Диссертация (1155084), страница 4
Текст из файла (страница 4)
[84, 87]), áóäåì ïîëàãàòü S = 102 .Ïîñòðîåíèå âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ ýòîé è ñëåäóþùèõ ìîäåëåé, ðàññìàòðèâàåìûõ â äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå, îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþîáùåãî àëãîðèòìà, çàêëþ÷àþùåãîñÿ â óñå÷åíèè èñõîäíîãî ïðîöåññà, èñïîëüçîâàíèè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè äëÿ îöåíèâàíèÿ îïåðàòîðà Êîøè, ðåøåíèè ñèñòåìûäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Ðóíãå-Êóòòû IV ïîðÿäêà, íàõîæäåíèè îñíîâíûõ âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê è, íàêîíåö, ïîñòðîåíèè ãðàôèêîâ ýòèõ õàðàêòåðèñòèê ñ ïîìîùüþ ðàçðàáîòàííûõ ïðîãðàìì, ïîçâîëÿþùèõ25ñ îïòèìàëüíîé ñêîðîñòüþ íàõîäèòü çíà÷åíèÿ â ñëó÷àå äîñòàòî÷íî áîëüøîãî êîëè÷åñòâà óðàâíåíèé N â óñå÷åííîé ñèñòåìå è ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ t.1.Ïóñòü N = S , à èíòåíñèâíîñòè ïîñòóïëåíèÿ è îáñëóæèâàíèÿ òðå-áîâàíèé îïðåäåëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè λ∗ (t) = 3 + sin 2πt è µ(t) = 3 + cos 2πtñîîòâåòñòâåííî.
Òîãäà âûïîëíåíî óñëîâèå (2.1.9), ñóùåñòâóåò ïðåäåëüíûé 1ïåðèîäè÷åñêèé ðåæèì, ñêàæåì, p∗ (t) è ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåäåëüíîå ñðåäíååφ∗ (t), è ñïðàâåäëèâû îöåíêè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ê íèì:kp∗ (t) − p∗∗ (t)k ≤ 103 e−3t ,|E(t, s) − φ(t)| ≤ 105 e−3t ,(2.1.22)îòêóäà âûòåêàåò, ÷òî ïðè t ≥ 8 ïðåäåëüíûå õàðàêòåðèñòèêè ïîëó÷àþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ âûøå 10−4 . Èõ ìîæíî íàéòè, ðåøàÿ ïðÿìóþ ñèñòåìó Êîëìîãîðîâà ñíà÷àëüíûì óñëîâèåì e0 íà îòðåçêå [0; 9], è âçÿâ çàòåì ïîëó÷åííûå ôóíêöèè íàîòðåçêå [8; 9]. Îòìåòèì, ÷òî êàê â ýòîì, òàê è â ñëåäóþùèõ ïðèìåðàõ, èìååìα = 3, M ≤ 2, è ñîîòâåòñòâóþùèå îöåíêè óñòîé÷èâîñòè, îñíîâàííûå íà ñëåäñòâèè 2, âûãëÿäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì:lim sup kp(t) − p̄(t)k ≤t→∞ε(1 + ln 800)≤ 3ε,3ε102 (1 + ln 800)lim sup |Ep (t) − Ēp̄(t) | ≤≤ 300ε.3t→∞(2.1.23)(2.1.24)Íà ïåðâûõ äâóõ ðèñóíêàõ ïðèâåäåíû ïðèáëèæåííûå ãðàôèêè äâóõ ïðåäåëüíûõ õàðàêòåðèñòèê: ïðåäåëüíîãî ñðåäíåãî (ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ)φ∗100 (t) è ïðåäåëüíîé âåðîÿòíîñòè îòñóòñòâèÿ òðåáîâàíèé â ñèñòåìå p∗0,100 (t) =Pr(X(t) = 0) ïðè N = S = 100.2.Ïóñòü òåïåðü N = S/2 = 50, èíòåíñèâíîñòè îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèéïðåäïîëàãàþòñÿ òàêèìè æå, à èíòåíñèâíîñòè ïîñòóïëåíèÿ òðåáîâàíèé ïîäáåðåìòàê, ÷òîáû íåèçìåííîé îñòàëàñü ¾ñðåäíÿÿ èíòåíñèâíîñòü ïîñòóïëåíèÿ òðåáîâàíèÿ¿, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ êàê âåëè÷èíà λ1 (t) + 2λ2 (t) + · · · + N λN (t) = N λ(t),òî åñòü äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî N λ(t) = S (3 + sin 2πt), îòêóäà â ýòîéñèòóàöèè λ(t) = 2 (3 + sin 2πt).
Ïîñêîëüêó ïîëó÷åííûå îöåíêè íå çàâèñÿò îò26Ðèñ. 2.1: Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ïðåäåëüíîãî ñðåäíåãîφ∗100 (t)Ðèñ. 2.2: Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ïðåäåëüíîé ¾ïóñòîé î÷åðåäè¿p∗0,100 (t)ôóíêöèè, îïèñûâàþùåé èíòåíñèâíîñòü ïîñòóïëåíèÿ òðåáîâàíèé, ñïðàâåäëèâûòå æå îöåíêè. Íà òðåòüåì è ÷åòâåðòîì ðèñóíêàõ ïðèâåäåíû ïðèáëèæåííûå ãðàôèêè äâóõ ïðåäåëüíûõ õàðàêòåðèñòèê: ïðåäåëüíîãî ñðåäíåãî (ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿ) φ∗50 (t) è ïðåäåëüíîé âåðîÿòíîñòè îòñóòñòâèÿ òðåáîâàíèé â ñèñòåìåp∗0,50 (t) = Pr(X(t) = 0) ïðè N = S/2 = 50.Ðèñ. 2.3: Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ïðåäåëüíîãî ñðåäíåãîφ∗50 (t)27Ðèñ. 2.4: Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ïðåäåëüíîé ¾ïóñòîé î÷åðåäè¿3.p∗0,50 (t)Âîçüìåì òåïåðü óáûâàþùèå çíà÷åíèÿ N = 40, 20, 10, 1 ñ èíòåíñèâíî-ñòÿìè ïîñòóïëåíèÿ òðåáîâàíèé λ(t) = 2.5 (3 + sin 2πt), λ(t) = 5 (3 + sin 2πt),λ(t) = 10 (3 + sin 2πt), λ(t) = 102 (3 + sin 2πt) ñîîòâåòñòâåííî. Ïîñêîëüêó ïîëó÷åííûå îöåíêè íå çàâèñÿò îò ôóíêöèè, îïèñûâàþùåé èíòåíñèâíîñòü ïîñòóïëåíèÿ òðåáîâàíèé, ñïðàâåäëèâû òå æå îöåíêè.
Íà ðèñóíêàõ ñ ïÿòîãî ïîäâåíàäöàòûé ïðèâåäåíû ïðèáëèæåííûå ãðàôèêè äâóõ ïðåäåëüíûõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ êàæäîãî èç ýòèõ ñëó÷àåâ ïðåäåëüíîãî ñðåäíåãî (ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿ) φ∗N (t) è ïðåäåëüíîé âåðîÿòíîñòè îòñóòñòâèÿ òðåáîâàíèé â ñèñòåìåp∗0,N (t) = Pr(X(t) = 0) ïðè N = 40, 20, 10, 1 ñîîòâåòñòâåííî.28Ðèñ. 2.5: Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ïðåäåëüíîãî ñðåäíåãîφ∗40 (t)Ðèñ.
2.6: Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ïðåäåëüíîé ¾ïóñòîé î÷åðåäè¿Ðèñ. 2.7: Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ïðåäåëüíîãî ñðåäíåãîp∗0,40 (t)φ∗20 (t)29Ðèñ. 2.8: Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ïðåäåëüíîé ¾ïóñòîé î÷åðåäè¿Ðèñ. 2.9: Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ïðåäåëüíîãî ñðåäíåãîp∗0,20 (t)φ∗10 (t)Ðèñ. 2.10: Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ïðåäåëüíîé ¾ïóñòîé î÷åðåäè¿p∗0,10 (t)30Ðèñ. 2.11: Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ïðåäåëüíîãî ñðåäíåãîφ∗1 (t)Ðèñ. 2.12: Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ïðåäåëüíîé ¾ïóñòîé î÷åðåäè¿p∗0,1 (t)Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîêàçûâàþò, ÷òî óâåëè÷åíèå îäíîìîìåíòíî äîïóñòèìîãî ïîñòóïàþùåãî êîëè÷åñòâà òðåáîâàíèé ïðè òîé æå¾ñðåäíåé èíòåíñèâíîñòè ïîñòóïëåíèÿ òðåáîâàíèé¿ ïðèâîäèò ê ñîêðàùåíèþïðåäåëüíîé ñðåäíåé äëèíû î÷åðåäè è óâåëè÷åíèþ âåðîÿòíîñòè îòñóòñòâèÿòðåáîâàíèé â ñèñòåìå.Çàìå÷àíèå 1.312.2Ïðîöåññ ðîæäåíèÿ è ãèáåëè ñ îñîáåííîñòÿìèÏðîöåññ ðîæäåíèÿ è ãèáåëè ñ âîçìîæíûìè ïåðåõîäàìè èç íóëåâîãî ñîñòîÿíèÿ áûë ïðåäñòàâëåí è âïåðâûå èññëåäîâàí â [67], â [40] ââåäåíà è èçó÷åíàìîäåëü ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ M/M/1 ñ êàòàñòðîôàìè è âîçìîæíûìè ïåðåõîäàìè èç íóëåâîãî ñîñòîÿíèÿ.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ñóùåñòâóþò òàêæå äðóãèåðàáîòû, ïîñâÿùåííûå èññëåäîâàíèþ äàííîé òåìàòèêè (ñì. [41, 42, 97]). äàííîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëü ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ, îïèñûâàåìàÿ ïðîöåññîì ðîæäåíèÿ è ãèáåëè ñ êàòàñòðîôàìè â ñëó÷àå, êîãäà èíòåíñèâíîñòè êàòàñòðîô ðàçëè÷íûå. Ïðîäîëæåíû èññëåäîâàíèÿ, íà÷àòûå â [93].Äëÿ ïðîöåññà, îïèñûâàþùåãî ÷èñëî òðåáîâàíèé â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå ïîëó÷åíî óñëîâèå ñëàáîé ýðãîäè÷íîñòè, îöåíêè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè êïðåäåëüíîìó ðåæèìó è ïðåäåëüíîìó ñðåäíåìó.2.2.1Ââåäåíèå è îñíîâíûå ïîíÿòèÿÇäåñü X = X(t), t ≥ 0 - íåîäíîðîäíàÿ ìàðêîâñêàÿ öåïü ñ íåïðåðûâíûìâðåìåíåì.Ïîëàãàåì, ÷òî äëÿ j 6= iPr (X (t + h) = j|X (t) = i) =λi (t) h + αij (t, h) ,åñëè j = i + 1, i > 0,µi (t) h + αij (t, h) ,åñëè j = i − 1, i > 1,βi (t) h + αij (t, h) ,åñëè j = 0, i > 1,rj (t) h + αij (t, h) ,åñëè j ≥ 1, i = 0,(µ1 (t) + β1 (t)) h + αij (t, h) , åñëè j = i − 1, i = 1,α (t, h)â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ,ij(2.2.25)32ãäå âñå αi (t, h) - o(h) ðàâíîìåðíû i, òî åñòü, supi |αi (t, h)| = o(h).
Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìàòðèöà èìååò âèäa00 (t)r1 (t) r2 (t) r3 (t) r4 (t) . . .00... β1 (t) + µ1 (t) a11 (t) λ1 (t)β2 (t)µ2 (t) a22 (t) λ2 (t)0...Q(t) = ..................βj (t)0. . . µj (t) ajj (t) λj (t)....................................Ïîëîæèì aij (t) = qji (t) äëÿ j 6= i è ïóñòü aii (t) = −−Pj6=i qij (t)..... ...Pj6=i aji (t)= äîïîëíåíèå, ïðèìåíÿÿ ñòàíäàðòíûé ïîäõîä ([51, 83, 84]), ïî-ëàãàåì, ÷òî ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà äëÿ ìàòðèöû èíòåíñèâíîñòåé|aii (t)| ≤ L < ∞,(2.2.26)ïðè ïî÷òè âñåõ t ≥ 0.Âåðîÿòíîñòíàÿ äèíàìèêà îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé Êîëìîãîðîâàdp= A(t)p(t),dt(2.2.27)∞ãäå A(t) = (aij (t))i,j=0 = QT (t) - òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà èíòåíñèâíîñòåé.Êðîìå òîãî, kA(t)k = 2 supk |akk (t)| ≤ 2L ïðè ïî÷òè âñåõ t ≥ 0.
Òàêèìîáðàçîì, îïåðàòîð A(t) èç l1 â ñåáÿ îãðàíè÷åí ïðè ïî÷òè âñåõ t ≥ 0 è ëîêàëüíîèíòåãðèðóåì íà [0; ∞). Ðàññìîòðèì (2.2.27) êàê äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèåâ ïðîñòðàíñòâå l1 ñ îãðàíè÷åííûì îïåðàòîðîì.2.2.2Îöåíêè ýðãîäè÷íîñòèÇäåñü ìû ïðèìåíÿåì ïîäõîä èç [93]. Ïîëîæèìβ∗ (t) = inf βi (t),i(2.2.28)33è ïåðåïèøåì óðàâíåíèå Êîëìîãîðîâà (2.2.27) ñëåäóþùèì îáðàçîìdp= A∗ (t) p + g(t), t ≥ 0,dtTãäå g(t) = (β∗ (t), 0, 0, .
. . ) , A∗ (t) = a∗ij (t) , è(a∗ij (t) =a0j (t) − β∗ (t),åñëè i = 0aij (t)â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.(2.2.29)(2.2.30)Èç ïîñëåäíåãî ìîæíî âûâåñòè ñëåäóþùèå îöåíêè îïåðàòîðà Êîøè V (t, s):RtkV (t, s)kB ≤ e sγ(B(τ )) dτ,0 ≤ s ≤ t.Çäåñü ìû ìîæåì íàéòè îöåíêó ëîãàðèôìè÷åñêîé íîðìû îïåðàòîðà A∗ (t) , àèìåííîγ (A∗ (t)) = sup a∗ii (t) +iXa∗ji (t) = −β∗ (t).(2.2.31)j6=iÏóñòü U ∗ (t, s) - îïåðàòîð Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ (2.2.29). Òîãäà kU ∗ (t, s)k ≤eRt− β∗ (τ ) dτs,−kp∗ (t) − p∗∗ (t)k ≤ eRtβ∗ (τ ) dτskp∗ (0) − p∗∗ (0)k ,(2.2.32)äëÿ ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé p∗ (0), p∗∗ (0) è ëþáîãî t ≥ 0. Ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Òåîðåìà 10.Ïóñòü èíòåíñèâíîñòü êàòàñòðîôû ñóùåñòâåííàÿ, òî åñòü∞Z(2.2.33)β∗ (t) dt = ∞.0Òîãäà ïðîöåññ X(t) - ñëàáî ýðãîäè÷åí, è ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè:−kp∗ (t) − p∗∗ (t)k ≤ 2eRt0β∗ (τ ) dτ,äëÿ ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé p∗(0), p∗∗(0) è ëþáîãî t ≥ 0.(2.2.34)34Ïóñòü òåïåðüD - äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, D = diag (d0, d1, d2, .
. . ), ãäå 1 =d0 ≤ d1 ≤ . . . . Ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùåå ïðîñòðàíñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåél1D = {z = (p0 , p1 , p2 , . . .)} òàêîå, ÷òî kzk1D = kDzk1 < ∞.P dj ∗ ∗Ïîëîæèì β∗∗ (t) = inf i |aii (t)| − j6=i di aji (t) .Òîãäà ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ñëåäóþùóþ îöåíêó ëîãàðèôìè÷åñêîé íîðìûîïåðàòîðà A∗ (t) â íîðìå l1D :X dj a∗ji (t) = −β∗∗ (t).γ (A∗ (t))1D = sup a∗ii (t) + dii(2.2.35)j6=iÏóñòü l1E = {z = (p0 , p1 , p2 , .
. .)} - ìíîæåñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé òàêîå, ÷òî< ∞. Ïîëîæèì W = inf k≥1 dkk . È òîãäà W kzk1E ≤ kzk1D .Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.kzk1E =Pk≥0 k|pk |Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {di} òàêàÿ, ÷òî W > 0è, êðîìå òîãî,Z ∞Òåîðåìà 11.(2.2.36)β∗∗ (t) dt = ∞.0Òîãäà ïðîöåññ X(t) èìååò ïðåäåëüíîå ñðåäíåå φ(t) = E(t, 0), è ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè:Rt1 + dj − 0 β∗∗ (τ ) dτ|E(t, j) − E(t, 0)| ≤e,W(2.2.37)äëÿ ëþáîãî íà÷àëüíîãî j è ëþáîãî t ≥ 0.2.2.3ÏðèìåðÐàññìîòðèì îäíîðîäíóþ ìîäåëü ñ èíòåíñèâíîñòÿìè λk = 1, µk = 3 +cos 2πt, βk = 1 + 1/k , rk = k −3 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
