875 cos();6 (, 0) =8 (, 0) = 1 − cos();3.3. Случай, когда матрица диффузии содержиткратные собственные значенияПусть среди собственных значений матрицы имеются кратные.Например, 1 - собственное значение кратности ≥ 2. Поскольку - матрица простой структуры, то этому кратному собственному значению отвечают линейно-независимых собственных векторов. Не умаляяобщности, можно сказать, что матрица Λ имеет по диагонали раз повторяющееся собственное значение 1 в левом верхнем углу. Остальные88собственные значения 2 , ..., ( = − ) будем считать простыми и неравными 1 .
Собственные векторы, отвечающие кратному значению 1 ,имеют вид 1 = (1, 0, ..., 0), 2 = (0, 1, 0, ..., 0), = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)(3.18)(в единица стоит на -м месте). Собственные векторы, отвечающиеостальным собственным значениям, обозначим, как и ранее, через 0, , = + 1, ..., − (единицы - на -м месте).
Возмущенное собственноезначение ( ) задачи (3.13) можно искать [14] в виде первого равенства(3.14) с = 1. Представим собственный вектор 1 ( ) в виде1 ( ) =∑︁(3.19) + 1,1 + 2 1,2 + (2 ).=1Здесь - некоторые постоянные, вообще говоря, комплексные, а определены в (3.18). Подставляя (3.19) в (3.13) и собирая члены с одинаковыми степенями , получим∑︀(−Λ + 1 ) 1,1 + = 11=1 (−Λ + 1 ) 1,2+ ∑︀ + 11 1,1 ,=11,1∑︀1= 2 +11 1,1 .(3.20)=1Тогда относительно собственных значений задачи (3.6), (3.7) имеет местоследующая теоремаТеорема 3.2.структуру иПусть матрица диффузии1в(3.1) имеет простую- собственное значение кратностиющие этому собственному значению.Тогда отвечасобственных значений задачи(3.6), (3.7) представляются в виде асимптотического разложения:(︂ ∑︁∑︁(︀ 1 )︀−1= −1 + 1 − =1 =+1∑︀ )︂=1(1 − )∑︀=1| |2+ (−2 ).(3.21)89Здесь(︀ 1 )︀1 --есобственное значение задачи(3.20), - координаты собственного вектора, отвечающего собственному значению = 1, ..., .(︀ 1 )︀1 ,Остальные собственные значения выражаются формулой(3.11) при = 1, ..., , где = 1 для = 1, ..., .Доказательство.Умножая последовательно обе части первого равенства (3.20) скалярнона векторы , = 1, ..., , получим систему линейных однородных уравнений относительно постоянных :∑︁ = 11 , = 1, ..., .=1Эта система имеет решение тогда и только тогда, когда(3.22)⃒⃒⃒ − 11 ⃒ = 0.Здесь - матрица порядка ( × ) с элементами , , = 1, ..., ; единичная матрица.
Следовательно, величины 11 - собственные значенияматрицы . Обозначим эти значения через 11 , = 1, ..., . Вектор 1,1(︀ )︀будем искать в виде1,1=∑︁∑︁ +=1 0, , − .=+1Если это равенство подставить в первое уравнение (3.20), а затем умножить обе его части скалярно на вектор1,0=∑︁ ,=1окончательно получим∑︀ ∑︁ ∑︁=1=1 =+11 − +∑︁,=1 =11∑︁=1 +12∑︁=1| |2 .90Следовательно, для величин 21(︀ )︀(21 ) = − ∑︁∑︁=1 =+1имеет место разложение∑︀ =1∑︀(1 − ), = 1, ..., .| |2=1Здесь - координаты -го собственного вектора задачи = 11 , отвечающего собственному значению (11 ) , = 1, ..., .Замечание.Если 1 - собственное значение кратности , то формула(3.21) приобретает вид точного равенства: = −1 + (11 ) , = 1, ..., ,где (11 ) - собственное значение матрицы .3.4.
Случай, когда матрица диффузии имеетжордановы блокиРассмотрим случай, когда матрица Λ содержит жорданов блок ,что соответствует наличию кросс-диффузионных членов в системе,⎛⎜1⎜⎜0⎜⎜ = ⎜ ...⎜⎜⎜0⎝010 ... 0⎞0⎟⎟1 1 ... 0 0 ⎟⎟⎟... ... ... ... ... ⎟ .⎟⎟0 0 ... 1 1 ⎟⎠0 0 ... 0 1Пусть +1 , +2 , ..., - остальные собственные значения матрицы ;-кратному собственному значению 1 отвечает единственный собственный вектор 1,0 , а остальным собственным значениям - собственные векторы ,0 , = + 1, ..., . Для жорданового блока 2-го порядка относительно собственных значений задач (3.6), (3.7) верна следующая теорема91Теорема 3.3.Пусть у канонической формы матрицыстой жорданов блок⎛2 = ⎝Если 211 10 1имеется про⎞⎠̸= 0, то соответствующие собственные значения задачи (3.6),(3.7) имеют вид√2√22 ) +412 2122√ √+ (118−+( −21 + 11 + ),2 −21√√ √(11 −22 )2 +412 2122√ √−+ ( ).2 = −1 − −21 + 11 +28 −1 = −1 +√(3.23)21Доказательство.Известно, что в этом случае собственное значение 1 ( ) и собственныевекторы 1 ( ) возмущенной задачи представляются разложением по сте1пеням [7] [11]:1 ( ) = −1 +1 11+2 21+3 31(︁3+ )︁,)︁(︁123311,0 1,1 1,2 1,3 ( ) = − + + + + .(3.24)Остальные собственные значения и собственные векторы представляются в виде разложения (3.14) по целым степеням .Поскольку мы рассматриваем случай жорданова блока размерности12, разложение (3.24) реализуется по степеням 2 .Если подставить (3.24) в (3.13) и собрать члены одного порядка по , то получим цепочку равенств(−Λ + 1 ) 1,0 = 0,(−Λ + 1 ) 1,1 = 11 1,0 ,(−Λ + 1 ) 1,2 + 1,0 = 11 1,1 + 21 1,0 ,(3.25)(−Λ + 1 ) 1,2 + 1,1 = 11 1,2 + 21 1,1 + 31 1,0 ,(−Λ + 1 ) 1,3 + 1,1 = 11 1,3 + 21 1,2 + 31 1,1 + 41 1,0 ,где 1,0 = (1, 0, ..., 0) и ,0 = (0, ..., 1, ..., 0) (1 стоит на -м месте), =1, ..., .
Второе уравнение системы (3.25) разрешимо, если и только если92его правая часть ортогональна к решениям сопряженного уравнения(−Λ* + 1 ) 0 = 0.(3.26)Это условие выполняется, когда 0 = (0, 1, 0, ..., 0). Решением второгоуравнения системы (3.25) является 1,1 (1 , 11 , 0, .., 0), где 1 - произвольная константа. Умножая третье уравнение системы (3.25) на 0 ииспользуя уравнение (3.26), получаем(︀)︀ (︀(︀)︀ )︀(−Λ + ) 1,2 , 0 = 1,2 −Λ + , 0 = 0,√︀(︀ 1 )︀21−21 − 1 = 0, 1 = ± −21(3.27)(3.28)Положим 1,2 = (1 , 2 , 3 , ..., ). Первая компонента третьего уравнения системы (3.25) дает−2 + 11 = 21 + 1 11 ,а -я компонента дает = −1, − 1 = 3, ..., ,где ̸= 1 .Умножая четвертое уравнение системы (3.25) на 0 , получаем соотношения к уравнению (3.27) для вектора 1,3 и формулу ( 1,0 , 0 ) = 0,− 21 1 + 11 22 − 221 11 + 11 11 − 1 12 = 0.Подставив (11 )2 = −21 , получим21 =11 + 22.2Вернемся к четвертому уравнению системы (3.25) и положим(︀′′ )︀ 1,3 = 3 , 3 , 3 , ..., .Тогда первая компонента этого уравнения дает:3 = 11 1 + 12 11 − 31 − 1 21 − 2 11 .93Уможая пятое уравнение системы (3.25) на 0 и используя формулу(3.27) для вектора 1,4 , получим(︀)︀−21 2 − 22 11 − 21 − 1 11 − 11 31 + 11 21 − (11 )2 −−21 11 21+11 11 1+12 (11 )2−11 31−(11 )2 2= 0.(3.29)Из (3.28), (3.29) следует:1 (22 + 11 − 221 )11 = 0,2 (−21 − (11 )2 ) = 0.Поэтому211 31(11 + 22 )2(11 − 22)2 + 412 21=− 22 11 + 12 21 =.44Так же, как и в предыдущем случае, можно единственным образом опре′делить , = 3, ..., , рассматривая -ю компоненту пятого уравнениясистемы (3.25).Замечание.Случай 21 = 0 является вырожденным.
Нетрудно показать,что в этом случае = −1 + , = 1, 2, ..., = 1, 2. Аналогичнодоказываются следующие формулы для жордановых матриц третьего ичетвертого порядков. Если матрица Λ содержит жорданов блок третьего или четвертого порядка, то имеют место соответственно следующиепредставления:(︁)︁1(︀ 1 )︀(︀ 11 +22 +33 )︀21 +1−32132 = −1 + ( ) 3 (31 ) − ( ) 3+ ( ) 3 ,1 +33(31 )3 = 1, 2, ..., = 1, 2, 3,(3.30)13где (31 ) - кубический корень элемента 31 ̸= 0 матрицы ,(︁)︁1(︀ 1 )︀31 +1−44131 = −1 + ( ) 4 (−41 ) − ( ) 2( ) 3 ,1 + (−41 )4 = 1, 2, ...,(3.31) = 1, 2, 3, 4,1где (−41 )4 - корни четвертой степени элемента 41 ̸= 0 матрицы .Замечание.Случай 31 = 0 и 41 = 0 являются вырожденными.
В этих94случаях разложение (3.24) содержит целое число , причем1 = − 1 +1 = − 1 +11 32 +21 33+ (−1 ),2142 +43 21 +23 44+ (−1 ),23= 3, = 4.В качестве примера рассмотрен общий вид распределенной математической модели Лотки-Вольтерры.Пример 3.3. = 1, ⇒∑︁ (, )= ( + (, )) + (Δ)=1с коэффициентами:⎛−0.1217 −0.1622 −0.6990 −0.8689⎜⎜−0.0908⎜⎜⎜ 0.3873⎜⎜⎜−0.2088⎜=⎜⎜−0.7427⎜⎜⎜−0.9276⎜⎜⎜ 0.4428⎝0.18920.3998−0.1805 −0.8562 −0.0445 −0.3356−0.05580.3175−0.03750.1976−0.1815 −0.5735 −0.4438 −0.9030−0.89790.2360−0.79900.3272−0.4298 −0.3808 −0.3979 −0.3685−0.75550.19280.1230−0.4389 −0.3186−0.4256 −0.6208 −0.4856⎞−0.6109 −0.6937 −0.9262⎟−0.9004 −0.4386 −0.6263⎟⎟⎟−0.3475 0.4717 −0.8561⎟⎟⎟−0.1828 0.2546 −0.7820⎟⎟⎟−0.2279 0.4455 −0.8193⎟⎟⎟−0.4346 0.36100.0052 ⎟⎟⎟−0.9422 −0.1564 −0.4415⎟⎠0.4517 −0.2803 −0.4475(︁)︁ = 1.7977 2.1490 −0.4741 1.2654 0.7733 1.6348 1.0185 0.2292В случае, когда матрица диффузии содержит простой жорданов блоквторого порядка c собственным значением 1 = 0.5:⎛2 = ⎝0.501⎞⎠,0.5собственные значения задачи (3.6), (3.7) равны:√1 = −0.5 + 0.85 + 1.044 −√+ ( );√ = ()2 ⇒ 1 = −3.89 + 2.46 + ( )√√√2 = −0.5 − 0.85 + 1.044 − 0.63 + ( );√ = ()2 ⇒ 2 = −3.89 − 2.87 + ( )0.63√95На рис.3.3 изображено численное решение распределенной математической модели Лотки-Вольтерры в этом случае:Рис.
3.3. Численное решение распределенной математической модели Лотки-Вольтерры с матрицей диффузии, содержащий простой жорданов блок с собственнымзначением1 = 0.5В случае, когда матрица диффузии содержит простой жорданов блоквторого порядка c собственным значением 1 = 0.05:⎛2 = ⎝0.0501⎞⎠,0.05собственные значения задачи (3.6), (3.7) равны:√1 = −0.05 + 0.85 + 1.044 −0.63√√+ ( );√ = ()2 ⇒ 1 = 0.55 + 2.46 + ( )√√√2 = −0.05 − 0.85 + 1.044 − 0.63+( );√ = ()2 ⇒ 2 = 0.55 − 2.87 + ( )96На рис.3.4 изображено численное решение распределенной математической модели Лотки-Вольтерры в этом случае:Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
