Диссертация (1155075), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Таким образом, согласно предложению 3.4.1, при малых ε > 0 нули ∆− (λ) в Σ(1) (δ) совпадаютс нулями аналитической функцииno−1/2−−exp − εζ (λ) + η (λ) ∆(λ) =nono−1/2 −−1/2 −bb= exp − εη (λ) 1 + Ψ1 (λ) + exp εη (λ) 1 + Ψ2 (λ) ,b j (λ)| 6 C(δ)ε1/2 . Функция η − (λ) аналитична в Π+ , при этом в силугде | Ψутверждения 2 имеем ∂Re η − (a + ib)/∂b > 0, а соответствующая линия уровня Re η − (λ) = 0 является графиком функции b = f1 (a).
Применяя в этойситуации предложение 1.4.1, приходим к заключению, что при некоторомC (3) (δ) > 0 и достаточно малых ε > 0 все находящиеся в Σ(1) (δ) собственные значения задачи (1)-(2), совпадающие с нулями ∆(λ), расположены в(3)C (3) (δ)ε-окрестностях точек λn ∈ Γ1 , определяемых соотношениями1/2η − (λ(3))=iεπn+1/2, n ∈ Z.n90Для локализации оставшихся собственных значений в правой полуплоскости, при δ > 0 положим(2)(2)g1 (δ) := min{f2−1 (δ/4), ν + δ/2}, g2 (δ) := max{f2−1 (ρ − δ/4), µ − δ/2},(3)(3)g1 (δ) := min{f3−1 (−δ/4), δ/2}, g2 (δ) := max{f3−1 (µ + δ/4), ρ − δ/2},где f2−1 (a) ∈ (ν, µ), a ∈ (0, ρ), а f3−1 (b) ∈ (0, ρ), b ∈ (µ, 0), и введем врассмотрение множестваno(2)(2)(2)(2)Σ (δ) := a + ib : g1 (δ) < b < g2 (δ), | a − f2 (b)| < g3 (δ) ,no(3)(3)(3)(3)Σ (δ) := a + ib : g1 (δ) < a < g2 (δ), | b − f3 (a)| < g3 (δ) .Аналогично рассмотренному выше случаю, при достаточно малых ε > 0нули ∆(λ) в областиλ ∈ Π+ : dist(λ, Γ2 ) < δ, dist(λ, Γ1 ∪ Γ3 ) > δ, | λ − iν| > δ⊂⊂ Ω(2) (δ) ∪ Ω(3) (δ) ∪ Σ(2) (δ) ,могут быть расположены лишь в Σ(2) (δ).
Поскольку Σ(2) (δ) лежит ниже[iµ, Λ] то согласно утверждению 2, для λ ∈ Σ(2) (δ) величина Re ξ − (λ) < 0отделена от нуля и, следовательно, в силу предложения 3.4.1, при достаточно малых ε > 0 нули ∆(λ) в Σ(2) (δ) совпадают с нулями аналитическойфункцииno−1/2−−−exp εξ (λ) − η (λ) − ζ (λ) + iπ/4 ∆(λ) =no−1/2−−b= exp εξ (λ) − η (λ) + iπ/4 1 + Ψ3 (λ) +nob 4 (λ) ,+ exp ε−1/2 η − (λ) − ξ − (λ) − iπ/4 1 + Ψb j (λ)| 6 C(δ)ε1/2 .
Переходя здесь к переменной iλ, применим предпричем | Ψложение 1.4.1 для локализации нулей ∆(λ), расположенных в Σ(2) (δ). В результате приходим к заключению, что собственные значения задачи (1)-(2)(4)в рассматриваемой области находятся в окрестностях точек λn ∈ Γ2 , кото91рые являются корнями уравнения tg iε−1/2 (η − (λ) − ξ − (λ)) = 1 и задаются(4)(4)правилами квантования η − (λn ) − ξ − (λn ) = iε1/2 π(n − 1/4), n ∈ Z.Доказательство теоремы 4. При достаточно малых ε > 0 нули ∆(λ) вλ ∈ Π+ : dist(λ, Γ3 ) < δ, dist(λ, Γ1 ∪ Γ2 ) > δ, | λ| > δ⊂⊂ Ω(1) (δ) ∪ Ω(2) (δ) ∪ Σ(3) (δ) ,b 1 , слемогут принадлежать лишь Σ(3) (δ). Кривая Γ3 расположена выше Γдовательно, согласно утверждению 2, для λ ∈ Σ(3) (δ), лежащих выше либона Γ3 , величина Re η − (λ) > 0 отделена от нуля. Поскольку Γ3 расположенаb 2 , то для λ ∈ Σ(3) (δ), лежащих ниже либо на кривой Γ3 , отделеналевее Γот нуля величина Re (ξ − (λ) − η − (λ)) < 0 .
Стало быть, в силу предложения3.4.1, нули ∆(λ) в Σ(3) (δ) при достаточно малых ε > 0 совпадают с нулямифункцииno−1/2−−−exp iπ/4 − εζ (λ) + 2η (λ) − ξ (λ) ∆− (λ) =nono−1/2 −−1/2 −bb= exp εξ (λ)+iπ/4 1+Ψ5 (λ) + exp −εξ (λ)−iπ/4 1+Ψ6 (λ) ,b j (λ)| 6 C(δ)ε1/2 . Применение в этой ситуации предложения 1.4.1причем | Ψустанавливает указанную в формулировке теоремы локализацию собствен(5)ных значений задачи (1)-(2) вблизи точек λn , которые определяются из соотношенийξ−(λ(5)n )= iε1/2π n + 1/4 , n ∈ Z.92ЗаключениеВ диссертации рассмотрена задача локализации спектра сингулярно возмущенного оператора.
Разработан подход к изучению распределения собственных значений, который был применен к двум модельным потенциалам.Разработанный метод локализации собственных значений краевой задачиШтурма-Лиувилля для уравнения с малым параметром ε > 0 при второй производной на базе формул связи решений с равномерными по спектральномупараметру оценками остатков позволяет установить, что в случае модельногомонотонного потенциала Q(z) = z 3 + z предельное для собственных значений√множество состоит из луча −2i/3 3 + iR− и двух симметричных относитель√но iR боковых ребер, пересекающих мнимую ось в точке iµ, µ < −2/3 3.Обнаружено, что боковые ребра являются графиками непрерывно дифференцируемых функций, получены оценки для этих функций и их производных.
При малых ε получены правила квантования типа Бора-ЗоммерфельдаМаслова для собственных значений, отделенных от вершин графа. В случаемодельного немонотонного потенциала Q(z) = z 3 − z предельный спектральный комплекс симметричен относительно мнимой оси и представляет собойграф, содержащий простой цикл. В правой полуплоскости комплекс состо√ит из трех ребер, выходящих из точек 0, 2/3 3, iν, ν < 0. Ребра являютсяграфиками непрерывно дифференцируемых монотонных функций, и имеютединственную общую точку Λ.
Для собственных значений при малых ε получены локализационные формулы.Полученные результаты непосредственно распространяются на однопара93метрическое семейство Qκ (z) = 2κz 3 + (1 − κ)z, κ ∈ [−1, 1]. Разработанныйв настоящей диссертации подход позволяет исследовать потенциалы болеевысоких степеней, а также улучшать локализационные формулы для спектральных кривых.94Литература[1] Асланян А.Г., Лидский В.Б. Распределение собственных частот тонкихупругих оболочек – М.: Наука, 1974. 156 с.[2] Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1968.
460 с.[3] Дженкинс Дж. Однолистные функции и конформные отображения. – М.:Издательство иностранной литературы, 1962. 265 с.[4] Дикий Л.А. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы. –Л.: Гидрометеоиздат, 1976. 108 с.[5] Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Об асимптотике собственных значений для несамосопряженных краевых задач // Журн. вычисл. матем.и матем. физ., 1964. – Т.4, вып. 2. – С.267-277.[6] Дородницын А.А.
Асимптотические законы распределения собственныхзначений для некоторых особых видов дифференциальных уравненийвторого порядка // УМН, 1952. – Т.7, вып.6. – С.3-96.[7] Есина А.И., Шафаревич А.И. Условия квантования на римановых поверхностях и квазиклассический спектр оператора Шредингера с комплексным потенциалом // Матем. заметки, 2010. – Т.88, №2. – С.229-248.[8] Като Т. Теория возмущений линейных операторов.
– М.: Мир, 1972. 740с.95[9] МасловВ.П.Определьномповедениинекоторыхквантово-механических величин // Докл. АН СССР, 1954. – Т.94, №4. –С.623-626.[10] Маслов В. П.Асимптотические методы и теория возмущений. – М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 312 с.[11] Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. – М.: Наука,1969. 528 с.[12] Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции – М.: Наука, 1990. 528 с.[13] Повзнер А.Я. Константы Стокса для уравнения Шредингера с полиномиальным потенциалом // ТМФ, 1982.
– Т.51, №1. – С.54-72.[14] Степин С.А. Несамосопряженные сингулярные возмущения: модель перехода от дискретного спектра к непрерывному // УМН, 1995. – Т.50,вып.6. – С.219-220.[15] Степин С. А., Гидродинамическая задача Рэлея: теорема разложения пособственным функциям и устойчивость плоскопараллельных течений //Изв. РАН. Сер. матем., 1996. – Т. 60, №6.
– С.201-221.[16] Степин С.А. Несамосопряженные сингулярное возмущения и спектральные свойства краевой задачи Орра-Зоммерфельда // Матем. сб., 1997. –Т.188, №1. – С.129-146.[17] Степин С. А. Модель перехода от дискретного спектра к непрерывному всингулярной теории возмущений // ФПМ, 1997. – Т.3, №4. – С. 1199-1227.[18] Степин С.А., Аржанов А.А. Квазиклассические спектральные асимптотики и явление Стокса для уравнения Вебера// Докл.
РАН, 2001. –Т.378, №1. – С.18-21.[19] Степин С.А., Аржанов А.А. О локализации спектра в одной задаче сингулярной теории возмущений // УМН, 2002. – Т.57, №3. – С.161-162.96[20] Степин С.А., Титов В.А. О концентрации спектра в модельной задачесингулярной теории возмущений // Докл. РАН, 2007. – Т.413, №1. –С.27-30.[21] Степин С.А., Титов В.А. О возмущении кратного собственного значения. // УМН, 2005. – Т.60, №1. – С.155-156.[22] Туманов С.
Н., Шкаликов А. А. Предельный спектральный граф в квазиклассическом приближении для задачи Штурма-Лиувилля с комплексным полиномиальным потенциалом // Докл. РАН, 2015. – Т. 465, №6. –С. 660-664.[23] Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенныхдифференциальных уравнений.
– М.: Наука, 1983. 357 с.[24] Федорюк М.В. Асимптотика собственных значений и собственных функций оператора Штурма-Лиувилля с комплекснозначным потенциаломполиномом // Дифференц. уравнения, 1972. – Т.8, №5. – С.811-816.[25] Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.:Книжный дом “Либроком”, 2009. 448 с.[26] Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ).
– М.:Мир, 1965. 237 с.[27] Bender CM., Boettcher S. Real spectra in non-Hermitian Hamiltonianshaving PT symmetry //Phys. Rev. Lett., 1998. – 80. – P. 5243–5246.[28] Bender C.M., Jones H.F. WKB analysis of PT-symmetric Sturm-Liouvilleproblems // J. Physics A, 2012. – V.45, №44.[29] Bender C.M., Wu T.T. Anharmonic oscillator // Phys. Rev., 1969, V.184,P.1231-1260.[30] Birkhoff G.D. Quantum mechanics and asymptotic series // Bull.
Amer.Math. Soc., 1933.– V.39., N10. – P.681-700.97[31] Brillouin L. Remarques sur la mécanique ondulatoire // J. Phys. Radium,1926. – V.7., N12. – P. 353- 368[32] Drazin P.G., Reid W.H. Hydrodynamic stability. – Cambridge: CambridgeUniversity Press, 2004. 605 p.[33] Esina A.I., Shafarevich A.I.Analogs of Bohr-Sommerfeld-Maslovquantization conditions on Riemann surfaces and spectral series of nonselfadjoint operators // Russ. J. Math. Phys., 2013. – V.20, №2. – P.172-181.[34] Esina A.I., Shafarevich A.I.Semiclassical asymptotics of eigenvalues fornon-selfadjoint operators and quantization conditions on Riemann surfaces //Acta Polytechnica, 2014. – V.54, №2. – P.101-105.[35] Farrell B.F. Optimal excitation of perturbations in viscous shear flow //Phys. Fluids, 1988.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
