Диссертация (1155075), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Установим отрицательность величины Re ξ + (λ(t)) при√√параметризации λ(t) = 2 − teiπ/6 , t ∈ (0, 4/ 3), интервала (−2i/ 3, 2). Отсюда, в силу утверждения 2.3.3, будет следовать, что Γ лежит выше указанного интервала. Положим z(s, t) := α0+ (λ(t) + (2 − λ(t))s), s ∈ (0, 1), с55тем, чтобы в дальнейшем выбрать эту кривую в качестве пути интегрирования. Предварительно отметим, что Q(z(s, t), λ(t)) ∈ eiπ/6 R+ и покажем, чтоϕ(z(s, t), λ(t)) = π/6. В самом деле,arg(z(s, t) − α1+ (λ(t))) ∈ (−π, 0),+arg(z(s, t) − α−1(λ(t))) ∈ (−π/2, π/2).Предположив, что arg(z(s, t) − α0+ (λ(t))) ∈ (−π/2, 0), получим включениеarg(Q(z(s, t), λ(t)) ∈ (−3π/2, 0), что невозможно. Следовательно, выполненоarg(z(s, t) − α0+ (λ(t))) ∈ (0, 3π/2), откуда ϕ(z(s, t), λ(t)) = π/6.
Таким образом, поскольку (Q(z(s, t), λ(t))−1/2 = e−iπ/12 (ts)−1/2 , то!Z 1+iπ/4 0dRe ξ (λ(t))e λ (t)dzp= −Re=dt2Q(z, λ(t))α0+ (λ(t))!√ Z 1−1/2sdsi t.= Re2 0 3z 2 (s, t) + 1−1Ввиду того, что arg 3z 2 (s, t) + 1∈ (0, π), то (Re ξ + (λ(t)))0 < 0, откудаRe ξ + (λ(t)) < 0, так как ξ(2) = 0.рис. 4√Покажем, что Re ξ + (λ) > 0 для λ ∈ `.
Выбирая для промежутка (−i/ 3, 1)√параметризацию z(s) = (2seiπ/6 − i)/ 3, s ∈ (0, 1), получаем включение56arg(Q(z(s)))0 ∈ (−π/6, π/6), стало быть, в силу теоремы о конечном приращении и с учетом (2.1) получаем ϕ(z(s), λ) ∈ (−π/6, π/6) для λ ∈ ` иs ∈ (Re α0+ (λ), 1). Выбирая в ξ + (λ) в качестве пути интегрирования отрезок√[α0+ (λ), 1] ⊆ [−i/ 3, 1], заключаем, что имеет место указанная знакоопределенность.Ввиду утверждения 2.3.3 величина Re ξ + (a + ib) возрастает по b при фиксированном a, значит, линия уровня Γ является графиком гладкой функции√b = f (a) и расположена между промежутком (−2i/ 3, 2) и кривой `. Какследствие, Γ пересекает R в точке λ = 2 под углом π/6 и содержится в поло√√се ib + eiπ/6 R, −2/ 3 < b < −2/3 3.Уточним оценку сверху для f (a) и ее производной.
В силу доказанно√√го выше, при b ∈ (−2/ 3, −2/3 3), в частности, при b = −0.62, у лучаib + eiπ/6 R+ и кривой Q(z(s)), существует единственная точка пересечения√λb . Для λ(t, b) = ib + teiπ/6 , t ∈ (0, 2Re λb / 3), составляя путь интегрирования в ξ + (λ(t, b)) из участка z(r, t) = α0+ (rλb + (1 − r)λ(t, b)), r ∈ (0, 1), кривойα0+ (λ(t, b)) и отрезка [α0+ (λb ), 1], получаем положительность производной!√ ZZ 1e7iπ/12 dsi t 1 r−1/2 drdRe ξ + (λ(t, b))p= Re −−,dt2 0 3z 2 (r, t) + 1Re α0+ (λb ) 2 Q(z(s)) − λ(t, b)−1поскольку в первом слагаемом arg 3z 2 (r, t) + 1∈ (0, π), а во втором имеем ϕ(z(s), λ(t, b)) ∈ (−π/6, π/6). Суммируя сказанное выше, получаем, чтоRe ξ + (λ) в Π+ положительна для λ ∈ a + if (a) + eiπ/6 R+ , a ∈ (0, 2), откуда√f 0 (a) < 1/ 3 ввиду утверждения 2.3.3.Далее зафиксируем b = −0.62 и заметим, что Re ξ + (λ(t, b)) > 0, если√t ∈ (0, 2Re λb / 3), ввиду положительности величины Re ξ + (ib).
Кроме того, Re ξ + (λ) > 0 для λ ∈ `. Для завершения доказательства покажем, что√интервал (2, −2i(2 − 3)) лежит выше интервала λ(t, b) и участка кривойQ(z(s)) при s ∈ (Re α0+ (λb ), 1). В точке a = 0.269 имеем√√√√√−0.62 + a/ 3 < −2/3 3 − a/ 3 + a3/2 (2/3)3/2 < −2(2 − 3) + a(2 − 3).57Из первого неравенства следует, что Re λb ∈ (0.269, 2). Поскольку кривая `является графиком выпуклой функции, то из второго неравенства следует,что Q((α0+ (λb ), 1)) лежит ниже луча 2 − eiπ/12 R+ . Таким образом, отрезок[−0.62i, λb ] также лежит ниже указанного луча. Доказательство окончено.Отметим, что в силу утверждения 2.3.3, кривая Γ пересекает мнимую ось вточке iµ.
Суммируя результаты настоящего параграфа, устанавливаем справедливость утверждения 1.2.4Локализация собственных значенийЕсли известна дополнительная информация о расположении Ω, то, с использованием результатов §2.3, формула (2.3) для характеристического определителя упрощается. Введем в рассмотрение множестваΩ1 = Ω1 (δ, M ) := {a + ib ∈ Π+ : a > δ, b > M, |a + ib − 2| > δ/2},√Ω2 = Ω2 (δ) := {a + ib ∈ Π+ : a ∈ [0, 2 − δ], b ∈ [−2/3 3 + δ, 0]}.Утверждение 2.4.1.
Для любого δ > 0 и M < 0 существуют постоянные εb6 = εb6 (δ, M ) > 0 и C = C(δ, M ) > 0, такие что при ε ∈ (0, εb6 ) иλ ∈ Ω1 характеристический определитель ∆+ (λ) имеет видexp ε−1/2 ζ + (λ) 1 + Φ5 (λ) − i exp 2ε−1/2 ξ + (λ) 1 + Φ6 (λ) ,(2.5)где | Φj (λ)| 6 Cε1/2 , j = 5, 6.Доказательство. Для Ω1 ввиду предложения 2.3.2 имеем Re η + (λ) > 0 иRe ζ + (λ) > 0. Следовательно, согласно предложению 1 получаем указаннуюформулу. Доказательство окончено.Множество Ω2 не удовлетворяет условиям предложения 2.2.5. Продолжим√функции αk+ (λ), k = −1, 0 на промежуток (−2i/3 3, 0) справа и получимформулу для соответствующего характеристического определителя.58Утверждение 2.4.2. Для любого δ > 0 существуют εb7 = εb7 (δ) > 0 иC = C(δ) > 0, такие что при ε ∈ (0, εb7 ) и λ ∈ Ω2 характеристическийeопределитель ∆(λ)имеет видexp ε−1/2 ζ + (λ) 1 + Φ7 (λ) − exp − ε−1/2 ζ + (λ) 1 + Φ8 (λ) −−i exp ε−1/2 (ζ + (λ) + 2ξ + (λ)) 1 + Φ9 (λ) ,где | Φj (λ)| 6 Cε1/2 , j = 7, 8, 9.√Доказательство.
Поскольку Re Q(z) < 0 при Re z < 0 и Im z ∈ [−1/ 3, 0),√а кривая Q(−i/ 3 + R+ ) является графиком убывающей функции, то дляλ ∈ Ω2 справедливы (используемые ниже) неравенства√+Im α−1(λ) < −1/ 3 < Im α0+ (λ).Наряду с каноническими для S(z0 , z; λ) путями γb3 := γb1 и γ3 := γ2 заметим, что путь√√√√γe3 := [h−1 , Re h−1 − i/ 3] ∪ [Re h−1 − i/ 3, Re h0 − i/ 3] ∪ [Re h0 − i/ 3, h0 ]√является каноническим.
В самом деле, при z = x − i/ 3, |x| 6 Re h0 , имеe 0 , z; λ) возрастает вдольe λ) ∈ (−π, 0), и, стало быть, величина Re S(zем ϕ(z,√√отрезка [Re h−1 −i/ 3, Re h0 −i/ 3] . Ввиду каноничности γ2 и γb1 , вещественe 0 , z; λ) изменяется монотонно вдоль ломаной γe3 . При λ ∈ Ω2ная часть Re S(z+область, ограниченная γ3 , γb3 , γe3 , содержит α0+ (λ), не содержит α±1(λ), и,√поскольку Ω2 отделено от точек 2 и −2i/3 3, имеемr00 := min inf dist(αk+ (λ), γb1 ∪ γ2 ∪ γe3 ) > 0,k=±1,0 λ∈Ω2l00 := sup [|γb1 | + |γ2 | + |γe3 |] < ∞λ∈Ω2и выполнено условие ρ(Ω2 ) < ∞, кроме того Re S(α0+ (λ), z0 ; λ) < 0.Применяя предложения 1.1.1 и 1.3.1, построим для уравнения (1) две ФСРY± (z, λ) и Yb± (z, λ) с асимптотиками (1.2)-(1.3) на γb1 и γ2 , такие что приz ∈ γb1 ∪ γ2 и λ ∈ Ω2 справедливы соотношения (1.4)-(1.5) с α(λ) = α0+ (λ),59а соответствующий (нормированый) характеристический определитель дляλ ∈ Ω2 имеет видnono−1/2 +−1/2 +e∆(λ) = exp εζ (λ) 1 + Φ7 (λ) − exp − εζ (λ) 1 + Φ8 (λ) −no − i exp ε−1/2 2ξ + (λ) + ζ + (λ)1 + Φ9 (λ) ,√где |Φj (λ)| 6 C(r00 , l00 ) ε, если ε > 0 достаточно мало, что завершает доказательство утверждения.рис.
5Доказательство теоремы 1. В силу утверждения 1, приλ ∈ Ω(1) (δ, M ) := a + ib : a ∈ [δ, 2], M 6 b 6 f (a) − δ/8 ⊂ Ω1 (δ, M )величина Re ξ + (λ) < 0 отделена от нуля и, стало быть, согласно утверждению 2.4.1, характеристический определитель√ ∆+ (λ) = exp ε−1/2 ζ + (λ) 1 + O( ε)не обращается в нуль в Ω(1) (δ, M ) если ε > 0 достаточно мало. Аналогичнона множестве√Ω(2) (δ) := λ = a + ib : a ∈ [δ, 2 − δ/2], f (a) + δ/8 6 b 6 0 ⊂ Ω1 (δ, −2/ 3) ,60где отделена от нуля величина Re ξ + (λ) > 0, имеет место асимптотическаяформула√ ∆+ (λ) = exp ε−1/2 2ξ + (λ) + ζ + (λ) − i + O( ε) ,и, таким образом, ∆(λ) 6= 0 в Ω(2) (δ) при достаточно малых ε > 0.
Далее,согласно утверждению 2.4.1, дляλ ∈ Σ(1) (δ) := a + ib : δ < a < 2 − δ/2, | b − f (a)| < δ/8 ⊂ Π+ ,при малых ε > 0 справедливо представлениеexp ε−1/2 − ζ + (λ) − ξ + (λ) + iπ/4 ∆+ (λ) == exp − ε−1/2 ξ + (λ) + iπ/4 1 + Φ10 (λ) ++ exp ε−1/2 ξ + (λ) − iπ/4 1 + Φ11 (λ) ,где | Φj (λ)| 6 C(δ)ε1/2 . Функция ξ + (λ) аналитична в полуполосе Π+ , причем ∂Re ξ + (a+ib)/∂b > 0 согласно утверждению 1, а соответствующая линияуровня Re ξ + (a + ib) = 0 представляет собой график Γ функции b = f (a).Применяя в этой ситуации предложение 1.4.1, получаем указанную в формулировке локализацию принадлежащих Σ(1) (δ) собственных значений задачи(1)(1)-(2), совпадающих с нулями ∆+ (λ). При этом точки λn ∈ Γ являютсянулями функции cos iε−1/2 ξ + (λ)+π/4 , занумерованными согласно правилуквантования1/2ξ + (λ(1))=iεπn−1/4, n ∈ Z.nДля завершения доказательства теоремы 1 остается заметить, чтоλ ∈ Π : Re λ > δ, dist(λ, Γ) > δ, Im λ > M ⊂ Ω(1) (δ, M ) ∪ Ω(2) (δ) ,а расположенные в области λ ∈ Π : Re λ > δ, dist(λ, Γ) < δ, |λ − 2| > δнули ∆(λ) при достаточно малых ε > 0 принадлежат множеству Σ(1) (δ).Доказательство теоремы 2.
Для√λ ∈ a + ib ∈ Π : 0 6 a < δ, b > −2/3 3 + δ ⊂ Ω261eсогласно утверждению 2.4.2, характеристический определитель ∆(λ)имеетвидexp ε−1/2 ζ + (λ) 1 + Φ7 (λ) − exp − ε−1/2 ζ + (λ) 1 + Φ8 (λ) −−i exp 2ε−1/2 (ζ + (λ) + ξ + (λ)) 1 + Φ9 (λ) ,В силу предложения 2.3.2, имеем Re ζ + (λ) > 0 , а ввиду предложения 2.3.4,множество Ω2 лежит выше δ/3-окрестности Γ, откуда Re ξ + (λ) > 0, сталобыть, первое и второе слагаемое здесь подчинены третьему.
Таким образом,указанное множество не содержит собственных значений задачи (1)-(2) прималых ε > 0, так что, ввиду симметрии спектра относительно мнимой оси,это доказывает первую часть теоремы.√Учитывая, что Re ξ + (ib) > 0 при µ < b < −2/3 3 в силу предложения2.3.4, положимg(δ) :=min √inf{| a|/2 : Re ξ + (a + ib) = 0} .b∈[µ+δ,−2/3 3−δ]Тогда дляλ ∈ Σ(2) (δ) :=√a + ib : µ + δ < b < −2/3 3 − δ, | a| < g(δ)+величины Re S(α0+ (λ), 1; λ) = Re ξ + (λ) и Re S(α−1(λ), −1; λ) = Re ξ + (−λ)положительны и равномерно отделены от нуля. Как следствие этого, нулихарактеристического определителя ∆+ (λ), который, согласно предложению1, имеет видo∆ (λ) = exp ε+×hnoi−1/2+× exp − 2εS(α0 (λ), 1) 1 + Φ1 (λ) − i 1 + Φ3 (λ) −no−1/2++− exp εS(α−1 (λ), 1) + S(α−1 (λ), −1) ×hnoi−1/2+× exp − 2εS(α−1 (λ), −1) 1 + Φ2 (λ) + i 1 + Φ4 (λ) ,+n−1/2S(α0+ (λ), 1)S(α0+ (λ), −1)62совпадают в Σ(2) (δ) с нулями аналитической функцииn−1/2i exp − εS(α0+ (λ), 1)+o+S(α−1(λ), −1)∆+ (λ) =nono−1/2 +−1/2 += exp εη (λ) 1 + Φ10 (λ) + exp − εη (λ) 1 + Φ11 (λ) ,где | Φj (λ)| 6 C(δ)ε1/2 , j = 10, 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
