Диссертация (1155084), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

....... . .0λ00Âñïîìîãàòåëüíûå ïîíÿòèÿÏóñòü B(t) - îãðàíè÷åííûé ëèíåéíûé îïåðàòîð â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâåB . Åñëè B = l1 , òî îïåðàòîð B(t) çàäàåòñÿ ìàòðèöåé B(t) = (bij (t))∞i,j=0 , òîãäàëîãàðèôìè÷åñêàÿ íîðìà ìîæåò áûòü íàéäåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:γ(B(t)) = supj (bjj (t) +Pi6=j|bij (t)|).Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ω ìíîæåñòâî âñåõ ñòîõàñòè÷åñêèõ âåêòîðîâ, ò.å. l1 âåêòîðîâ ñ íåîòðèöàòåëüíûìè êîîðäèíàòàìè è åäèíè÷íîé íîðìîé.

ÑëåäîâàòåëüíîkAk = 2λ + 2 max(µ, µ0 ) < ∞. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à Êîøè äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ïðè ïðîèçâîëüíîì íà÷àëüíîìóñëîâèè è ïðè p(s) ∈ Ω, p(t) ∈ Ω äëÿ t ≥ s ≥ 0.Êðîìå òîãî, ñëåäóÿ ñòàíäàðòíîìó ïîäõîäó, ìîæíî âûðàçèòü p1 (t) = 1 −Pi≥2 pi (t)(ïîäðîáíåå ñì.

[84]). Òîãäà ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ðàâåíñòâîdz(t)= B(t)z(t) + f (t),dtãäå f (t) = (λ(t), 0, 0, . . .)T , z(t) = (p2 (t), p3 (t), . . .)T , àB(t) = −(2λ(t) + µ(t))µ0 (t) − λ(t)0−(λ(t) + µ0 (t))λ(t)λ(t)000...0...−λ(t)−λ(t)······ −(λ(t) + µ(t))µ0 (t)··· .0−(λ(t) + µ0 (t)) · · · λ(t)λ(t)··· .........µ(t)0714.34.3.1Îöåíêè ýðãîäè÷íîñòè è óñòîé÷èâîñòèÍóëü-ýðãîäè÷íîñòüÌàðêîâñêàÿ öåïü X(t) íóëü-ýðãîäè÷íà, åñëè pk (t) → 0 ïðè t → ∞ äëÿ ëþáîãî íà÷àëüíîãî p(0) è ëþáîãî k . Ðàññìîòðèì óáûâàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë {δi }, i = 0, 1, .

. . , δ0 = 1, è ñîîòâåòñòâóþóùþ äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó ∆ ñ äèàãîíàëüíûìè ýëåìåíòàìè {δk }:δ 0 0 ··· 0 0 δ 0 ··· 1∆=. 0 0 δ2 · · · ···Ïóñòü l1∆ - ïðîñòðàíñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé:l1∆ = {p = (p0 , p1 , . . .)T : kpk1∆ ≡ k∆pk < ∞}.Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ ïðîèçâåäåíèåì ìàòðèö ∆A(t)∆−1 äëÿ âûðàæåíèÿ ëîãàðèôìè÷åñêîé íîðìû:∆A(t)∆−1δ0 µδ1−λ000 δλ 1 −(λ + µ)000 δ0δ2 µ 000−(λ + µ0 )δ3=δ3 µ0δ3 λδ3 λ−(λ + µ) 0δδδ412 0000−(λ + µ0 )···0 ···00 ···00 ···00 ···δ4 µδ50 ···,0∞Tãäå A(t) = (aij (t))∞i,j=1 = (qji (t))i,j=1 = Q (t).  ðåçóëüòàòå, ïîëó÷àåì ñëåäóþ-ùåå:γ(A(t))1∆ = γ(∆A(t)∆−1 )1 = sup(aii (t) +iX δjj6=iδiaij (t)).(4.3.1)Ïîëîæèì δ0 = δ1 è δ2k+1 = aδ2k , δ2k = bδ2k−1 , åñëè k ≥ 1 äëÿ íåêîòîðûõ a, b.Êðîìå òîãî,γ(A(t))1∆ = − min(λ(t)(1 − b), λ(t)(1 − ab) − µ(t)(b−1 − 1),λ(t)(1 − b) − µ0 (t)(a−1 − 1)).(4.3.2)72Íóëü-ýðãîäè÷íîñòü ïðîöåññà X(t) ñëåäóåò èç îöåíêè γ(A(t))1∆ < 0 ïðèa < 1, b < 1.

Ïóñòü äëÿ ëþáîãî t ñïðàâåäëèâîµ(t)µ0 (t)< 1.λ(t)(λ(t) + µ0 (t))(4.3.3)Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâîµ0 (t)λ(t) − µ(t)(b−1 − 1)<a<.λ(t)(1 − b) + µ0 (t)bλ(t)(4.3.4)Ïðåîáðàçóåì åãî1λ(t)µ0 (t) (1− b) + 1<a<11 µ(t) 1−( 2 − ).b λ(t) bb(4.3.5)Ëåâóþ è ïðàâóþ ïîäâèæíûå ÷àñòè íåðàâåíñòâà çàôèêñèðóåì:1inf t µλ(t)(1 − b) + 10 (t)<a<µ(t) 111− sup( 2 − ).bbt λ(t) b(4.3.6)Òàêèì îáðàçîì, åñëè âåðíî (4.3.6), òî âåðíî è (4.3.4).Ðåøèâ íåðàâåíñòâî (4.3.6), ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ ëþáîãî b èç èíòåðâàëà(c+1)d( cd+c+1, 1), ãäå c = inf t µλ(t), d = supt µ(t)λ(t) ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííîå a, åñëè d < c+1.0 (t)Òî åñòü, ìîæíî ïîäîáðàòü a, ïðè óñëîâèè, ÷òî suptµ(t)λ(t)< inf t µλ(t)+ 1.

Òàêèì0 (t)îáðàçîì, ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Rtλ(t)Ïóñòü supt µ(t)<inf+1.Êðîìåòîãît0 ζ(τ )dτ → ∞, ïðèλ(t)µ (t)t → ∞. Òîãäà ïðîöåññ X(t) íóëü-ýðãîäè÷åí è ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùååÒåîðåìà 16.0PNi=0 pi (t) ≤δk −δN eRt0ζ(τ )dτ,äëÿ ëþáîãî t ≥ 0, íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ X(0) = k, è ëþáîãî íàòóðàëüíîãî N , ãäåζ(τ ) = min(λ(τ )(1 − ab) − µ(τ )(b−1 − 1), λ(τ )(1 − b) − µ0 (τ )(a−1 − 1)) > 0.4.3.2Ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ýðãîäè÷íîñòüÏóñòü p0 (t) = 1 −i≥1 pi (t).PÈìååì ñëåäóþùåå ðàâåíñòâîdz(t)= B(t)z(t) + f (t),dt(4.3.7)73ãäå f (t) = (a10 (t), a20 (t), .

. .) = (λ(t), 0, 0, . . .)T , z(t) = (p1 (t), p2 (t), . . .)T ,TB(t) = (bij (t))∞i,j=1a11 − a10 a12 − a10 · · · a1r − a10 · · · a21 − a20 a22 − a20=······ a −a a −ar0r2r0 r1······· · · a2r − a20 · · · ········· .· · · arr − ar0 · · · ·········(4.3.8)Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë {di }, i = 1, 2, . .

. , d1 = 1.Ïîëîæèì gi =Pin=1= dn . Ïóñòü D d 1 0D= 0âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà,d1 d1 · · ·d2 d2 · · · ,0 d3 · · · ... ... ...(4.3.9)à l1D ñîîòâåòñòâóþùåå ïðîñòðàíñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåél1D = {z = (p1 , p2 , . . .)T | kzk1D ≡ kDzk1 < ∞}.Ðàññìîòðèì ðàâåíñòâî (4.3.7) â ïðîñòðàíñòâå l1D .Ïîëîæèì d0 = d1 = 1 è d2k+1 = ad2k , d2k = bd2k−1 , k ≥ 1. Òîãäàγ(B(t))1D = − inf αi ,i≥1(4.3.10)ãäåα1 = λ(t) + µ(t) − λ(t)(b + ab),α2k = λ(t) + µ0 (t) − µ(t)b−1 , k ≥ 1,(4.3.11)α2k+1 = λ(t) + µ(t) − λ(t)(b + ab) − µ0 (t)a−1 , k ≥ 1.Ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ýðãîäè÷íîñòü ïðîöåññà X(t) ñëåäóåò èç ðàâåíñòâàinf αi = min(λ(t) + µ0 (t) − µb−1 , λ(t) + µ(t) − λ(t)(b + ab) − µ0 (t)a−1 ), (4.3.12)i≥174äëÿ íåêîòîðûõ a, b, ab > 1.

Ïîëîæèì x = ab è ðàññìîòðèì íåðàâåíñòâî:µ(t)λ(t) + µ(t) − xλ(t)<b<,λ(t) + µ0 (t)λ(t) + µ0 (t)/x(4.3.13)µ(t)(λ(t) + µ(t) − xλ(t))x<,λ(t) + µ0 (t)xλ(t) + µ0 (t)(4.3.14)µ0 (t) + λ(t)µ0 (t) + xλ(t)>.µ(t)(µ(t) + λ(t) − xλ(t))x(4.3.15)Äëÿ óäîáñòâà îáîçíà÷èì c = inf tµ0 (t)λ(t) ,λ(t)d = inf t µ(t). Îöåíèì ëåâóþ è ïðàâóþ÷àñòè íåðàâåíñòâà:µ0 + λ µ0 λ λµ0λλ=+ > infinf + inf = cd + d,t λ t µt µµλµ µ1 + x µλ01 + xcµ0 + xλ=< 1.1x(µ + λ − xλ)x ( µλ µλ + µλ − x µλ )x ( cd+−)xcc000Ïîëó÷àåìcd + d >1 + xc.+ 1c − xc )x1( cdc). Îòñþäà ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì, ÷òî x ∈ (1; d(c+1)ñëåäóþùåå óñëîâèåsupt(4.3.16)(4.3.17)(4.3.18)1d> 1 + 1c , à çíà÷èò èìååìµ(t)λ(t)> sup+ 1.λ(t)t µ0 (t)(4.3.19)Òàêèì îáðàçîì, íåðàâåíñòâî (4.3.13) ñïðàâåäëèâî äëÿ íåêîòîðîãî b è a = x/b,cåñëè x ∈ (1; d(c+1)). ðåçóëüòàòå, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ïîëîæåíèå.Rt ∗λ(t)Ïóñòü supt µ(t)>sup+1.Êðîìåòîãît µ (t)0 α (τ )dτ → ∞λ(t)ïðè t → ∞.

Òîãäà ïðîöåññ X(t) ýêñïîíåíöèàëüíî ýðãîäè÷íûé è âûïîëíÿåòñÿñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî:Òåîðåìà 17.∗0∗∗k p (t) − p (t) k≤ 4e−Rt0α∗ (τ )dτXgi | p∗ (0) − p∗∗ (0) |,(4.3.20)i≥1äëÿ ëþáîãî t ≥ 0 è íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé p∗(0), p∗∗(0) ãäå.α∗ = min(λ(t) + µ0 (t) − µ(t)b−1 , λ(t) + µ(t) − λ(t)(b + ab) − µ0 (t)a−1 )754.3.3Ñëàáàÿ ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ýðãîäè÷íîñòü è óñòîé÷èâîñòü äàííîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé ñëàáîé ýêñïîíåíöèàëüíîé ýðãîäè÷íîñòè è äâå ðàçëè÷íûå ñèòóàöèè:(i) ïðîöåññ áëèçêèé ê îäíîðîäíîìó, êîãäà èíòåíñèâíîñòè áëèçêè ê ïîñòîÿííûì,(ii) ñëó÷àé, êîãäà µ(t) = µ0 (t).(i) Ïóñòü èíòåíñèâíîñòè èìåþò âèäλ(t) = λ∗ + l(t), µ(t) = µ∗ + m(t), µ0 (t) = µ∗0 + m0 (t),ãäå ôóíêöèè l(t), m(t), m0 (t) ëîêàëüíî èíòåãðèðóåìû íà [0, ∞), à ïîñòîÿííûåñëàãàåìûå óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâóµ∗ µ∗0 > λ∗ (λ∗ + µ∗0 ),ãàðàíòèðóþùåìó ýêñïîíåíöèàëüíóþ ýðãîäè÷íîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî ïðîöåññà.Äàëåå ìû ïðèìåíÿåì îáùèé ïîäõîä èç [88].

Ïóñòü X̄(t) - óñå÷åííûé îäíîðîäíûé ïðîöåññ ñ ïîñòîÿííûìè èíòåíñèâíîñòÿìè λ∗ , µ∗0 è µ∗ . Âåðîÿòíîñòíàÿäèíàìèêà ïðîöåññà îïèñûâàåòñÿ ïðÿìîé ñèñòåìîé Êîëìîãîðîâà:Ïîëó÷àåìdp= Āp.dt(4.3.21)dz= B̄z + f ,dt(4.3.22)ãäå f = (λ∗ , 0, 0, . . .)T , z = (p2 , p3 , . . .)T èB̄ = ∗∗−(2λ + µ )µ∗0∗−λ0−(λ∗ + µ∗0 )λ∗λ∗000...0...∗−λ∗−λ······ ∗∗∗−(λ + µ )µ0··· .∗∗0−(λ + µ0 ) · · · λ∗λ∗··· .........µ∗0(4.3.23)76Ïóñòüd d 2 2 0 d3D= 0 0...d2 · · ·d3 · · · −d4 · · · ... ...âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ ïîëîæèòåëüíûìè ýëåìåíòàìè d2 = 1, d2k+1 =bd2k , d2k+2 = ad2k+1 , k ≥ 1.Ðàññìîòðèì ëîãàðèôìè÷åñêóþ íîðìó γ(B̄) ìàòðèöû èíòåíñèâíîñòåé:γ(B̄)1D = γ(DB̄D−1 )1 =− min λ∗ + µ∗0 − µ∗ b−1 , λ∗ + µ∗ − λ∗ (b + ab) − µ∗0 a−1 = −α∗ .Èìååì∗k Ū (t, 0) k1D ≤ e−α t ,ãäå Ū (t, 0) - ñîîòâåòñòâóþùèé îïåðàòîð Êîøè äëÿ X̄(t).

Åñëè äîïîëíèòåëüíîïðåäïîëîæèòü, ÷òî l(t) ≤ f è l(t) + m(t) + l(t)(b + ab) + m0 (t) ≤ B , ãäåa > 1, b > 1, òîãäà äëÿ ëþáîãî t ≥ 0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî, ñâÿçûâàþùååëîãàðèôìè÷åñêèå íîðìû íåîäíîðîäíîãî è îäíîðîäíîãî ïðîöåññà ñîîòâåòñòâåííî:γ(B(t)) ≤ γ(B̄) + B = −α∗ + B .Áîëåå òîãîk U (t, 0) k1D ≤ e(−α∗+B )t.Ïîëîæèì B = λ∗ + µ∗ + λ∗ (b + ab) + µ∗0 a−1 + B è f = λ∗ + f . Òàêèì îáðàçîì,ïîëó÷àåìk B(t) k1D ≤ B < ∞, k f (t) k1D ≤ f < ∞,(4.3.24)ñì. [88]. Òîãäàkp∗ (t) − p∗∗ (t)k ≤ 2kp∗ (t) − p∗∗ (t)k1D ≤2eRt0γ(B(s))dskp∗ (0) − p∗∗ (0)k1D ≤ 2e(−α∗+B )tkp∗ (0) − p∗∗ (0)k1D ,kB(t) − B̄k1D ≤ B ,(4.3.25)kf (t) − f̄ k1D ≤ f .(4.3.26)77Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà 18.Ïóñòü èíòåíñèâíîñòè èìåþò âèä,λ(t) = λ∗ + l(t), µ(t) = µ∗ + m(t), µ0 (t) = µ∗0 + m0 (t)ïðè÷åì âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:µ∗ µ∗0 > λ∗ (λ∗ + µ∗0 ),B < α∗ ,ãäå α∗ = min(λ∗ + µ∗0 − µ∗b−1,λ∗ + µ∗ − λ∗ (b + ab) − µ∗0 a−1 ),Òîãäà äëÿ ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèép∗ (0), p∗∗ (0) ïðîöåññ X(t) ñëàáî ýêñïîíåíöèàëüíî ýðãîäè÷åí è ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè:B ≥ l(t) + m(t) + l(t)(b + ab) + m0 (t).kp∗ (t) − p∗∗ (t)k ≤ 2e−(α∗−B )tkp∗ (0) − p∗∗ (0)k1D .Êðîìå òîãî, äëÿ ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé p(0) è p̄(0) íåîäíîðîäíîãî è îäíîðîäíîãî ïðîöåññîâ ñîîòâåòñòâåííî ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà óñòîé÷èâîñòè:∗fB + α f.t→∞α∗ (α∗ − B )Òåïåðü ðàññìîòðèì áîëåå ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà µ(t) = µ0 (t).

Ðàññìîòðèì ëîlim sup kp(t) − p̄(t)k1D ≤ãàðèôìè÷åñêóþ íîðìó ìàòðèöû èíòåíñèâíîñòåé:γ(B(t))1D = γ(DB(t)D−1 )1 == − min λ(t) + µ0 (t) − µ(t)b−1 , λ(t) + µ(t) − λ(t) (b + ab) − µ0 (t)a−1è, ïîëàãàÿ µ(t) = µ0 (t), ïîëó÷àåìγ(B(t))1Db−1a−1= − min λ(t) + µ(t), λ(t)(1 − b − ab) + µ(t).baÒîãäàγ(B(t))1Da−1= − λ(t)(1 − b − ab) + µ(t)= −β(t),a78äëÿ ëþáîãî a ∈ (1; b).Êðîìå òîãî,kU (t, 0)k1D ≤ eRt−0β(τ )dτ,è òîãäàkp∗ (t) − p∗∗ (t)k ≤ 2kp∗ (t) − p∗∗ (t)k1D ≤−≤ 2eRt0β(τ )dτkp∗ (0) − p∗∗ (0)k1D .Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà 19.÷òîÏðåäïîëîæèì, ÷òî µ(t) = µ0(t) è ñóùåñòâóåò òàêîå a ∈ (1; b),∞Zβ(t)dt = +∞,0ãäå β(t) = λ(t)(1 − b − ab) + µ(t)( a−1a . Òîãäà X(t) - ñëàáî ýêñïîíåíöèàëüíîýðãîäè÷íûé äëÿ ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé p∗(0), p∗∗(0) è∗∗∗kp (t) − p (t)k ≤ 2e4.4−Rt0β(τ )dτkp∗ (0) − p∗∗ (0)k1D .ÀïïðîêñèìàöèÿÐàññìîòðèì óñå÷åííûé ïðîöåññ XN , ãäå N = 2k .

Òîãäà èñõîäíàÿ ñèñòåìàÊîëìîãîðîâà ïðèìåò âèädpN= AN pN .dt(4.4.27)Âîñïîëüçóåìñÿ ñòàíäàðòíûì ïîäõîäîì è ïåðåïèøåì ñèñòåìó ñëåäóþùèì îáðàçîìdzN= BzN + (BN − B)zN + fN ,dt(4.4.28)ãäå fN = f = (λ, 0, 0, . . .)T , zN = (p˜2 , p˜3 , . . . , p˜N , 0, 0, · · · )T . ÈìååìZtZV (t, s)(BN − B)zN (s)ds +zN (t) = V (t, 0)zN (0) +0tV (t, s)fN ds, (4.4.29)0Zz(t) = V (t, 0)z(0) +tV (t, s)f ds.0(4.4.30)79Ïóñòüd˜ d˜ 2 2 0 d˜3D̃ =  0 0...d˜2 · · ·d˜3 · · · −d˜4 · · · ... ...(4.4.31)âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ ïîëîæèòåëüíûìè ýëåìåíòàìè d˜2 = 1, d˜2k+1 =b̃d˜2k , d˜2k+2 = ãd˜2k+1 , k ≥ 1 è l1D̃ - ïðîñòðàíñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåél1D̃ = {zN = (p˜2 , p˜3 , .

Характеристики

Список файлов диссертации