Диссертация (1155075), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Аналитичность полученного определителя следует из построения приближений. Доказательство окончено.Введем обозначения для следующих функций:Z −1−−iπ/4ξ (λ) := S(α−1 (λ), −1; λ) = eqQ(z) − λ dz,−α−1(λ)−η − (λ) := S(α−1(λ), α0− (λ); λ) = eiπ/4−iπ/4ζ (λ) := S(1, −1; λ) = eZZα0− (λ) qQ(z) − λ dz,−α−1(λ)−1 qQ(z) − λ dz.1В дальнейшем эти функции играют важную роль при исследовании нулейхарактеристического определителя. Таким образом, доказано предложение 2.3.3Линии уровня аналитических функцийДалее мы будем систематически использовать тот факт, что линии уров√ня Re Q(x + iy) = a при a ∈ (0, 2/3 3) в левой полуплоскости задаютсяp−уравнениями y = x ± i (Q(x) − a)/3x, x ∈ (−∞, α−1(a)) ∪ (α0− (a), 0).
Ввиpду однолистности Q(z) в третьем квадранте кривая x − i (Q(x) − a)/3x,77−(a)), взаимно-однозначно отображается на луч a + iR− , сталоx ∈ (−∞, α−1быть, величина Im Q(z) возрастает вдоль указанной кривой. Аналогично криpвая x + i (Q(x) − a)/3x, x ∈ (α0− (a), 0), взаимно однозначно отображаетсяна луч a + iR− , вдоль нее величина Im Q(z) убывает.Предложение 3.3.1. Величины Re ξ − (λ) и Re η − (λ), λ = a + ib, воз√растают по b < 0 при фиксированном a ∈ [0, 2/3 3] таким образом, что∂Re ξ − (λ)/∂b > 0 и ∂Re η − (λ)/∂b > 0.
Функции Re (ξ − (λ)−η − (λ)) и Re ζ − (λ),где λ = a + ib ∈ Π+ , возрастают по a при фиксированном b так, что∂Re ξ − (λ) − η − (λ) /∂a > 0 и ∂Re ζ − (λ)/∂a > 0, причем Re ζ − (ib) = 0,b < 0.Доказательство. Установим для λ = a + ib ∈ Π+ положительную знакоопределенность функций−−∂Re η (λ)= Re∂a∂Re η − (λ)= Im∂beiπ/4α0− (λ)!dz,−2 α−1Q(z, λ)(λ)!iπ/4 Z α0− (λ)dzep.−2 α−1Q(z, λ)(λ)Zp−−Предварительно отметим, что Re α−1(λ) 6 α−1(a) и α0− (a) 6 Re α0− (λ), ввиду−(3.1) и в силу неравенств Re Q(x + iy) > Re Q(x) > a для x ∈ (α−1(a), α0− (a)),y ∈ R. При λ ∈ Π+ будем интегрировать функцию eiπ/4 (Q(z, λ))−1/2 вдольp−−−кривой x − i (Q(x) − a)/3x, x ∈ (Re α−1(λ), α−1(a)), отрезка [α−1(a)), α0− (a)]pи кривой x+i (Q(x) − a)/3x, x ∈ (α0− (a), Re α0− (λ)).
При соответствующих z−arg(z − α−1(λ)) ∈ (0, π/2),arg(z − α0− (λ)) ∈ (−π, −π/2),arg(z − α1− (λ)) ∈ (π/2, 3π/2),значит, вдоль участков кривых имеем ψ(z, λ) = π/2, а на отрезке выполнено Re Q(z, λ) > 0, откуда ψ(z, λ) ∈ (−π/2, π/2). Возвращаясь к функцииRe η − (λ), получаем положительность указанных производных.78Таким же образом устанавливается знакоопределенность функций(Z −!Z −1 )α−1 (a)∂Re ξ − (λ)eiπ/4dzp= Im+> 0,−−∂b2Q(z) − λα−1 (λ)α−1 (a)(Z −!Z α0− (λ) )α0 (a)∂Re ξ − (λ) − η − (λ)dzeiπ/4p+= Re> 0,∂a2Q(z) − λ−1α0− (a)!Zeiπ/4 1∂Re ζ − (λ)dzp= Re> 0.∂a2 −1 Q(z) − λДля завершения доказательства остается заметить, что при λ ∈ Π имеемζ − (−λ) = −ζ(λ), откуда Re ζ − (ib) = 0, b < 0.Отметим, что производная (ξ − (λ))0 , λ ∈ Π+ , допускает представление√ Z 1−−iπ/4dξ (λ) eλds√ ,=2dλ20 (3(z(s, λ)) − 1) s√−где z(s, λ) = α−1(λ(1 − s)), s ∈ (0, 1), и Re λ > 0.
В самом деле, ввиду(3.1)-(3.2) справедливо включение ψ(z(s, λ), λ) ∈ (π/2, π), откуда получаем,√что eiπ/4 λQ−1/2 (z(s, λ), λ) = e−iπ/4 λs−1/2 и, выбирая z(s, λ) в качестве путиинтегрирования, получаем указанное представление.Для исследования нуль-линий уровня вещественных частей эллиптическихинтегралов Re ξ − (λ) и Re η − (λ) вводятся в рассмотрение кривые`0 := {Q(z0 (s)), s > 0} ∩ Π+`± := {Q(z± (s)), s > 0} ∩ Π+ ,√√где z0 (s) := −1 + s − is(1 + 2s/3)/ 3 и z± (s) := −1/ 3 ± s ± is tg π/8.Непосредственной проверкой устанавливаетсяЛемма 3.3.2.
Кривые `± являются графиками возрастающих функций,причем√arg(λ − 2/3 3) ∈ (−3π/4, −2π/3), λ ∈ `− ,√arg(λ − 2/3 3) ∈ (−5π/6, −3π/4), λ ∈ `+ .79Кривая `0 в полосе Re λ ∈ (0, 0.283) представляет собой график убывающейфункции и расположена между лучами e−iπ/9 R+ и e−iπ/6 R+ . Точки пересечения `± с `0 и лучом e−iπ/6 R+ лежат в прямоугольнике{0.223 < Re λ < 0.283,−0.1475 < Im λ < −0.104}.С учетом предложения 3.3.1 и леммы 3.3.2 покажем, что линии уровняRe ξ − (λ) = 0 и Re η − (λ) = 0 являются графиками непрерывно дифференцируемых функций b = b(a), а линия уровня Re ξ − (λ) = Re η − (λ) – графикомнепрерывно дифференцируемой функции a = a(b). Для этого доказываетсяЛемма 3.3.3. Имеют место следующие знакоопределенности:а) величина Re η − (λ) положительна для λ ∈ `+ и отрицательна приλ ∈ `− ;б) функция Re ξ − (λ) в Π+ отрицательна при λ ∈ e−iπ/6 R+ и положительна для λ ∈ `0 ;√в) разность Re (ξ − (a+ib)−η − (a+ib)) положительна для b < 0, a = 2/3 3,а при a = 0 убывает по b < 0, обращаясь в нуль в точке b = ν, гдеν ∈ (−0.464, −0.425).Доказательство.а) Покажем, что при λ ∈ `+ величина√√−Re η − (λ) = Re (S(α−1(λ), −1/ 3; λ) + S(−1/ 3, α0− (λ); λ))√положительна.
Положим Φ+ (s) := Q(z+ (s)) и p+ := Re α0− (λ) + 1/ 3. Выберем отрезок z+ (tp+ ), t ∈ [0, 1], в качестве пути интегрирования для√S(−1/ 3, α0− (λ); λ), тогда ψ(z+ (tp+ ), λ) ∈ (−π/2, π) ввиду (3.1)-(3.2). Выносяpмножитель Φ00+ (0)p2+ (t − 1) ∈ eiπ/8 R+ , получаем√S(−1/ 3, α0− (λ); λ) =sZ 1qΦ+ (tp+ ) − Φ+ (p+ ) 0= eiπ/4Φ00+ (0)p2+ (t − 1)z (0)p+ dt =Φ00+ (0)p2+ (t − 1) +080=p2+ eiπ/4 (121qZs√2 3(1 − t)+ itg π/8)0(0)(t2 + t + 1)t + 1 Φ000+ +p+ dt,26Φ00+ (0)причем аргумент подынтегрального выражения совпадает с величинойψ(z+ (tp+ ), λ) − π/4 ∈ (−3π/4, 3π/4). Ввиду знакоопределенности√00Im Φ000(0)/Φ(0)=−3tg (π/8) < 0 имеем ψ(z+ (tp+ ), λ) − π/4 ∈ (−3π/4, 0),++√и, стало быть, Re S(−1/ 3, α0− (λ); λ) > 0.√−(λ), −1/ 3; λ) в качестве пути интегрирования выберем ломаДля S(α−1√√−−(λ), ze] ∪ [ze, −1/ 3], где ze := z− (|Re α−1(λ) + 1/ 3|).
Ввиду леммыную [α−13.3.2 и монотонности величины Im Q(z) вдоль линий уровня Re Q(z) = a√−кривая α−1(`+ ) расположена выше z− (R+ ), и для z ∈ [ze, −1/ 3] ⊂ z− (R+ )−−(λ), ze) ⊂ α−1(λ) + iR− выполнеимеем ψ(z, λ) ∈ (−π, π/4). В случае z ∈ (α−1но Re (Q(z) − λ) > 0, откуда ψ(z, λ) ∈ (−π/2, π/2). Таким образом, величина√−Re S(α−1(λ), −1/ 3; λ) положительна, и, стало быть, Re η − (λ) > 0, λ ∈ `+ .Аналогично устанавливаем, что Re η − (λ) < 0, λ ∈ `− .б) Для участка луча λ(t) = e−iπ/6 t, t ∈ (0, 4/9), имеем!√ Z 1−−1/2dRe ξ (λ(t))sdsi t= Re −,dt2 0 3z 2 (s, λ(t)) − 10где arg 3z 2 (s, λ(t)) − 1 ∈ (0, π), откуда Re ξ − (λ(t)) < 0, и посколькуξ − (0) = 0, то Re ξ − (λ(t)) < 0.Покажем, что Re ξ − (λ) > 0 в случае λ ∈ `0 .
Обозначим Φ0 (s) := Q(z0 (s))−и p0 := Re α−1(λ) + 1, тогда−ξ (λ) = −eiπ/4Zp0qΦ0 (s) − λ z00 (s) ds =0= −eiπ/4Z1qΦ0 (tp0 ) − Φ0 (p0 ) z00 (tp0 ) p0 dt,0где ψ(z0 (tp0 ), λ) ∈ (0, 2π), если t ∈ (0, 1), ввиду (3.1)-(3.2). Имеемarg (z00 (tp0 )/z00 (0)) ∈ eiθ R+ , θ ∈ (−π/3, 0), и зафиксируем такую ветвь корня,81pчто eiπ/4 z00 (0) p0 Φ00 (0)(t − 1) ∈ iR+ . Аргумент выражения6(k)2z000 (0)tp0 2Φ0 (tp0 ) − Φ0 (p0 ) z00 (tp0 ) 2 X Φ0 (0)p0k−1 (tk − 1)1+=0 (0)(t − 1)Φ00 (0)p0 (t − 1)z00 (0)k!Φz00 (0)0k=1совпадает с ψ(z0 (tp0 ), λ) − 5π/6 + arg (z00 (tp0 )/z00 (0))2 ∈ (−3π/2, 7π/6).
Оценивая коэффициенты при степенях p0 , получаем, что мнимая часть указанноговыражения положительна, стало быть, его аргумент принадлежит интервалу(0, π), и, таким образом, Re ξ − (λ) > 0.√в) Для λ ∈ 2/3 3 + iR− выполнено Re (ξ − (λ) − η − (λ)) > 0, так какRe Q(z, λ) 6 0 и Im Q(z, λ) > 0, при z ∈ (α0− (λ), Re α0− (λ)] ∪ [Re α0− (λ), −1], и,стало быть, ψ(z, λ) ∈ [π/2, π) ввиду (3.1) - (3.2).
Если λ = ib, b < 0, то в силулеммы 3.1.1 и симметрии Q(−z) = −Q(z) имеем α0− (ib) ∈ iR+ , кроме того,√Q(z) ∈ (ib, 0]∪[0, 2/3 3] при z ∈ (α0− (ib), 0]∪[−1, 0], откуда ψ(z, ib) ∈ (0, π/2],и, следовательно,∂Re (ξ − (ib) − η − (ib))= −Im∂beiπ/42(Z0Zα0− (ib)+−10)dzpQ(z) − ib!!< 0,Re S(α0− (ib), 0; ib) > 0.Re S(−1, 0; ib) > 0,Оценивая величины Re S(−1, 0; ib) и Re S(α0− (ib), 0; ib), установим, чтоRe S(α0− (−0.464i), −1; −0.464i) > 0 > Re S(α0− (−0.425i), −1; −0.425i),стало быть, ν ∈ (−0.464, −0.425).При λ = ib, b < 0, представим указанные величины в видеsZ 1qZ 1 p 2b + (s − s3 )2 − |b|i(Q(−s) − ib) ds =ds;Re S(−1, 0; ib) = Re200!Z |α0− (ib)| qRe S(α0− (ib), 0; ib) = − Re eiπ/4+iπ/2Q(is) − ib ds =0Z= Re|α0− (ib)| q|b| − s3 − s ds.082С учетом того, что α0− (−0.464i) = 2i/5 и α0− (−219i/512) = 3i/8, причем219/512 > 0.425, имеемRe S(α0− (−0.464i), 0; −0.464i) >ZZ 0.3√>0.464 − 1.09s ds +00.4 √0.464 − 1.16s ds > 0.184,0.3Re S(α0− (−0.425i), 0; −0.425i) <ZZ 1/3√0.425 − s ds +<3/8 q0.425 − 1/27 − s ds < 0.176.1/30Далее заметим, что при s ∈ (0, 1) ввиду включения (s − s3 )2 ∈ (0, 4/27)справедливы неравенстваqb2 + (s − s3 )2 < |b| + (s − s3 )2 /2|b|,qq27b2 + (s − s3 )2 > |b| + (s − s3 )2b2 + 4/27 − |b| .4Получаем оценкиZ 1(s − s3 ) ds1√Re S(−1, 0; −0.464i) <= √< 0.184,2 0.4648 0.4640s pZ27( 0.4252 + 4/27 − b) 1Re S(−1, 0; −0.425i) >(s − s3 ) ds > 0.176.80Следовательно, имеет место указанная локализация точки iν.Таким образом, линия уровня Re η − (λ) = 0 является графиком возрастающей функции b = f1 (a) и заключена между кривыми `± .
Линия уровня Re ξ − (λ) = Re η − (λ) является графиком непрерывно дифференцируемойфункции a = f2 (b) и выходит из точки iν, ν ∈ (−0.464, −0.425), а линияуровня Re ξ − (λ) = 0 является в Π+ графиком функции b = f3 (a) и лежитвыше луча e−iπ/6 R+ , и ниже кривой `0 .Лемма 3.3.4. Существует единственная точка Λ = ρ + iµ ∈ Π+ , такаячто f1 (ρ) = f3 (ρ) = µ. При этом Λ содержится в прямоугольнике{0.223 < Re λ < 0.283, −0.1475 < Im λ < −0.104}83Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
