Диссертация (1155084), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

. . , d997 = 1.52 , d998 = 1.5, d999 = 1,d1001 = 1.5, d1002 = 1.52 , d1003 = 1.53 , . . . ;è. . . , d∗997 = 4, d∗998 = 2, d∗999 = 1,d∗1001 = 2, d∗1002 = 4, d∗1003 = 8, . . . .57Ïîëó÷àåì11M = 1, α = , M ∗ = 1, α∗ = ;221.5d = 1.5, W =;1001Λi = 11, ∆i = 25.Òàêèì îáðàçîì, èç Òåîðåìû 14 âûòåêàþò îöåíêè:kp (t) − p∗ (t) k ≤ 10−12 ,kp (t) − p∗ (t) k1E ≤ 10−9 ,äëÿ N1 = 350, N2 = 1650.Ïóñòü òåïåðü {d∗k } - àíàëîãè÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, è ïóñòü {dk }òàêàÿ, ÷òî. .

. , d997 = 1.12 , d998 = 1.1, d999 = 1,d1001 = 1.1, d1002 = 1.12 , d1003 = 1.13 , . . . .Òîãäà1M = 1, α = , d = 1.1,2è ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêàkp (t) − p∗ (t) k ≤ 10−14 ,kp (t) − p∗ (t) k1E ≤ 10−11 ,äëÿ N1 = 800, N2 = 1200.Ðàññìîòðèì ïðîöåññ ðîæäåíèÿ è ãèáåëè ñ ïåðèîäè÷åñêèìè èíòåíñèâíîñòÿìè ðîæäåíèÿ è ãèáåëè:Ïðèìåð 2.λk (t) = λ (t) = 10 + cos t,58µk (t) = µ (t) = 1 + sin t, 0 < k < 106 ,µk (t) = 24 + sin t, k ≥ 106 .Ïîëîæèì i = 106.Ðàññìîòðèì àíàëîãè÷íûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {dk } è {d∗k }.À èìåííî, ïóñòü. .

. , d999997 = 1.52 , d999998 = 1.5, d999999 = 1,d1000001 = 1.5, d1000002 = 1.52 , d1000003 = 1.53 , . . . ;è. . . , d∗999997 = 4, d∗999998 = 2, d∗999999 = 1,d∗1000001 = 2, d∗1000002 = 4, d∗1000003 = 8, . . . .êó:Äëÿ ïåðâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {dk } èìååì d = 1.5 è ñëåäóþùóþ îöåíkp (t) − p∗ (t) k ≤ 10−12 ,kp (t) − p∗ (t) k1E ≤ 10−6 ,åñëè N1 = 99350, N2 = 100650.Ïóñòü {dk } òàêàÿ, ÷òî. . . , d999997 = 1.12 , d999998 = 1.1, d999999 = 1,d1000001 = 1.1, d1000002 = 1.12 , d1000003 = 1.13 , .

. . .Òîãäà d = 1.1 è ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùååkp (t) − p∗ (t) k ≤ 10−14 ,kp (t) − p∗ (t) k1E ≤ 10−8 ,äëÿ N1 = 90800, N2 = 100200.59Ðàññìîòðèì ïðîöåññ ðîæäåíèÿ è ãèáåëè ñ âûñîêèìè ïåðèîäè÷åñêèìè èíòåíñèâíîñòÿìè ðîæäåíèÿ è ãèáåëè:Ïðèìåð 3.λk (t) = λ (t) = 1000 (10 + cos t) ,µk (t) = 1000 (1 + sin t) , 0 < k < 103 ,µk (t) = 1000 (24 + sin t) , k ≥ 103 .Ïóñòü i = 103.Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {dk } è {d∗k }. Äëÿ ïåðâîé {dk } ìû èìååì d = 1.5 èΛi = 11000, ∆i = 25000, ∆N1 = 2000, ΛN2 = 11000.Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî:kp (t) − p∗ (t) k ≤ 10−6 ,kp (t) − p∗ (t) k1E ≤ 10−3 ,åñëè N1 = 350, N2 = 1650.Äëÿ âòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {dk } ìû èìååì d = 1.1 è îöåíêè:kp (t) − p∗ (t) k ≤ 10−8 ,kp (t) − p∗ (t) k1E ≤ 10−5 ,äëÿ N1 = 800, N2 = 1200.3.3Mt/Mt/Sñèñòåìà ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿÂû÷èñëåíèå âàæíåéøèõ ïðåäåëüíûõ õàðàêòåðèñòèê ïðîöåññà ñ ïîìîùüþóñå÷åíèé, ïðè êîòîðûõ îò ìàòðèöû îòñåêàåòñÿ ëåâûé âåðõíèé óãîë ("north-westtruncations"), âïåðâûå ïðåäñòàâëåíû â [11] è ïîäðîáíî ðàññìîòðåíû â [84].

Îöåíêè ðàâíîìåðíîé àïïðîêñèìàöèè óñå÷åíèÿìè ïîäîáíîãî ðîäà áûëè ïîëó÷åíû â60[92, 18] äëÿ ïðîöåññîâ ðîæäåíèÿ è ãèáåëè è ìàðêîâñêèõ öåïåé îáùåãî âèäà ñîîòâåòñòâåííî. äàííîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëü ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿMt /Mt /S (â ñëó÷àå ñðåäíåé èíòåíñèâíîñòè òðàôôèêà). Äëÿ äàííîé ìîäåëè ïîëó÷åíû îöåíêè ðàâíîìåðíîé àïïðîêñèìàöèè äâóñòîðîííèìè óñå÷åíèÿìè (ñì.[71]).3.3.1Âñïîìîãàòåëüíûå ïîíÿòèÿ è îñíîâíûå ðåçóëüòàòû îïèñûâàåìîé ìîäåëè Mt /Mt /S èìååòñÿ S ñåðâåðîâ, îáñëóæèâàþùèõî÷åðåäü: åñëè òðåáîâàíèé ìåíüøå, ÷åì S , çíà÷èò íåêîòîðûå ñåðâåðû áóäóò ñâîáîäíû, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå òðåáîâàíèÿ áóäóò æäàòü î÷åðåäè â áóôåðå áåñêîíå÷íîãî ðàçìåðà, òàêèì îáðàçîì íå ñóùåñòâóåò îãðàíè÷åíèé ïî ÷èñëó êëèåíòîâ.Çàÿâêè ïîñòóïàþò ñî ñêîðîñòüþ λ(t) â ñîîòâåòñòâèè ñ íåîäíîðîäíûì ïðîöåññîì Ïóàññîíà è ïåðåìåùàþòñÿ èç ñîñòîÿíèÿ i â i + 1. Âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿïîä÷èíÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó ñ ïàðàìåòðîì µ(t).Ïóñòü X = X(t), t ≥ 0 - ïðîöåññ äëèíû î÷åðåäè äëÿ ìîäåëè ìàññîâîãîîáñëóæèâàíèÿ Mt /Mt /S .

Ýòî ïðîöåññ ðîæäåíèÿ è ãèáåëè (ÏÐÃ) ñ èíòåíñèâíîñòÿìè ðîæäåíèÿ è ãèáåëè λk (t) = λ, åñëè k ≥ 0 è µk (t) = kµ(t), åñëè k ≤ S èëèµk (t) = Sµ(t), åñëè k > S ñîîòâåòñòâåííî.Êðîìå òîãî, ïóñòü i1 < i < S − 1 < S . Ïîëîæèì dk = 1, åñëè i1 ≤ k ≤ S ,dk = ζk dk−1 , åñëè k > S è dk−1 = ξk dk , åñëè k < i1 .Ïåðåïèøåì (3.2.39) â âèäå αk (t) =λ + nµ − ζk+2 λ − ζ1 Sµ, k ≥ S,k+1λ + nµ − ζn+1 λ − (n − 1)µ, k = S − 1,µ, i1 < k < Sλ + (i1 + 1)µ − λ − i1 ξi1 −1 µ, k = i1 ,λ + (k + 1)µ − 1 λ − kξ µ, k < i .k−11ξk(3.3.71)61Òîãäà èìååì αk (t) ≥(1 − ζk+2 )Λ + (1 − ζ1 )S m, k ≥ S,k+1m + (1 − ζS+1 )Λ, k = S − 1,m, i1 < k < S − 1,(i1 + 1 − i1 ξi1 −1 ) m, k = i1 ,l(1 − 1ξ ) + (k + 1 − kξk−1 )∆, k < i1 , k + 1 − kξk−1 < 0,kl(1 − 1 ) + (k + 1 − kξ )m, k < i , k + 1 − kξk−11k−1 > 0ξ,(3.3.72)kãäå l ≤ λ(t) ≤ Λ,m ≤ µ(t) ≤ ∆.Ïóñòü òåïåðü {dk } áóäåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë òàêîé, ÷òîαk = c1 , k ≥ S,αk = c2 , k ≤ i1 ,ãäåc1 = m + (1 − ζS+1 )Λ,ζk = 1 +mS − c1mS−,Λζk−1 Λ(3.3.73)c2 = (i1 + 1 − i1 ξi1 −1 )m,èξk−1 =(k + 1)∆ + l − c2l−,k∆k∆ξkk + 1 − kξk−1 < 0(3.3.74)ξk−1 =l(k + 1)m + l − c2−,kmkmξkk + 1 − kξk−1 > 0.(3.3.75)èëèÌîæíî ïåðåïèñàòü (3.3.74) è (3.3.75) â ñëåäóþùåì âèäåξk−1 = 1 +1 l(ξk − 1) − c2 ξk+,kkmξkåñëè ξk−1 < 1 + k1 , ò.

å. l(ξk − 1) − c2 ξk < 0,(3.3.76)62ξk−1 = 1 +1 l(ξk − 1) − c2 ξk+,kkM ξk(3.3.77)åñëè ξk−1 > 1 + k1 , ò. å. l(ξk − 1) − c2 ξk > 0.Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåìαk ≥ min(c1 , c2 ) for S − i1 = 3,èαk ≥ min(c1 , m, c2 ) for S − i1 > 3.Ðàññìàòðèâàÿ ñîîòâåòñòâóþùèé óñå÷åííûé ïðîöåññ è èñïîëüçóÿ íàø ïîäõîä, ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå αk∗ (t) ≥(1 − ζ1 )S m, k = N2 ,k+1(1 − ζk+2 )Λ + (1 − ζ1 )S m, N2 > k ≥ S,k+1m + (1 − ζS+1 )Λ, k = S − 1,m, i1 < k < S − 1,(3.3.78)(i1 + 1 − i1 ξi1 −1 ) m, k = i1 ,l(1 − 1ξ ) + (k + 1 − kξk−1 )∆, N1 < k < i1 , k + 1 − kξk−1 < 0,kl(1 − 1ξ ) + (k + 1 − kξk−1 )m, N1 < k < i1 , k + 1 − kξk−1 > 0,kl(1 − 1 ), k = N1 .ξkÏîýòîìóαk∗≥ min (1 −1ζ N2 +1 ), c1 , c2 , l(1−ïðè S − i1 = 31ξ N1 )èαk∗≥ min (1 −1ζ N2 +1 ), c1 , m, c2 , l(1−1ξ N1 )ïðè S − i1 > 3.Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå, âûòåêàþùåå èçÒåîðåìû 14.Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {dk } ïîëîæèòåëüíûõ÷èñåë òàêàÿ, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ (3.3.73),(3.3.76)è (3.3.77), òîãäà ïðîöåññ ýêñïîíåíöèàëüíî ýðãîäè÷åí è ñïðàâåäëèâû îöåíêè Òåîðåìû 14.Òåîðåìà 15.63Ðàññìîòðèì Mt/Mt/S/S + K - ìîäåëü ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ S ñåðâåðàìè è êîíå÷íûì ÷èñëîì K ìåñò îæèäàíèÿ.

Ñîîòâåòñâóþùèé ïðîöåññ X(t) äëèíû î÷åðåäè - ÏÐà ñ êîíå÷íûì ïðîñòðàíñòâîì ñîñòîÿíèé {0, 1, . . . , S + K} è èíòåíñèâíîñòÿìè ïîñòóïëåíèÿ è îáñëóæèâàíèÿλk (t) = λ(t), µk (t) = µ(t) min(k, S) ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà òå æå îöåíêèäâóñòîðîííèìè óñå÷åíèÿìè ñïðàâåäëèâû ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ K .Çàìå÷àíèå 2.3.3.2ÏðèìåðÏóñòü X = X(t), t ≥ 0 - ïðîöåññ äëèíû î÷åðåäè äëÿ Mt /Mt /S ïðè S = 200è ïåðèîäè÷åñêèìè èíòåíñèâíîñòÿìè:λ(t) = 250 + 30 sin t,µ(t) = 2.5 + 5 cos t,µk (t) = kµ(t), k ≤ 200,µk (t) = 200µ(t), k > 200.Ïóñòü i = 198. Òîãäà èìååì i1 = 197; m = 2; ∆ = 3; l = 200; Λ = 300.

È. . . , d196 = 1.0048, d197 = 1,d199 = 1, d200 = 1.0063, . . .Ïîëó÷àåìíàøóïîñëåäîâàòåëüíîñòü{dk },èñïîëüçóÿôîðìóëû(3.3.73),(3.3.76) è (3.3.77):c1 ≈ 0.11; c2 ≈ 0.1088, ò.å. αk = 0.1.Äàëåå èìååì. . . , d∗197 = 1, d∗196 = 1.0048, . . .. . . , d∗199 = 1, d∗200 = 1.0063, .

. . ,ãäå {d∗ } ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà êàê ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñ îñíîâàíèÿìèq1 = 1.0048 è q2 = 1.0063 ñîîòâåòñòâåííî.64Òîãäà N1 = 30, N2 = 330, W = 0.005.Òàêèì îáðàçîì, èç Òåîðåì 14, 15 ñëåäóþò îöåíêè:kp (t) − p∗ (t) k ≤ 10−5 ,(3.3.79)kp (t) − p∗ (t) k1E ≤ 0.002.(3.3.80)Íà ðèñóíêàõ íèæå ïîêàçàíî ïîâåäåíèå ïðåäåëüíîãî ñðåäíåãî E(t, 100),à òàêæå âåðîÿòíîñòè íåêîòîðûõ "ñóùåñòâåííûõ"ñîñòîÿíèé ïðîöåññà pk =P (X(t) = k) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì X(0) = 100.3.3.3Âûâîäû äàííîì ðàçäåëå èññëåäîâàíà ìîäåëü ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ Mt /Mt /Sâ ñëó÷àå "ñðåäíåãî"òðàôôèêà. Ïîëó÷åíû îöåíêè ðàâíîìåðíîé àïïðîêñèìàöèèäâóñòîðîííèìè óñå÷åíèÿìè. Ðàçðàáîòêà ìåòîäîëîãèè äëÿ äðóãèõ êëàññîâ íåîäíîðîäíûõ ìîäåëåé ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïåðñïåêòèâíûì íàïðàâëåíèåì èññëåäîâàíèÿ.65Ðèñ. 3.5: Àïïðîêñèìàöèÿ ïðåäåëüíîãî ñðåäíåãîE(t, 100)íàÐèñ.

3.6: Àïïðîêñèìàöèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ äëèíû î÷åðåäè[29, 30].E(t, 100)íà[0, 30].66Ðèñ. 3.7: Àïïðîêñèìàöèÿ ïðåäåëüíîé âåðîÿòíîñòèÐèñ. 3.8: Àïïðîêñèìàöèÿ âåðîÿòíîñòèp105p105íàíà[29, 30].[0, 30].67Ðèñ. 3.9: Àïïðîêñèìàöèÿ ïðåäåëüíîé âåðîÿòíîñòèÐèñ. 3.10: Àïïðîêñèìàöèÿ âåðîÿòíîñòèp120p120íàíà[29, 30].[0, 30].68Ãëàâà 4Íåñòàöèîíàðíàÿ ìîäåëü ìàññîâîãîîáñëóæèâàíèÿ ñ ïîâòîðíûìè âûçîâàìè èîäíèì ñåðâåðîìÌîäåëè ñ ïîâòîðíûìè âûçîâàìè èçó÷àëèñü ðàçíûìè àâòîðàìè (ñì.

[29,30], [34] [36], [38], [44] [46], [75, 79, 80]). äàííîé ãëàâå èññëåäóåòñÿ íåêîòîðûé êëàññ ìîäåëåé ñ ïîâòîðíûìè âûçîâàìè, à èìåííî íåîäíîðîäíàÿ ìîäåëü ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ ïîâòîðíûìèâûçîâàìè è îäíèì ñåðâåðîì, ââåäåííàÿ è â îäíîðîäíîì ñëó÷àå ðàññìîòðåííàÿ â[94].  óêàçàííîé ðàáîòå òàêæå ïðèâåäåíî ïîäðîáíîå ñîäåðæàòåëüíîå îïèñàíèåìîäåëè, äëÿ êîòîðîé ïîñòðîåí äâóìåðíûé ïðîöåññ, îïèñûâàþùèé ÷èñëî òðåáîâàíèé â ñèñòåìå. îïèñûâàåìîé ãëàâå äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà ïîëó÷åíû óñëîâèÿýðãîäè÷íîñòè, îöåíêè óñòîé÷èâîñòè, ïðîâåäåíà àïïðîêñèìàöèÿ.4.1ÂâåäåíèåÎïèøåì ìîäåëü áîëåå ïîäðîáíî. Íîâûå êëèåíòû ïðèõîäÿò â ñîîòâåòñòâèèñ ïðîöåññîì Ïóàññîíà ñî ñêîðîñòüþ λ(t).

Êëèåíòû èìåþò íåçàâèñèìîå è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííîå ýêñïîíåíöèàëüíîå âðåìÿ îáñëóæèâàíèÿ {Si } ñ îáùèìýëåìåíòîì S è ñêîðîñòüþ µ(t) := 1/ES . Åñëè íîâûé êëèåíò íàõîäèò ñåðâåðçàíÿòûì, îí ïðèñîåäèíÿåòñÿ íà îðáèòó áåñêîíå÷íîãî ïîòåíöèàëà è íàçûâàåòñÿ âòîðè÷íûì êëèåíòîì. Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî îðáèòà ðàáîòàåò êàê îäèíî÷-69íûé ñåðâåð îáñëóæèâàíèÿ â ïîðÿäêå ïîñòóïëåíèÿ (ïåðâûì ïðèáûë - ïåðâûìîáñëóæåí). Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè îðáèòà íåïóñòàÿ, òî ïðåæíèé âòîðè÷íûé êëèåíò ïûòàåòñÿ ïîïàñòü íà ñåðâåð ñîãëàñíî ýêñïîíåíöèàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ñîñêîðîñòüþ µ0 (t).Äëÿ òåêóùåãî t îáîçíà÷èì ÷åðåç ν(t) ÷èñëî êëèåíòîâ ñåðâåðà, à ÷åðåçN (t) îáùåå êîëè÷åñòâî êëèåíòîâ íà îðáèòå [94]. Òî åñòü, ν(t) = 0, åñëè ñåðâåð ïóñò, ν(t) = 1 - â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ïðè N (t) = 0, 1, .

. .. Ââåäåì îñíîâíîé äâóìåðíûé ïðîöåññ X(t) = {ν(t), N (t), t ≥ 0} ñ ïðîñòðàíñòâîì ñîñòîÿíèé{0, 1} × {0, 1, 2, . . .}. Ðàññìîòðèì ïåðåõîäû ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè ñèñòåìû. Äëÿíà÷àëà, ïåðå÷èñëèì ñîñòîÿíèÿ ïðîöåññà ñëåäóþùèì îáðàçîì: êàæäîå ñîñòîÿíèå{0, n} îáîçíà÷èì ÷åðåç 2n + 1 ïðè n ≥ 0, à êàæäîå ñîñòîÿíèå {1, n} - ÷åðåç2n, n ≥ 1. Ñîîòâåòñòâóþùóþ äàííîìó ïåðå÷èñëåíèþ ìàòðèöó èíòåíñèâíîñòåéîáîçíà÷èì ÷åðåç Q = (qij ). Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òîq1,1 = −λ(t),q1,2 = λ(t),è äëÿ n ≥ 1,q2n,2n = −(λ(t) + µ(t)),q2n,2n+2 = λ(t),q2n,2n−1 = µ(t),q2n+1,2n+1 = −(λ(t) + µ0 (t)),q2n+1,2n = µ0 (t),q2n+1,2n+2 = λ(t).Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà èíòåíñèâíîñòåé âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:70−λλµ−(λ + µ)0µ000000...0...4.2Q(t) =00000 0 ···0 0 ··· −(λ + µ0 )λ000 0 ··· µ−(λ + µ)0λ0 0 · · · .0µ0−(λ + µ0 )λ0 0 ··· 00µ−(λ + µ) 0 λ · · · .......... ..

Характеристики

Список файлов диссертации