Диссертация (1155087), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

решения, которые удовлетворяют следующему интегральному равен­ству:∞ZZ(, ) =0 Ω∞ZZ∞ZZ( (, )) (, ) −0 Ω(∇, ∇) 0 Ωдля любых функций (, ) на компактном подмножестве (по переменной), которые дифференцируемы по переменной при ∈ [0, +∞) и при­надлежат(по переменной ) пространству Соболева 2 (Ω) для любогофиксированного ≥ 0, = 1, 2.Остальная часть главы посвящена доказательству утверждения:1. Система(1.12) содержит единственное положение равновессия ^,которое совпадает с неподвижной точкой системы2. Неподвижная точка^уравнения(1.4).(1.12) асимптотически устойчи­ва.1.2. Пространственно-однородное решениераспределенной системы квазивидовЗаметим, что система (1.12) не является системой уравнений с част­ными производными в классическом смысле, так как правая часть содер­жит функционал () от решения (, ).

Однако можно рассмотретьэту систему в классическом смысле, если добавить в систему (1.12) однообыкновенное дифференциальное уравнение относительно средней при­способленности () ()= ⟨( , )⟩ − ( ())2 , = (1 , 2 , ... )(1.15)22Пространственно-однородное решение уравнения (1.12) находится из сле­дующей эллиптической системы дифференциальных уравнений с част­ными производными(1.16)(Δ()) + ( ()) − () = 0с граничными условиями(︂)︂⃒ () ⃒⃒⃒ = 0,(1.17) = 1, ..., .Интегральное равенство (1.11) преобразуется следующим образом⟨((), )⟩ = Z∑︁(1.18) () = 1.=1 ΩОбозначим через (Ω) множество неотрицательных вектор-функций () =(1 (), 2 ()..., ()),∀ = 1, ⇒ () ∈ 2 (Ω)( = 1 или = 2), удо­влетворяющих (1.18).Используя (1.14) и (1.18), получаем = ⟨((), )⟩т.е.

- констаната.Относительно неподвижной точки системы (1.16), (1.17) имеет место сле­дующая теорема.Теорема 1.1.Если все собственные значения диффузионной матрицыположительны:∀ = 1, ⇒ > 0,пределенной системы квазивидовва2 , = 1, 2,то стационарное решение рас­(1.16), (1.17) в пространстве Соболе­совпадает с положением равновесиясистемы квазивидовДоказательство.^обыкновенной(1.4).Рассмотрим следующую краевую задачу на собствен­ные значения:Δ() = −(),(︁)︁⃒⃒⃒ = 0.(1.19)23Собственные функции системы0 () = 1,{ ()}∞=1образуют полную ортогональную систему в пространстве Соболева 22 (Ω):Z(1.20) () () = ,Ωгде - символ Кронекера. Соответствующие собственные значения удо­влетворяют условию:0 = 0 < 1 ≤ 2 ≤ ...

≤ ≤ ...,lim = +∞.→∞Рассмотрим решение () = (1 (), ..., ()),() ∈ (Ω), системы(1.16), (1.17).Функции () будем искать в виде разложения в ряд по функциям{ ()}∞=0 (1.19): () =0+∞∑︁ (), = 1, ..., .(1.21)=1Это возможно, поскольку собственные функции { ()}∞=0 образуют пол­ную систему в 2 (Ω). Здесь 0 , - константы, = 1, ..., , = 1, 2, ....Подставим разложение (1.21) в уравнение (1.16) и домножим после­довательно эти уравнения на собственные функции (1.19), затем проин­тегрируем по переменной по области Ω:( 0 ) − 0 = 0,( ) − − ( ) = 0, = 1, ..., (1.22) = 1, 2, 3, ...(1.23)где - собственные значения задачи (1.19). 0 = (01 , ..., 0 ) и =(1 , ..., ) - векторы в ℜ , = 1, 2, ....При выводе систем (1.22), (1.23) использовалась ортогональностьсистемы функций ().24Интегральное равенство (1.18) и среднеинтегральная приспособлен­ность теперь представляются в виде:∑︀0 = 1,=1 =∑︀ 0 .=1Уравнение (1.22) имеет тот же вид для неподвижной точки системы(1.4).

Поэтому единственное решение этого уравнения совпадает с коор­динатами неподвижной точки, т.е. 0 = ^ . Отсюда следует, что = .Рассмотрим теперь систему (1.23). Поскольку матрица удовлетво­ряет условию (1.8), существует невырожденная матрица такая, что −1 = ,где - диагональная матрица с положительными элементами ( собственные числа матрицы , = 1, 2, ..., ).Рассмотрим преобразование = , = 1, 2, ...,где = (1 , ..., ) - вектор в ℜ .Уравнение (1.23) преобразуется к виду(︁)︁ = + , = 1, 2, 3, ...(1.24)Все собственные значения матрицы = −1 и матрицы совпа­дают.Поскольку - максимальное собственное значение матрицы , то(︀(︀⃒⃒2)︀)︀ ⃒⃒ −1 , ≤ ⃒⃒ ⃒⃒25Согласно предположению, у диффузионной матрицы все собственныезначения положительны, поэтому(︁(︁)︁ + , )︁⃒⃒2 ⃒⃒> ⃒⃒ ⃒⃒Тем самым, уравнение (1.24) не содержит ненулевых решений. Это озна­чает, что уравнение (1.22) содержит единственное решение, совпадающеес неподвижной точкой уравнения (1.4), т.е.

^ = 0.Замечание 1.1.Если хотя бы одно собственное значение матрицыравно нулю, утверждение теоремы не выполняется. Предположим,что1 = 0,тогда имеет место равенство:(︀Поэтому, уравнение)︀ , = 0, = 1, 2, 3, ...(1.24) может содержать счетное множество ре­шений.В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример.Пример 1.1.Допустим, что неподвижная точка уравнения (1.4) - собственный векторматрицы , соответствующий нулевому собственному значению:^ = 0Тогда вектор-функция () =1^ (1 + ()) , = 1, 2, 3, ...|Ω|вляется решением системы (1.16), (1.17). Здесь |Ω| - диаметр области Ω.Действительно:1Δ + − = |Ω|()^ () = 0, R R∑︀∑︀11()=^ = 1.|Ω||Ω|=1 Ω=1 Ω261.3. Диффузионная устойчивость распределенноймодели квазивидовДалее будем пользоваться следующим определением [2]Определение 1.1.Две динамические системы() ()= 1 (, ),= 2 (, )называются асимптотически эквивалентными, если существует вза­имно-однозначное соответствие между решениями этих систем та­кое, чтоlim ||() − ()|| = 0.→∞Здесь и далее || · || означает норму в пространстве ℜ .Далее, будем пользоваться следующим результатом, полученным Левин­соном [36]:Пусть решение системы= ()с постоянной матрицей ограничено при → ∞.Тогда система= ( + ()) ()асимптотически эквивалентна системе= (),если+∞Z||()|| < ∞.0Относительно асимптотического решения системы (1.12), (1.13) имеетместо следующая теорема.27Теорема 1.2.Если все собственные значения матрицы диффузииположительны, то для любых начальных данныхние системысистемы () ∈ (Ω)реше­(1.12), (1.13) сходится в (Ω ) к решению динамической(1.4) с начальными даннымиZ = (),(1.25) = 1, ..., .ΩДоказательство.Как и раньше, решение (, ) ∈ (Ω ) уравнения(1.12), (1.13) будем искать в виде разложения по функциям (): (, ) =0 ()+∞∑︁ () (),(1.26) = 1, ..., .=1Здесь () - функции от , = 1, ..., , = 1, 2, ....

Это разложение∞возможно, поскольку система собственных функций { ()}=0 образуетполную систему в 2 (Ω), = 1, 2. В итоге мы получаем систему обык­новенных дифференциальных уравнений относительно ():)︀0 () (︀= 0 () − 0 ()(1.27))︀(︀)︀ () (︀= () − () − () (1.28)(︀)︀где - собственные значения (1.19); 0 () = 01 (), ..., 0 () , () =(︁)︁1 (), ..., () , = 1, 2, 3, ....

Среднеинтегральная приспособленность(1.14) тогда равна () =∑︁( ) 0 ().=1ПосколькуZZ () = (, 0) = ,ΩΩто 0 = , = 1, 2, ..., . Из теоремы единственности следует, что системы(1.4) и (1.26) совпадают, т.е. 0 () = (). И, тем самым, () = ().(1.29)28Рассмотрим теперь систему (1.27). Как и при доказательстве теоремы1.1, рассмотрим преобразование , которое приводит матрицу диффузии к диагональному виду. Система (1.27) тогда преобретает следующийвид: = ( −1 ) () − ( () + ) (), = 1, 2, ...,где - диагональная матрица, состоящая из собственных значений диффузионной матрицы .Используя следующее равенство:(︁ () = () − получаем:)︁+ , = () + () (),где - постоянная матрица, равная = ( −1 ) − ( + ),() - диагональная матрица с элементами () = − (), = 1, 2, ..., Напомним, что () определяется уравнением (1.6), = (, ).Для исследования системы = (), ∈ введем следующую функцию Ляпунова(︀ )︀ 1 (︀ )︀ 1 ⃒⃒ ⃒⃒2 = , = ⃒⃒ ⃒⃒ .22Отсюда получаем)︁)︁(︀ )︀ (︀)︀ (︀(︀ −1)︀ )︀ (︁(︁ ˙ = , = , − + , .29С другой стороны,⃒⃒2(︀(︀ −1)︀)︀ ⃒⃒ , ≤ ⃒⃒ ⃒⃒ ,(︁(︁ )︁)︁⃒⃒2 ⃒⃒ + , > ⃒⃒ ⃒⃒ .Следовательно, положение равновессия = 0 асимптотически и экспо­ненциально устойчиво.Исследуем сходимость интеграла∞Z⃒⃒⃒ ⃒⃒ − ()⃒ .(1.30)0Вопрос о сходимости (1.30) сводится к исследованию сходимости следу­ющего интеграла∞Z|^ − ()| , = 1, ..., ,0где () - координаты решения уравнения (1.4), ^ - координаты непо­движной точки (1.4).Используя результат [50] мы можем представить решение системыв следующем виде∑︀ () = ( −)=1∑︀ ( −(1.31)),=1Здесь - -я координата -го собственного вектора матрицы , >2 ≥ ...

Характеристики

Список файлов диссертации