Диссертация (1155087), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

≥ - собственные векторы матрицы ; - положительнаяконстанта, = 1, ..., .Предельные значения равны1lim () = ∑︀= *→∞1=1(1.32)30Из выражений (1.31), (1.32) следует, что существует такая положитель­ная константа , что|*−( −2 )− ()| ≤ Следовательно, интеграл (1.30) сходится. Используя теорему Левинсона,мы получаем, что решение системы (1.28) экспоненциально стремится кнулю при → ∞.Если хотя бы одно собственное значение диффузион­Следствие 1.1.ной матрицы равно нулю, то существует счетное множество реше­ний () ∈ (Ω ), = 1, 2, ...(1.12), (1.13), сходящихся ксистемырешениям динамической системы(1.4) в среднеинтегральном смысле,т.е.

таких, чтоZ (, ) = (),lim→∞ = 1, ..., , = 1, 2, ...,Ωгде() = (1 (), 2 (), ..., ())- решение уравнения(1.4).Рассмотрим следующий пример.Рассмотрим счетное множество вектор-функций (, ) =1(() + ^ ()),|Ω| = 1, 2, 3, ....Тогда (,)= ()|Ω| ,)︀1 (, ) = |Ω|( () + ( ^ ) ()) ,∑︀ () = () = (),(︀=1(︀)︀Δ (, ) = (^) ·1|Ω| (− ())= 0 (поскольку ^ = 0).Следовательно, (, ) + (, ) − (, ) − =(︁(︁)︁(︁)︁)︁1= |Ω| () − () − + ^ + ^ − ^ () = 0.311.4. Численное моделирование распределеннойматематической модели квазивидов ЭйгенаРазработан комплекс программ на языке C++, позволяющих чис­ленно решать систему (1.12) произвольной размерности. Решение осно­вано на разложении неизвестной функции (, ) в тригонометрическийряд по функциям cos(): (, ) =∑︁ () cos()=0Программа позволяет находить неизвестные коэффициенты разложения () и восстанавливать неизвестные функции (, ). Подробное описа­ние численного решения системы (1.12) содержится в приложении A.Пример 1.2.Далее приведено решение системы (1.12), (1.13) размерности = 8, сматрицами и следующего вида:⎞⎛⎜0.028⎜⎜ 0.2⎜⎜⎜0.038⎜⎜⎜0.052=⎜⎜⎜ 0.18⎜⎜⎜ 0.39⎜⎜⎜ 0.12⎝0.180.20.032 0.0460.20.260.24 0.058 0.120.150.0650.068 0.021 0.140.150.20.130.140.190.180.0640.140.110.15 0.088 0.0410.099 0.26 0.085 0.068 0.0810.110.180.110.20.00480.110.220.150.19 0.00350.096 0.138 ⎟⎟0.087 0.08 ⎟⎟⎟0.17 0.213 ⎟⎟⎟0.1 0.144 ⎟⎟⎟0.15 0.141 ⎟⎟⎟0.006 0.011 ⎟⎟⎟0.27 0.0052⎟⎠0.017 0.1295 = (1.7, 8.7, 8.4, 1.4, 2.6, 6.2, 7, 5)32Матрица соответственно⎛⎜0.046⎜⎜ 0.34⎜⎜⎜0.063⎜⎜⎜0.088 = ⎜⎜⎜ 0.3⎜⎜⎜ 0.66⎜⎜⎜ 0.2⎝0.3⎞1.7 0.27 0.066 0.5120.49 0.170.59 0.180.21.20.281.21.2 0.96 0.210.86 2.20.120.91 1.50.150.98 1.90.211.60.670.71 ⎟⎟0.38 0.40.6 0.45 ⎟⎟⎟0.38 1.21.21.1 ⎟⎟⎟0.47 0.40.7 0.68 ⎟⎟⎟0.23 0.25 1.10.7 ⎟⎟⎟0.18 0.5 0.042 0.021⎟⎟⎟0.52 0.03 1.9 0.081⎟⎠0.49 0.022 0.12 0.64и матрицей диффузии⎛⎜0.0053⎜⎜0.0052⎜⎜⎜0.0045⎜⎜⎜0.0025=⎜⎜⎜0.0037⎜⎜⎜0.0027⎜⎜⎜0.0056⎝0.00420.0052 0.0045 0.0025 0.0037 0.0027 0.00560.010.0081 0.0067 0.0074 0.0047 0.00810.0081 0.0084 0.006 0.0064 0.0041 0.00750.0067 0.006 0.0079 0.0068 0.0026 0.00610.0074 0.0064 0.0068 0.0084 0.0026 0.00630.0047 0.0041 0.0026 0.0026 0.0042 0.00440.0081 0.0075 0.0061 0.0063 0.0044 0.00890.0073 0.0061 0.0050.005 0.0041 0.0061⎞0.0042⎟⎟0.0073⎟⎟⎟0.0061⎟⎟⎟0.005 ⎟⎟⎟0.005 ⎟⎟⎟0.0041⎟⎟⎟0.0061⎟⎠0.0059Собственные значения матрицы :(︁)︁Λ = 0.00001; 0.0053; 0.0094; 0.0128; 0.0161; 0.0257; 0.0541; 0.4665Непосредственно проверяется, что неподвижная точка здесь(︁)︁= 0.138 0.123 0.123 0.124 0.125 0.115 0.137 0.11633На рис.1.4 изображен график решения описанного примера с начальны­ми данными:1 (, 0) =2 (, 0) =3 (, 0) =4 (, 0) =5 (, 0) =6 (, 0) =7 (, 0) =1−cos()81−cos(2)81−cos(3)81−cos(4)81−cos(5)81−cos(6)81−cos(7)87∑︀8 (, 0) = 1 − (, 0)=1На рис.1.5 приведено решение примера (1.2) при фиксированном значе­нии ( = 0.5) с теми же начальными данными.34Рис.

1.4. Решение распределённой системы квазивидов (1.12) (1.13), размерности8=35Рис. 1.5. Решение распределённой системы квазивидов (1.12) (1.13), размерности8при фиксированном значении ( = 0.5)=361.5. Выводы по первой главеВ 1-й главе рассмотрена распределенная математическая модельквазивидов Эйгена. Показано, что система содержит единственное по­ложение равновесия, совпадающее с неподвижной точкой обыкновеннойсистемы квазивидов Эйгена. Доказано, что в случае, когда все собствен­ные значения матрицы диффузии положительны, неподвижная точкаасимптотически устойчива; если же матрица диффузии содержит нуле­вое собственное значение, то система имеет бесконечное множество ре­шений.

Эти решения построены в явном виде; приведены примеры чис­ленного моделирования. Разработан комплекс программ для численногорешения распределенной математической модели квазивидов произволь­ной размерности.37Глава 2Математическая модель двойногогиперцикла.В [28] описано, что воспроизводство и преобразование молекул всложных системах, в частности в одноцепочной РНК требует более вы­сокого уровня организации элементов (молекул). Репликации одноцепоч­ной РНК в упрощённом виде схематически могут быть представленыследующим образом:Рис. 2.1. Репликации одноцепочной РНК с помощью высокоэнергетического матери­ала NTP и отходами от реакциий PP38Примером же самовспроизводства является процесс репликаций ДНК.Такой механизм обеспечиает связь каждой дочерней цепи c соответ­ствующей родительской цепью .

Процесс воспроизводства ДНК необы­чайно сложен, однако существует модель, позволяющая исследовать ме­ханизм воспроизводства в системе, состоящей из самовоспроизводящихсяединиц ; более того, элемент оказывает каталитическое содействиевоспроизведения следующего элемента. При репликациях элементов участвует строительный материал [28].Рис. 2.2.

Репликации элементов с помощью строительного материала39Обобщением схемы, изображенной на рис.2.2, стала модель гипер­циклической репликации или гиперцикла [19] [27].Здесь предполагается, что макромолекула с номером 1 порождаетмакромолекулу с номером 2, макромолекула с номером 2 порождает мак­ромолекулу с номером 3, и так далее в замкнутом цикле (молекула сномером порождает молекулу с номером 1) [42]. На рис.2.3 изображенгиперцикл длины = 4.Рис. 2.3. Гиперцикл длины=4Пусть, () - количество молекул вида в момент времени . Предпо­лагается, чтоотносительнаяскорость воспроизводства макромолекулпропорциональна их количеству с неотрицательным коэффициентом [41], а также количеству молекулы с номером − 1:˙ () ()= −1 (), (0) = 0 , = , > 0,0 = , = 1, ,0 > 0.Динамика изменения относительных концентраций описывается систе­40мой уравнений, которая топологически эквивалентна следующей [32]:(︃˙ = −1 −∑︀)︃ −1 , = , > 0,0 = ,=1 = 1, , (0) = 0 ,(2.1)0 > 0.Множество решений ситемы (2.1) образует симплекс:∑︀ () = 1 для=1любого ∈ [0; +∞).Относительно системы (2.1) ранее был доказан ряд важных свойств.

Да­лее перечислены наиболее существенные из них:1. Система (2.1) перманентна: lim inf () > > 0 [34] [35].→∞ 2. Система (2.1) размерности = 2, 3, 4 содержит устойчивое поло­жение равновесия, не лежащее на границах симплекса; в случае,когда 1 = 2 = ... = = 1 положение равновесия находится вцентре симплекса ( = 1 , = 1, ) [35].3. В случае системы (2.1) размерности ≥ 5 предельным множествомявляется асимптотически устойчивый предельный цикл [33].Математическая модель гиперцикла, описывет динамику изменения аб­солютного(относительного) количества частиц в системе в зависимостиот количества(концентрации) частиц в системе в данный момент време­ни.

При этом скорость изменения количества(концентрации) частиц сномером зависит от количества частиц с номером и частиц с номером − 1. Основным направлением исследования здесь является предельноеповедение системы в зависимости от количества элементов и парамет­ров, характеризующих скорость воспроизводства, и начальных условий[34].Есть иследования [48], которые показыват целесообразность изуче­ния систем, в которых скорость воспроизводства молекул с номером зависит от количества(концентрации) элементов с номерами , −1, −2.41До сих пор не существовало математических моделей, напрямуюсвязывающих поведение молекул с количеством(концентрацией) двух преды­дущих молекул в цепочке.В данной главе рассматривается математическая модель системы,состоящей из макромолекул. Предполагается, что макромолекула с но­мером образуется с помощью макромолекул с номерами , − 1 и − 2в замкнутом цикле (макромолекула с номером 1 образуется с помощьюмакромолекул с номерами , − 1; макромолекула с номером 2 образу­ется с помощью макромолекул с номерами 1, ).

На рис.2.4 изображендвойной гиперцикл длины 4. Пусть () - количество макромолекул с но­Рис. 2.4. Двойной гиперцикл длины 4мером в момент времени . Предположим, что относительная скоростьвоспроизводства макромолекул с этим номером удовлетворяет следую­42щему дифференциальному уравнению:˙ ()= −1 −1 ()−2 (), ()причем −1 () = −1 (),(2.2) = 1, ;0 () = (). Таким образом, воспроизводствомолекул происходит в замкнутом цикле.

Здесь , = 1, ,0 = ,- положительные постоянные, характеризующие скорость воспроизвод­ства (репликации). Как и в математической модели гиперцикла, важнымздесь является вопрос о качественном поведении системы, а именно - ди­намики изменения относительного количества макромолекул вида поотношению к суммарному количеству элементов системы.В связи с этим введем новые переменные: = ∑︀,=1и, тем самым, перейдем к относительным концентрациям частиц. Урав­нение (2.2) преобразуется следующим образом:˙ ˙ =∑︀∑︀ −˙ =1=1(︂ )︂2∑︀= −1 −1 −2∑︀−∑︀=1=1=1(︂∑︀)︂2 −1 −1 −2(︂ )︂2∑︀==1(︂∑︀∑︀)︂2= −1 −1 −2 − −1 −1 −2=1=1=1(︂ )︂2 (︂)︂∑︀∑︀= −1 −1 −2 − −1 −1 −2 .=1=1Поскольку(︃ )︃2∑︁ > 0,=1то получившаяся система орбитально-топологически эквивалентна [1] си­стеме˙ = ( −1 −1 −2 − ),где=∑︁=1 = 1, , −1 −1 −2 ,(2.3)43 - средняя приспособленность системы.

Характеристики

Список файлов диссертации