Диссертация (1155087), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Тогда для любого > следует, что→∞ > > 0 ⇒ 2 1 − < − < 0 ⇒ ˙ 2 < −2 ⇒ lim 2 () = 0.→∞Аналогично можно показать, что если lim 2 () = 0, то lim 3 () = 0 и→∞→∞так далее ( () → 0 для = 1, + 1), что противоречит предположению( lim inf > > 0). То есть lim = 0. Последнее означает, что для→∞→∞ = 1, + 1lim −1 −2 = 0.→∞59Тем самым lim ˙ () = 0 ⇒ lim = ,→∞1, + 1. Поэтому в случае→∞+1 > 1 система (2.10) содержит устойчивое положение равновесия.2.

Случай +1 = 1 . Тогда для любого ≥ 0 выполняется соотношение+1 = 1+1 (0).1 (0)3. Случай +1 < 1 . Тогда+1+1 (0) − R −1 0,= 11 (0)где > 0. Допустим, чтоZlim −1 = 0.→∞0Тогда lim −1 = 0. В этом случае система (2.10) содержит устойчивое→∞положение равновесия. С другой стороны при → ∞ будет выполнятьсясоотношение+1 (0).1 (0)Можно показать, что в системе (2.10) не может существовать неподвиж­+1 = 1ной точки, удовлетворяющей последнему условию. Следовательно, слу­чайZlim −1 = 0→∞0невозможен.

Поэтому lim > > 0,→∞lim −1 > −1 . То есть lim +1 =→∞→∞0.На рис.2.11 приведен график системы (2.10) размерности 5 ( = 4; +1 =5) с начальными условиями:01 = 0.21;02 = 0.15;03 = 0.3;04 = 0.1;05 = 0.24и коэффициентами:1 = 2;2 = 1;3 = 3;4 = 1.6;5 = 4.60Непосредственно проверяется, что неподвижная точка здесь1 = 0.0469;2 = 0.0419;3 = 0.044;4 = 0.0431;Рис.

2.11. Расширенная система двойного гиперцикла длинывиями:01 = 0.21;1 = 2;2 = 1;02 = 0.15;3 = 3;03 = 0.3;4 = 1.6;04 = 0.1;5 = 0.82435с начальными усло­05 = 0.24и коэффициентами:5 = 4На рис. 2.12 приведен график системы (2.10) размерности 5 с теми женачальными условиями и коэффициентами следующего вида:1 = 2;2 = 1;3 = 3;4 = 1.6;5 = 2.61Рис.

2.12. Расширенная система двойного гиперцикла длинывиями:01 = 0.21;1 = 2;2 = 1;02 = 0.15;3 = 3;03 = 0.3;4 = 1.6;04 = 0.1;5с начальными усло­05 = 0.24и коэффициентами:5 = 2На рис.2.13 приведен график системы (2.10) размерности 5 с темиже начальными условиями и коэффициентами следующего вида:1 = 2;2 = 1;3 = 3;4 = 1.6;5 = 1.62Рис. 2.13. Расширенная система двойного гиперцикла длинывиями:01 = 0.21;1 = 2;2 = 1;02 = 0.15;3 = 3;03 = 0.3;4 = 1.6;04 = 0.1;5с начальными усло­05 = 0.24и коэффициентами:5 = 12.5. Распределенная система двойного гиперциклаМатематическая модель двойного гиперцикла не учитывает влия­ние пространства, в котором рассматриваются репликации. Посколькупространство может существенно повлиять на поведение системы [23], рассмотрим распределенную математическую модель двойного гипер­цикла.Обозначим (, ) количество молекул вида в момент времени вточке пространства .

Тогда динамика изменения описывается урав­63нением: (,)= −1 −1 −2 + = 1, , > 0 , −1 > 0;(2.11)() ≥ 0; (, 0) = (); (0,) ∈ [0, 1]; 2 (,)2= (1,)= 0.Для любого фиксированного функции (, ) принадлежат простран­ству Соболева 21 .Как и в математической модели гиперцикла важным здесь являетсяасимптотическое поведение относительных концентрации молекул.

По­этому выполним замену: (, ) = (, )1 R∑︀ (, )(2.12)=1 0Тогда:1 R∑︀˙ = (,)−=1 01 R∑︀˙ (,)=1 0(︃1 R∑︀=)︃2 (,)=1 0= 2 (,) −1 −1 −2 + 21 R∑︀1 R∑︀− −1 −1 −2 +0=1 0R1 (,)=1 0(︃=1 R∑︀= (,)0)︃2 (︃ (︃ −1 −1 −2 − (, )1 R∑︀)︃)︃ −1 −1 −2 + =1 0=1 0(︃Поскольку1 R∑︀)︃2> 0, получившаяся система топологиче­ (, )=1 0ски [1] эквивалентна следующей системе:(︃= −1 −1 −2 −1 R∑︀1 R∑︀)︃ −1 −1 −2 =1 0 (, ) = 1;=1 0 (, 0) = (); (0, )= (1, )+ 2 (,)2 ,= 0,() ≥ 0.(2.13)2 (,)264Стационарные положения равновесия определяются из условий:(︃ −1 −1 −2 −1 R∑︀1 R∑︀)︃ −1 −1 −2 + =1 0 (, ) = 1;=1 0= (1, )= 0,= 0,() ≥ 0.

(, 0) = ();Теорема 2.6. (0, ) 2 (,)2Пусть = (1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) ; = · −1 −1 −2 ; > 0( = 1, 5) − положение = ;равновесия системы > 0.(2.14)Тогда для системы(2.13) размерности ( = 5) положение равновесиявляется асимптотически устойчивым, если>где12,1(2.15)- первое ненулевое собственное значение задачиΔ () + () = 0, ∈ Ω,() |∈ΓR= 0, () () = ,(2.16)ΩR1 · () = 0,Ω () ∈ 22 (Ω).Если же<2,1то возникают новые пространственно-неоднородные решения.Доказательство.Рассмотрим решение системы (2.13) в виде (, ) = + (0 () + (, )) + (),(2.17)(2.3),65где (, ) =∞∑︁(2.18) () ()=1Подставим разложение (2.17) в (2.13):0 + (,) =(︀)︀= −1 −2 0−1 () + −2 −1 0 () + −1 0−2 () ++ −1 (−2 −1 (, ) + −2 −1 (, ) + −1 −2 (, )) ++ −1 −2 −2 − ( + (0 () + (, )))·5 R∑︀·( −1 (−2 0−1 () + −2 −1 0 () + −1 0−2 ())+(2.19)=1 Ω+ −1 (−2 −1 (, ) + −2 −1 (, ) + −1 −2 (, )) + −1 −1 −2 ) + Δ (, ) + ().Поскольку - неподвижная точка уравнения (2.3), то ∀ = 1, 5 следует,что −1 −2 −1 =5∑︀ −1 −1 −2 = =15∑︀ −1 −2 −1 0 ()=·=15∑︀(2.20)0 ()= 0.=1С учетом ортогональности системы функций () и (2.20), выражение(2.19) преобразуется следующим образом:0 + (,) )︀(︀= −1 −2 0−1 () + −1 0−2 () + −1 (−2 −1 (, ) + −2 −1 (, ) + −1 −2 (, )) −5∑︀− ( −1 (−2 0−1 () + −1 0−2 ())(2.21)=1+ Δ (, ) + ().Проинтегрировав выражение (2.21) по переменной по области Ω и,ограничившись членами порядка получим:0(︀)︀= −1 −2 0−1 () + −1 0−2 () −5∑︀− ( −1 (−2 0−1 () + −1 0−2 ()).=1(2.22)66Выполним замену:0 ()=(2.23)Тогда уравнение (2.22) преобразуется следующим образом:(︃)︃0∑︁∑︁ ()0000= −1() − −1() + −2() − −2() .

(2.24)=1=10 ()Поскольку > 0 система (2.24) топологически эквивалентна системе∑︁∑︁00000= −1 − −1 + −2 () − −2.=1=1(2.25)Матрица Якоби системы (2.25):⎛⎜⎜⎜⎜⎜ =⎜⎜⎜⎜⎝−p2 − p3−p3 − p4−p4 − p51 − p3 − p2−p3 − p4−p4 − p51 − p3 − p2 1 − p4 − p3−p2 − p3−p2 − p3−p4 − p51 − p4 − p3 1 − p5 − p4−p3 − p41 − p5 − p4⎞1 − p5 − p1 1 − p2 − p1 ⎟⎟−p1 − p5 1 − p2 − p1 ⎟⎟⎟−p1 − p5−p1 − p2 ⎟⎟⎟−p1 − p5−p1 − p2 ⎟⎠1 − p5 − p1 −p1 − p2Собственные значения матрицы Якоби :√−2√5−51 = −− 12 = −0.5 − 1.542√ √−2 5−52 =− 12 = −0.5 + 1.54√ 2√2 5−53 = − 2− 12 = −0.5 − 0.36√ √2 5−54 =− 12 = −0.5 + 0.3625 = 2 − 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) = 0Тем самым для = 1, 4 следует, что lim 0 () = 0. В силу (2.23) для→∞ = 1, 4 следует, что lim 0 () = 0.

Посколькуследует, что→∞0lim () = 0.→∞ 5∑︀0 () = 0, то для = 1, 5=1Домножим уравнение (2.21) последовательно на () и проинтегри­руем по переменной по области Ω. Ограничившись членами порядка получим: ()= −1 −1 −2 () + −1 −2 −1 () + (− ) ().(2.26)67Выполним замену: ()=Тогда уравнение (2.26) преобразуется следующим образом: ()(2.27) () (︁= −1 −1 −2 −2() + −1 −2 −2 −1() + (− ) () =)︁= −2 () + −1 () + · (− ) ()(2.28)Поскольку > 0, то система (2.28) топологически эквивалентна системе ()=Поскольку =образом:· ,(︂−2() + −1() +)︂(− ) () · (2.29)матрица Якоби системы (2.29) выглядит следующим⎛0011⎜ −s⎜⎜ 1−s001⎜⎜ =⎜ 11−s00⎜⎜⎜ 011−s0⎝0011−s⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠Собственные значения матрицы Якоби :1 = −s + 2√ √−2 5−52 = −s −− 12 = −s − 0.5 − 1.54√ 2√−2 5−53 = −s +− 12 = −s − 0.5 + 1.54√ √22 5−54 = −s −− 12 = −s − 0.5 − 0.362√ √2 5−55 = −s +− 12 = −s − 0.5 + 0.362Поскольку > 0 и 1 < 2 < ...

< < ..., если выполняется следующееусловие:2 −1 −1 −22, или >,11то ∀ = 1, 5 ⇒ ( ) < 0, и, следовательно, положение равновесия >является асимптотически устойчивым. Если же <2 −1 −1 −2,168то (1 ) > 0, и, следовательно, возникают новые пространственно-неод­нородные решения.2.6. Численное моделирование распределеннойматематической модели двойного гиперциклаРазработан комплекс программ на языке C++, позволяющий чис­ленно решать систему (2.13). Решение основано на разложении неизвест­ной функции (, ) в тригонометрический ряд по функциям (cos(): (, ) =∑︁ () cos()=0Подробное описание численного решения системы (2.13) содержится вприложении B. На рис.2.14 изображено численное решение системы (2.13)размерности 5 с начальными данными1 (, 0) = 0.35 + 0.15 cos()2 (, 0) = 0.3573 (, 0) = 0.1 − 0.1 cos()4 (, 0) = 0.12 − 0.1 cos()5 (, 0) = (1.0 − (0.1 + 0.05 cos() + 0.157 + 0.2 − 0.15 cos() + 0.12 − 0.1 cos()и коэффициентами диффузии1 = 0.02;2 = 0.05;Все коэффициенты = 1.3 = 0.08;4 = 0.04;5 = 0.06;69Рис.

2.14. Распределенная математическая модель двойного гиперцикла размерности5с начальными условиями1 (, 0) = 0.35 + 0.15 cos()2 (, 0) = 0.3573 (, 0) = 0.1 − 0.1 cos()4 (, 0) = 0.12 − 0.1 cos()5 (, 0) = (1.0 − (0.1 + 0.05 cos() + 0.157 + 0.2 − 0.15 cos() + 0.12 − 0.1 cos()));и коэффициентами диффузии:1 = 0.02;2 = 0.05;3 = 0.08;4 = 0.04;5 =0.06На рис.2.15 изображено численное решение системы двойного ги­перцикла размерности 5 с теми же начальными условими и и коэффици­ентами диффузии1 = 0.002;2 = 0.005;3 = 0.008;4 = 0.004;5 = 0.006;70Рис.

2.15. Распределенная математическая модель двойного гиперцикла размерности5с начальными условиями1 (, 0) = 0.35 + 0.15 cos()2 (, 0) = 0.3573 (, 0) = 0.1 − 0.1 cos()4 (, 0) = 0.12 − 0.1 cos()5 (, 0) = (1.0−(0.1+0.05 cos()+0.157+0.2−0.15 cos()+0.12−0.1 cos())); и ко­эффициентами диффузии:0.0061 = 0.002;2 = 0.005;3 = 0.008;4 = 0.004;5 =712.7. Выводы по второй главеВ главе 2 рассматривалась математическая модель двойного ги­перцикла. Исследовано асимптотическое поведение системы. Показано,что при соответствующем выборе системы координат исследование мо­дели может быть сведено к исследованию аналогичной системы, не со­держащей параметров. Доказаны важные свойства, главным из кото­рых является невырожденность (перманентность, экологическая устой­чивость) системы. Изучено поведение системы при появлении нового эле­мента.

Характеристики

Список файлов диссертации