Диссертация (1155084), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Îïèñàííûå ïîäõîäû ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû âìîäåëèðîâàíèè ïîòîêîâ èíôîðìàöèè, ñâÿçàííûõ ñ âûñîêîïðîèçâîäèòåëüíûìèâû÷èñëåíèÿìè.Ñîäåðæàíèå ðàáîòû.Âî ââåäåíèèäàåòñÿ îáîñíîâàíèå àêòóàëüíîñòè òåìû äèññåðòàöèè, ïðè-âîäèòñÿ êðàòêèé îáçîð ðàáîò ïî äàííîé òåìàòèêå, ñôîðìóëèðîâàíû ðåçóëüòàòû,ïîëó÷åííûå â ðàáîòå. 1 ãëàâåïðèâîäèòñÿ âñïîìîãàòåëüíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò, íåîá-õîäèìûé äëÿ äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ. Ââîäÿòñÿ îïðåäåëåíèÿ îñíîâíûõ ïîíÿòèé: ïðåäåëüíîãî ñðåäíåãî, ïðîñòðàíñòâà l1 , ëîãàðèôìè÷åñêîé íîðìû îïåðà-9òîðà, à òàêæå íåêîòîðûå ïîíÿòèÿ è ìåòîäû, âàæíûå äëÿ äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ. 1 ãëàâû 2ðàññìàòðèâàåòñÿ êëàññ ìîäåëåé, â êîòîðûõ äîïóñêàþòñÿãðóïïîâîå ïîñòóïëåíèå è ãðóïïîâîå îáñëóæèâàíèå òðåáîâàíèé. Îáùàÿ ìîäåëüòàêîãî òèïà ââåäåíà è èññëåäîâàíà ðàíåå (ñì.
ïîäðîáíåå [17], [27], [85]).ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëü ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ, îïèñû- 2 ãëàâû 2âàåìàÿ ïðîöåññîì ðîæäåíèÿ è ãèáåëè ñ êàòàñòðîôàìè â ñëó÷àå, êîãäà èíòåíñèâíîñòè êàòàñòðîô ðàçëè÷íûå. Çäåñü ïðîäîëæåíû èññëåäîâàíèÿ, íà÷àòûå âðàáîòå [93].Äëÿ ïðîöåññà, îïèñûâàþùåãî ÷èñëî òðåáîâàíèé â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå ïîëó÷åíî óñëîâèå ñëàáîé ýðãîäè÷íîñòè, îöåíêè ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè êïðåäåëüíîìó ðåæèìó è ïðåäåëüíîìó ñðåäíåìó.èññëåäóåòñÿ ìîäåëü ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ ãðóïïîâûì 1 ãëàâû 3ïîñòóïëåíèåì è ãðóïïîâûì îáñëóæèâàíèåì òðåáîâàíèé, ÷àñòíûé ñëó÷àé êîòîðîé ðàññìîòðåí â 1 ãëàâû 2. Ïîëó÷åíû îöåíêè ðàâíîìåðíîé àïïðîêñèìàöèè èïðèâåäåíû ïðèìåðû. 2 ãëàâû 3ðàññìîòðåíû äâóñòîðîííèå óñå÷åíèÿ è ïðèâåäåíû ïðèìåðûäëÿ ñèñòåì ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ, ÷èñëî òðåáîâàíèé â êîòîðûõ îïèñûâàåòñÿ íåîäíîðîäíûì ïðîöåññîì ðîæäåíèÿ è ãèáåëè.
Ñîîòâåòñòâóþùèå ðåçóëüòàòûïîäðîáíî ðàññìîòðåíû â [71]. 3 ãëàâû 3ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëü ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ Mt /Mt /S(â ñëó÷àå ñðåäíåé èíòåíñèâíîñòè òðàôôèêà).Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ïîëó÷åíû îöåíêè ðàâíîìåðíîé àïïðîêñèìàöèè äâóñòîðîííèìè óñå÷åíèÿìè (ñì. [71]). 4 ãëàâåèññëåäóåòñÿ íåêîòîðûé êëàññ ìîäåëåé ñ ïîâòîðíûìè âûçî-âàìè, à èìåííî íåîäíîðîäíàÿ ìîäåëü ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ñ ïîâòîðíûìèâûçîâàìè è îäíèì ñåðâåðîì, ââåäåííàÿ è â îäíîðîäíîì ñëó÷àå ðàññìîòðåííàÿðàíåå (ñì. [94]).
Äëÿ äàííîãî ïðîöåññà ïîëó÷åíû óñëîâèÿ ýðãîäè÷íîñòè, îöåíêèóñòîé÷èâîñòè, ïðîâåäåíà àïïðîêñèìàöèÿ.10 çàêëþ÷åíèèîïèñàíû è ñôîðìóëèðîâàíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, ïîëó-÷åííûå â õîäå äèññåðòàöèîííîãî èññëåäîâàíèÿ äëÿ íåêîòîðûõ ìîäåëåé ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ. ïðèëîæåíèèïðèâåäåíî îïèñàíèå ïðîãðàììû, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé âû-ïîëíÿþòñÿ ïîñòðîåíèÿ îñíîâíûõ õàðàêòåðèñòèê ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà.Àïðîáàöèÿ ðåçóëüòàòîâ.Ðåçóëüòàòû ðàáîòû äîêëàäûâàëèñü íà:- ñåìèíàðàõ êàôåäðû ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè ÂîÃÓ "Ñîâðåìåííûå ìåòîäûñòîõàñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñëîæíûõ ñèñòåì"(2014-2017),- âòîðîé ìîëîäåæíîé íàó÷íîé êîíôåðåíöèè "Çàäà÷è ñîâðåìåííîé èíôîðìàòèêè"(Ìîñêâà, 2015),- 29-é Åâðîïåéñêîé êîíôåðåíöèè ïî ìîäåëèðîâàíèþ, ECMS (Âàðíà, Áîëãàðèÿ,2015),- 30-é Åâðîïåéñêîé êîíôåðåíöèè ïî ìîäåëèðîâàíèþ, ECMS (Ðåãåíñáóðã, Ãåðìàíèÿ, 2016),- íàó÷íîì ìåæâóçîâñêîì ñåìèíàðå "Ñîâðåìåííûå òåëåêîììóíèêàöèè è ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ òåëåòðàôèêà"(ÐÓÄÍ, Ìîñêâà, 2017),-7-éÂñåðîññèéñêîéêîíôåðåíöèè(ñìåæäóíàðîäíûìó÷àñòèåì)"Èíôîðìàöèîííî-òåëåêîììóíèêàöèîííûå òåõíîëîãèè è ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå âûñîêîòåõíîëîãè÷íûõ ñèñòåì"(â ðàìêàõ 53-é Âñåðîññèéñêîéêîíôåðåíöèè ïðîáëåì ìàòåìàòèêè, èíôîðìàòèêè, ôèçèêè è õèìèè) (ÐÓÄÍ,Ìîñêâà, 2017),- 31-é Åâðîïåéñêîé êîíôåðåíöèè ïî ìîäåëèðîâàíèþ, ECMS (Áóäàïåøò,Âåíãðèÿ, 2017).Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû îïóáëèêîâàíû â [17, 19, 21, 22, 24, 56, 57], [70][73],[95, 96], â òîì ÷èñëå ðàáîòû â æóðíàëàõ, ðåêîìåíäîâàííûõ ÂÀÊ.11Ãëàâà 1Îñíîâíûå ïîíÿòèÿÃëàâà ÿâëÿåòñÿ âñïîìîãàòåëüíîé.
Çäåñü ââîäèòñÿ îñíîâíîé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò è íåîáõîäèìûå äëÿ äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ ïîíÿòèÿ.1.1Ïðîñòðàíñòâî l1Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî âñåõ àáñîëþòíî ñóììèðóåìûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé x = {x1 , x2 , . . .}, xi ∈ R. Äðóãèìè ñëîâàìè, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèåP∞i=1 |xi |< ∞.Íîðìîé íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà kxk =P∞i=1|xi |. Ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñ ââåäåííîé íîðìîé íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé l1 . Âåêòîðàìè íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòû ýòîãî ïðîñòðàíñòâà. l1 ÿâëÿåòñÿëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì, ïîëíûì îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè ρ(x, y) = kx − yk (ò.å.áàíàõîâûì). Âåêòîðíîå (ëèíåéíîå) ïðîñòðàíñòâî ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà,êîòîðàÿ ôîðìèðóåòñÿ íàáîðîì ýëåìåíòîâ - âåêòîðîâ, äëÿ êîòîðûõ îïðåäåëåíûîïåðàöèè ñëîæåíèÿ äðóã ñ äðóãîì è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî ñêàëÿð.
Ââåä¼ííûåîïåðàöèè ïîä÷èíåíû âîñüìè àêñèîìàì. À ñêàëÿðîì ìîæåò ÿâëÿòüñÿ ýëåìåíòâåùåñòâåííîãî, êîìïëåêñíîãî èëè ëþáîãî äðóãîãî ïîëÿ ÷èñåë.Áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî íîðìèðîâàííîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî, ïîëíîåïî ìåòðèêå, ïîðîæä¼ííîé íîðìîé.  ñâîþ î÷åðåäü, ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî ýòîìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì êàæäàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê ýëåìåíòó ýòîãî æå ïðîñòðàíñòâà.
Åäèíè÷íûå âåêòîðû (îðòû)ïðîñòðàíñòâà l1 áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç ei . Èòàê, ei - âåêòîð, ó êîòîðîãî i-é12÷ëåí ñîîòâåòñòâóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâåí 1, à îñòàëüíûå íóëè. Êàæäûé âåêòîð x ∈ l1 ïðåäñòàâëÿåì â âèäå x =P∞i=1 ai · ei , ïðè÷åìP∞i=1 |ai |< ∞.Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå A èç l1 â ñåáÿ.
Òîãäà ýòîò îïåðàòîð îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðèöåé (aij )∞i,j=1 . Íîðìà îïåðàòîðà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:kAk = sup kAxk/kxk = sup kAxk = supkxk≤1Xjkxk=1|aij |.iÐàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî îãðàíè÷åííûå îïåðàòîðû, òî åñòü òàêèå, äëÿ êîòîðûõkAk = supjPi |aij |< ∞.Ïóñòü êàæäîìó t ≥ 0 ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå âåêòîð x ∈ l1 . Òîãäà çàäàíàâåêòîð-ôóíêöèÿ x(t). Âåêòîð-ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé (â òî÷êå t0 ),åñëè ïðè t → t0kx(t) − x(t0 )k → 0.Äèôôåðåíöèðóåìîñòü â òî÷êå è ïîíÿòèå èíòåãðàëà îò âåêòîð-ôóíêöèè ââîäèòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç ïðåäåë îòíîøåíèÿ è èíòåãðàëüíûå ñóììû. Ïîíÿòèåîïåðàòîð-ôóíêöèè, å¼ íåïðåðûâíîñòè, äèôôåðåíöèðóåìîñòè è èíòåãðèðóåìîñòè ââîäÿòñÿ àíàëîãè÷íî.Ðàññìîòðèì ïîíÿòèå ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè âèäà etFetF23= I + (tF ) + (tF ) /2! + (tF ) /3! + . .
. =∞X(tF )ni=0n!.Ðÿä â ïðàâîé ÷àñòè ñõîäèòñÿ ïðè ëþáîì t, ÷òî ñëåäóåò èç ñõîäèìîñòè ñëåäóþùåãî ðÿäà∞∞ nXX(tF )nt kF knkk≤= etkF k .n!n!i=0i=0Ïîëó÷àåì, ÷òîketF k ≤ etkF k .Òàêèì îáðàçîì, ïðè ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ t, s ñïðàâåäëèâîe(t+s)F = etF · esF .Îòêóäà ïðè s = −t âûòåêàåò, ÷òî îïåðàòîð etF îáðàòèì ïðè ëþáîì t.131.2Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå l1Ðàññìîòðèì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â ïðîñòðàíñòâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé l1dy= A(t)y(t) + f (t)dt(1.2.1)è ñîîòâåòñòâóþùåå îäíîðîäíîå óðàâíåíèådx= A(t)x(t),dtãäå x(t), y(t), f (t)- âåêòîð-ôóíêöèè èç R+ â l1 , à A(t) - îïåðàòîð l1 â l1 .Íàçîâåì U (t, τ ) - îïåðàòîðîì Êîøè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ãäåZU (t, τ ) = I +tZA(s1 )ds1 +τtZs1A(s2 )ds2 ds1 + · · · ,A(s1 )ττïðè÷åì ðÿä â ïðàâîé ÷àñòè ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ëþáîì êîíå÷íîì îòðåçêå èU (t, s) = U (t, τ )U (τ, s).Ïóñòü A(t), f (t) - íåïðåðûâíû, τ ≥ 0 è y∗ ∈ l1.
Òîãäà ñóùåñòâóåòåäèíñòâåííàÿ y(t), îïðåäåëåííàÿ íà [τ, ∞), òàêàÿ, ÷òî:1) y(τ ) = y∗;2) y(t) íåïðåðûâíà è äèôôåðåíöèðóåìà ïðè âñåõ t ≥ τ .Ïóñòü A(t), f (t) - íåïðåðûâíû, τ ≥ 0 è x∗, y∗ ∈ l1. Òîãäà ñóùåñòâóþò åäèíñòâåííûå x(t), y(t), îïðåäåëåííûå íà [τ, ∞), òàêèå, ÷òî:Òåîðåìà 1.Òåîðåìà 2.x(τ ) = x∗ , y(τ ) = y ∗ ,x(t) = U (t, τ )x(τ ),Z ty(t) = U (t, τ )y(τ ) +U (t, s)f (s)ds.τ(1.2.2)141.3Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ íîðìà îïåðàòîðàÏîíÿòèå ëîãàðèôìè÷åñêîé íîðìû äëÿ êîíå÷íûõ ìàòðèö áûëî ââåäåíîè, â äàëüíåéøåì, èçó÷åíî Ëîçèíñêèì (ñì. [25]).
À òàêæå îáîáùåíî íà ñëó÷àéîïåðàòîð-ôóíêöèé â [10]. Ðàññìîòðèì ñàìî ïîíÿòèå è âàæíûå îöåíêè, ñâÿçàííûå ñ íèì.Îïðåäåëåíèå 1.÷èñëîËîãàðèôìè÷åñêîé íîðìîé γ(A(t)) îïåðàòîðà A íàçûâàåòñÿkU (t + h, t)k − kU (t, t)k.h→+0hÊðîìå òîãî, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.γ(A(t)) = limÒåîðåìà 3.Ïðè âñåõ t > 0 ñóùåñòâóåò γ(A(t)), ïðè÷åìkI + hA(t)k − 1.h→+0h(1.3.3)γ(A(t)) = limÑëåäñòâèå 1.γ(A(t)) = sup ajj +jÒåîðåìà 4.Äëÿ ëþáûõ t,e−Rtss (t ≥ s ≥ 0)γ(−A(τ ))dτX|aji (t)| .i6=jâûïîëíÿåòñÿ:≤ kU (t, s)k ≤ eRtsγ(A(τ ))dτ.(1.3.4)Òåîðåìà 5.Ñâîéñòâî íåîòðèöàòåëüíîñòè: U (t, s) ≥ 0 ïðè âñåõ t ≥ s ≥ 0 - ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî aij (u) ≥ 0 ïðè âñåõ i, j òàêèõ, ÷òî i 6= j , è ëþáîì u ≥ 0.Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ïîäïðîñòðàíñòâà â l1 . Ïóñòü ìàòðèöà D îáðàçîâàíàýëåìåíòàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {di } è d = inf i≥0 di > 0.Ïóñòü l1D - ïðîñòðàíñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé z = (p0 , p1 , p2 .
. .) òàêèõ,÷òî kzk1D = kDzk1 < ∞.Òåîðåìà 6.Ïóñòü B : l1 → l1 - ëèíåéíûé îïåðàòîð. Ïóñòü B äåéñòâóåò íà âåêòîðûèç l1D , òîãäàkBkl1D = kDBD−1 kl1 ,(1.3.5)15γ(B)l1D = γ(DBD−1 )l1 .1.41.4.1(1.3.6)Ìàðêîâñêèå öåïèÎñíîâíûå ïîíÿòèÿÐàññìîòðèì ñèñòåìó S , ñïîñîáíóþ â ìîìåíò âðåìåíè t íàõîäèòüñÿ â îäíîìèç ñîñòîÿíèé ñ íîìåðàìè 0, 1, ..., N. Ìíîæåñòâî EN = {0, 1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
