Диссертация (1155087), страница 9
Текст из файла (страница 9)
3.4. Численное решение распределенной математической модели Лотки-Вольтерры с матрицей диффузии, содержащий простой жорданов блок с собственнымзначением1 = 0.05973.5. Выводы по третьей главеИсследован общий вид широкого круга распределенных репликаторных систем. Показано, что устойчивость описываемых систем напрямуюзависит от знака вещественных частей матрицы Якоби системы в неподвижной точке.Рассмотрены различные случаи вида матрицы диффузии:1.
Случай, когда матрица диффузии имеет различных собственныхзначений, где - размерность системы.2. Случай, когда матрица диффузии содержит кратные собственные значения, но диаганализируема (имеет простую структуру).3. Случай, когда матрица диффузии имеет жордановы блоки.Для всех трех случаев получена асимптотика собственных значений матрицы Якоби в неподвижной точке. Приведены примеры численного моделирования.98ЗаключениеРассмотрена распределенная модель квазивидов Эйгена. Показано,что система содержит единственное пространственно-однородное положение равновесия, совпадающее с неподвижной точкой обыкновеннойсистемы квазивидов. Доказано, что в случае, когда матрица диффузиисодержит только положительные собственные значения, положение равновесия является асимптотически устойчивым.
Разработан комплекс программ для численного решения систем уравнений распределенной математической модели квазивидов.Построена и исследована математическая модель двойного гиперцикла. Доказано, что система обладает рядом важных свойств, основнымиз которых является свойство перманентности (невырожденности, экологической устойчивости), означающее, что для ненулевых начальных данных решения системы не обращаются в ноль.
Показано, что для системыдвойного гиперцикла длины 4 имеется множество асимптотически устойчивых неподвижных точек; для системы нечетной размерности больше 4имеется единственная неподвижная точка, являющаяся устойчивой приразмерности системы, равной 5 и неустойчивой при размерности системы больше 5. Построена распределенная математическая модель двойного гиперцикла. Разработан комплекс программ для численного решенияраспределенной математической модели двойного гиперцикла.
Показано,что в случае системы размерности 5 при малых значениях коэффициентов диффузии возникают новые пространственно-неоднородые решения.Построена асимптотика собственных значений матрицы Якоби для системы полулинейных параболических уравнений реакции-диффузии дляразличнх случаев:1. Матрица Якоби имеет различных собственных значений.2. Матрица Якоби имеет кратные собственные значения, но простую99структуру.3. Матрица Якоби содержит жорданову клетку.100Литература1. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.2.
Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенныхдифференциальных уравнений, Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000.3. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.:Наука, 1969.4. Беклемышева К. А., Васюков А. В., Петров И. Б., Численное моделирование динамических процессов в биомеханике сеточно-характеристическим методом, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 55:8 (2015),1380–13905.
Братусь А. С., Новожилов А. С., Платонов А. П. Динамическиесистемы и модели биологии. М.: Физматлит, 2010.6. Братусь А.С., Посвянский В.П. Стационарные решения в замкнутой распределенной системе эволюции Эйгена-Шустера, Дифференциальные уравнения, 2006, т. 42, N12, с.1686-1698.7. Вишик М.И., Люстерник Л.А., решение некоторых задач о возмущении матриц самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений. УМН, 1960, 15(3) с. 3-80.8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.9. Гугенхеймер Д., Холмс Ф.
Нелинейные колебания, динамическиесистемы и бифуркации векторных полей. М.: Институт компьютерных исследований. 2002.10. Демидова А.В., Кулябов Д. С. Введение согласованного стохастического члена в уравнение модели роста популяций // Вестник РУДН. Серия: Математика, информатика, физика. 2012. №3С.69-78.11.
Като Т. Теория возмущения линейных операторов. Москва, Мир,1011972, 740с.12. Колесов А.Ю., Розов Н.Х. О существовании асимптотическибольшого числа устойчивых диссипативных структур в параболических системах с малой диффузией. Труды семинара имени И.Г.Петровского, 1997, вып. 20 с.3-2613. Лин А., Лобанов А.
И. К вопросу о распределении скоростей частиц в сдвиговом потоке при малой объёмной доле частиц //ТрудыМФТИ. 2014. Т. 6. С. 2.14. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965, 520с.15. Марсден Д., Мак Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ееприложения. М.: Мир, 1980. 367с.16. Погорелова Е. А., Лобанов А. И., К расчету роста тромбоцитарного тромба на основе уравнений типа «адвекция-диффузия»,Матем.
моделирование, 27:6 (2015), 54–6617. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологическихсообществ. М.: Наука, 1978, c.352.18. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболическихуравнений. М.: Мир, 1985, 376с.19. М.Эйген, П.Шустер. Гиперцикл, принципы самоорганизациимакромолекул //Перевод с английского д-ра биол. наук В. М. Андреева под редакцией чл.-корр. АН СССР М. В. Волькенштейна ипроф. Д. С. Чернавского. М.: Мир, 198220. Boerlijst J., Hogeweg P. Spatial gradients enhance persistence ofhypercycles.
Physica D., 1995., N 88. P.29-3921. Bomze I.M. Lotka-Volterra equations and replicator dynamics: a twodimensional classification // Biol. Cybernetics, 1983, N 48. P. 201-211.22. Borrelli JJ, Allesina S , Amarasekare P, Arditi R, Chase I, DamuthJ, Holt RD, Logofet DO, Novak M, Rohr RP, Rossberg AG, Spencer102M, Tran JK and Ginzburg, LR (2015) Selection on stability acrossecological scales. TRENDS IN ECOLOGY EVOLUTION, 30 (7). P.417 - 425.23. Bratus A.S., Posvyanskiy V.P., Novozhilov A.S.
A note onthe replicator equation with explicit space and global regulation//Mathematical Biosciences and Engineering (MBE), 2011, 8, N 3. P.659-676.24. Demidova, A. V., Korolkova, A. V., Kulyabov, D. S., Sevastianov,L. A. (2013). The method of stochastization of one-step processes.Mathematical Modeling and Computational Physics, 67.25. Eferina E.G., Korolkova A.V., Gevorkyan M.N., Kulyabov D.S.,Sevastyanov L.A. One-step stochastic processes simulation softwarepackage // Вестник РУДН. Серия: Математика, информатика, физика.
2014. №3.26. Eigen M. Self-organization of matter and the evolution of biologicalmacromolecules.// Naturwissenschaften, 1971, N 58, P. 465-532.27. Eigen M., Schuster P. The Hypercycle. New-York: Springer, 1979.28. Eigen M., Caskil J.Mc., Schuster P. The molecular quasi-species //Adv. Chem. Phys., 1989, N 75, P. 149-263.29. John Mallet-Paret and Hal. Smith. The Poincare-Bendixon Theoremfor Monotone Cyclic Feedback Systems.
Journal of Dynamics andDifferential Equations, Vol. 2, No 4, 199030. Hnatic M., Eferina E.G., Korolkova A.V., Kulyabov D.S.,Sevastyanov L.A. 2016. Operator approach to the master equation forthe one-step process. In EPJ Web of Conferences Vol.
108, p.02027.EDP Sciences.31. Hal. Smith. Monotone Dynamical Systems. An Introduction to theTheory of Competitive and Cooperative Systems. Mathematical surveysand Monographs. Vol. 41. 182 pages.10332. Hofbauer J. A Different Equation Model for the hypercycle. Journalof Applied mathematics, Vol.44, N.
4. Aug., 1984, P.762-772.33. J. Hofbauer, J. Mallet-Paret and H.L.Smith. Stable PeriodicSolution for the Hypercycle System. Journal of Dynamics andDifferential Equations, Vol.3, N. 3, 1991.34. Hofbauer J., Sigmund K. The Theory of Evolution and DynamicalSystems. Cambridge University Press, 1988.35. Hofbauer J., Sigmund K.
Evolutionary game dynamics //Bull. OfAmerican Math. Society. 2003, 40, N 4, P. 479-519.36. Levinson. N. Transformation theory of non-linear dierentialequations of the second order. Ann. Math. 45, 4: 723-737, 1944.37. Logofet D. O. Calamagrostis model revisited: matrix calibration asa constraint maximization problem //Ecological modelling. - 2013. - Т.254. - С. 71-79.38.
Logofet D. O. Projection matrix calibration under reproductiveuncertainty: the maximization of 1 and the merit of indication.Population Dynamics: Analysis, Modelling, Forecast, 2013. 2(1): 1-22.39. Logofet D. O. Projection matrices in variable environments: 1 intheory and practice // Ecological modelling. - 2013. - Т. 251. - С.307-311.40. Logofet D. O., Ulanova N. G., Belova I. N.
Adaptation on the groundand beneath: does the local population maximize its 1 ? //EcologicalComplexity. - 2014. - Т. 20. - С. 176-184.41. Maynard Smith J. Evolution and the theory of games. CambridgeUniversity Press, 1982.42. Maynard Smith J., Hypercycles and the origin of life // Nature,1979, 280, N 5722, P. 445-446.43. Maynard Smith J., Price G.R. The logic of animal conflict //Nature,1973, 246, N 5427, P, 15-18.10444. Murray J.D., Mathematical Biology, Biomathematics, 19, Springer,Berlin, 1993.45. Padgett John F., The emergence of simple ecologies of skill: ahypercycle approach to economic organization, forthcoming// From:The economy as a complex evolving system, ed.
by Brian Arthur, StevenDurlauf, and David Lane, Nov 1995, N 3, P.199-222.46. Schuster P., Sigmund K. Replicator dynamics //J. of theor. Biology.1983, N 100, P. 533-538.47. Schuster P., Sigmund K., Wolf R. Cooperative and competitivebehavior of hypercycles //J. Differential Equations. 1979, N. 32, P.357-368.48. Schuster P., Sigmund K., Wolf R. Dynamical systems underconstraint organization. Topological analysis of a family of non-lineardifferential equations //Bull. Math. Biol.
1978, N 40, P. 743-769.49. Schuster P., Sigmund K., Wolf R., Mass action kinetics ofselfreplication in flow reactors// J. Math. Anal. Appl. 1980, N 78, P.88-112.50. Weinberg E.D. Spatial stability analysis of Eigen’s quasispiecesmodel and the less than five membered hypercycle under globalregulation //Bull of math. Biol. 1991, 53, N 4, P. 623-638.105Приложение АЧисленное решение распределеннойматематической модели квазивидовДана система уравнений с частными производными: (,)= ( (, )) − (, ) () + (Δ(, )) = 1, 2, ..., ,(А.1)с начальными и граничными условиями (, 0) = (),(︁)︁⃒ (,) ⃒⃒ = 0 = 1, ..., .Решение (, ) будем искать в виде (, ) =∑︁ () cos()(А.2)=0Подставим выражение (А.2) в (А.1):∑︀ ()=0∑︀−+=0∑︀cos() = () cos()∑︀=1∑︀=1 () cos()−=0=1∑︀∑︀∑︀ () cos()(А.3)=0 ()(−()2 ) cos()=0Проинтегрируем (А.3) по переменной от 0 до 1:∑︁∑︁0= 0 () − 0 ()=1=1(А.4)Домножим (А.3) на cos(), где = 1, 2, 3, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
