Диссертация (1155075), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Пересечение указанных линий уровня непусто, так как√√f1 (2/3 3) = f3 (0) = 0, f1 (0) < 0 и f3 (2/3 3) < 0. Установим в областиΥ, заключенной между лучами R+ и e−iπ/6 R+ и лежащей выше кривой `−положительную знакоопределенность функции!√ Z − ∂Re ξ − (λ)dξ (λ)e−iπ/4 λ 1ds√ .= Re= Re2 − 1) s∂adλ2(3(z(s,λ))0Поскольку кривые Q(x + iR− ) ∩ Π+ , x 6 −1, лежат ниже луча e−iπ/6 R+ , то√−(λ) > −1 для указанных λ. Кроме того, при x ∈ (−1, −1/ 3) справедRe α−1ливы неравенстваqq√√− x2 − 1/3 < −x 3 − 4x2 − 1/3 < (x + 1/ 3) tg π/8,откуда получаем, что−Re (3(α−1(λ))2− 1) > 0,−Im (3(α−1(λ))2 − 1)1√,0<<−Re (3(α−1(λ))2 − 1)3−следовательно, arg 3(α−1(λ))2 − 1 ∈ (0, π/6).

Кривая `− является графикомвозрастающей функции, откуда (0, λ) ⊂ Υ, λ ∈ Υ, стало быть, выполненоarg 3z 2 (s, λ)−1 ∈ (0, π/6), и получаем Re (ξ − (λ))0 > 0. Таким образом, еслиa+if3 (a) лежит выше `− , то f30 (a) < 0; поскольку кривая a+if1 (a) расположена выше `− и f10 (a) > 0, то a+if1 (a) и a+if3 (a) имеют в Π+ единственную точку пересечения Λ. Из леммы 3.3.2 и монотонности кривых `± и `0 следует, чтоΛ лежит в прямоугольнике {0.223 < Re λ < 0.283, −0.1475 < Im λ < −0.104}.Доказательство окончено.Введем обозначения для спектральных кривыхΓ1 := λ ∈ Π+ : Re η − (λ) = 0, Re ξ − (λ) > 0 ,Γ2 := λ ∈ Π+ : Re ξ − (λ) = Re η − (λ) < 0 ,Γ3 : = λ ∈ Π+ : Re ξ − (λ) = 0, Re η − (λ) > 0 ,и их продолженийb 1 :=Γλ ∈ Π+ : Re η − (λ) = 0, Re ξ − (λ) < 0 ,84b 2 := λ ∈ Π+ : Re ξ − (λ) = Re η − (λ) > 0 ,Γb 3 : = λ ∈ Π+ : Re ξ − (λ) = 0, Re η − (λ) < 0 ,Γb 3 , а криваяВвиду единственности Λ, кривая Γ1 лежит выше линии уровня Γb1.Γ3 – выше Γрис.

8Доказанные в настоящем параграфе результаты суммирует√Предложение 3.3.5. Кривая Γ1 , соединяющая точки 2/3 3 и Λ, при√ надлежит углу −5π/6 < arg λ − 2/3 3 < −2π/3, причем f10 (a) > 0,√a ∈ (ρ, 2/3 3), кривая Γ3 , принадлежащая углу −π/6 < arg λ < −π/9, соединяет точки 0 и Λ, причем f30 (a) < 0, a ∈ (0, ρ). При этом Γ1 лежитb 3 , а Γ3 – выше Γb1.выше ΓУстановим свойства линии уровня Γ2 .Предложение 3.3.6. Кривая Γ2 соединяет точку Λ с точкой iν, гдеν ∈ (−0.425i, −0.464i), и является графиком непрерывно дифференцируемойb1, авозрастающей функции a = f2 (b).

Кривая Γ2 лежит ниже кривой Γb 2 – выше Γ1 ∪ Γ3 , правее Γ3 и левее Γ1 .участок линии уровня Γ85Доказательство. Равенство Re ξ − (λ) = Re η − (λ), λ = a + ib, может выполняться лишь при b > max(f1 (a), f3 (a)) и b < min(f1 (a), f3 (a)), причемвыше кривой a + i max(f1 (a), f3 (a)) имеем Re ξ − (λ) > 0. Таким образом, криb1, а Γb 2 – выше Γ1 ∪ Γ3 , причем Γb 2 расположена правеевая Γ2 лежит ниже ΓΓ1 и левее Γ2 .Кроме того, Γ2 лежит ниже кривых `0 и `+ . Непосредственным вычислением устанавливается, что кривая Q(0.12i + R− ) лежит выше `+ при√a ∈ (0, 0.26) и выше `0 при a ∈ (0.25, 2/3 3), стало быть, Γ2 расположена ниже Q(0.12i + R− ), а α0 (Γ2 ), ввиду однолистности Q(z), – выше луча0.12i + R− .Установим при a ∈ (0, 0.283) и b < min(f1 (a), f3 (a)) знакоопределенность!Z −dz∂Re S(α0− (λ), −1; λ)eiπ/4 α0 (λ)p= −Im< 0.∂b2 −1Q(z) − λВыберем ломаную (−1, ze] ∪ [ze, Re ze + iIm α0− (λ)] ∪ [Re ze + iIm α0− (λ), α0− (λ)),где ze := {−1 + eiπ/5 R+ } ∩ {0.12i + R− }, в качестве пути интегрирования.Для z ∈ (−1, ze) выполнено Im Q(z, λ) > 0 и Re Q(z, λ) > 0, следовательно,ψ(z, λ) ∈ (−π/2, 9π/10) ввиду (3.1)-(3.2) и так как в полосе a ∈ (0, 0.283)кривая `0 лежит ниже луча e−iπ/9 R+ , согласно лемме 3.3.2.

Аналогично, если z принадлежат ломаной [ze, Re ze + iIm α0− (λ)] ∪ [Re ze + iIm α0− (λ), α0− (λ)),то Re (Q(z) − λ) > 0, поскольку Re Q(ze) > 0.283, стало быть, выполненоψ(z, λ) ∈ (−π/2, π/2). Получаем, что имеет место указанная знакоопределенность. Доказательство окончено.Ввиду предложений 3.3.1, 3.3.5 и 3.3.6 и леммы 3.3.4 справедливо утверждение 2. Для изучения свойств характеристического определителя нам потребуетсяЛемма 3.3.7. Для λ = a + ib ∈ Π+ , a > 0, величины Re ζ − (λ) > 0 и−Re S(α−1(λ), 1; λ) < 0 отделены от нуля.86−(λ)}, выполненоВ самом деле, в силу (3.1) − (3.2) при x ∈ R \ {α0,±1−−ψ(x, λ) ∈ [0, π], а при z ∈ (α−1(λ), Re α−1(λ)), получаем Re Q(z, λ) < 0,поэтому ψ(z, λ) ∈ (π/2, 3π/2)∂−Re S(α−1(λ), 1; λ) = − Re∂aeiπ/42(Z−Re α−1(λ)Z1+−α−1(λ)−Re α−1(λ))pdzQ(z, λ)!< 0.Согласно предложению 3.3.1 и 3.3.5, имеем Re ζ − (ib) = 0, и, кроме того,Re ξ − (ib) 6 0, причем ∂ζ − (λ)/∂a > 0.

Ввиду отделенности λ от iR, величины−(λ), 1; λ) = Re (ξ − (λ) − ζ − (λ)) < 0 отделены от нуля.Re ζ − (λ) > 0 и Re S(α−13.4Локализация собственных значенийПредложение 3.4.1. Если ограниченная область Ω содержится в Π+ и√∂Ω ∩ R ⊂ (0, 2/3 3), а ∂Ω ∩ iR− ⊂ (0, iν), то существует εe7 = εe7 (Ω) > 0такое, что при ε ∈ (0, εe7 ) для λ ∈ Ω характеристический определитель∆− (λ) имеет видexp εζ (λ)1 + Ψ1 (λ) + exp 2ε−1/2 η − (λ) ×, (3.4)× 1 + Ψ2 (λ) − i exp − 2ε−1/2 ξ − (λ) 1 + Ψ3 (λ)−1/2 −где | Ψj (λ)| 6 C(Ω)ε1/2 .Доказательство. Покажем, что при малых ε > 0 второе и третье слагаемые в представлении (3.3) подчинены первому или четвертому в зависимости от λ ∈ Ω.

В случае, когда λ = a + ib ∈ Ω отделено от iR, величины−Re S(−1, 1; λ) < 0 и Re S(α−1(λ), 1; λ) < 0 отделены от нуля согласно лемме3.3.7. Таким образом, в рассматриваемом случае в выражении для ∆− (λ)второе и третье слагаемые подчинены первому.В случае, когда λ ∈ Ω, принадлежит достаточно малой окрестности iR− , всилу предложений 3.3.1, 3.3.5 и 3.3.6 величины Re ξ − (λ) и Re (ξ − (λ)−η − (λ))отрицательны и отделены от нуля.

Поскольку, кроме того, Re S(1, −1; λ) > 0при λ ∈ Π+ , то вещественная часть Re S(α0− (λ), 1) < 0 также отделена87от нуля, так что для указанных λ ∈ Ω в (3.3) третье слагаемое подчиненовторому, а второе – четвертому.Доказательство теоремы 3. Для δ > 0 положим√(1)(1)g1 (δ) := min{ρ+δ/2, f1−1 (µ+δ/4)}, g2 (δ) := max{2/3 3−δ/2, f1−1 (−δ/4)},√где функция f1−1 (b) строго возрастает от ρ до 2/3 3 на промежутке (µ, 0).Далее обозначим√(1)g3 (δ) := min{δ/4, f1 (ρ + δ/2) − µ, |f1 (2/3 3 − δ/2)|},(2)g3 (δ) := min{δ/4, f2 (ν + δ/2), ρ − f2 (µ − δ/2)},(3)g3 (δ) := min{δ/4, |f3 (δ/2)|, f3 (ρ − δ/2) − µ},и введем в рассмотрение множестваΩ (δ) :=na + ib : a ∈ [0, ρ], f3 (a) +6b60 ∪no√(1)∪ a + ib : a ∈ [ρ, 2/3 3], f1 (a) + g3 (δ) 6 b 6 0 ,Ω(2) (δ) :=no(3)a + ib : a ∈ [0, ρ], µ 6 b 6 f3 (a) − g3 (δ) ∪on(2)∪ a + ib : b ∈ [ν, µ], 0 6 a 6 f2 (b) − g3 (δ) ,(1)(3)g3 (δ)n(3)√oo(1)g3 (δ)Ω (δ) := a + ib : a ∈ [ρ, 2/3 3], ν 6 b 6 f1 (a) −∪no(2)∪ a + ib : b ∈ [ν, µ], f2 (b) + g3 (δ) 6 a 6 ρ ,и, кроме того,no(1)(1)(1)Σ (δ) := a + ib : g1 (δ) < a < g2 (δ), | b − f1 (a)| < g3 (δ) .(1)√Отметим, что Σ(1) (δ) содержится в Π+ \ {0, 2/3 3}, так как по построению√(1)(1)g3 (δ) 6 min{δ/4, |f1 (2/3 3 − δ/2)|}, и при a < g2 (δ) имеет место оцен√ка f1 (a) < min{−δ/4, f1 (2/3 3 − δ/2)}.

Аналогично, ввиду монотонностиΓ2 ∪ Γ3 , область Σ(1) (δ) отделена от этой кривой. Покажем, что имеет место88включение√λ ∈ Π+ : Im λ > ν, | λ − 2/3 3| > δ, dist(λ, Γ2 ∪ Γ3 ) > δ⊂⊂ Ω(1) (δ) ∪ Ω(2) (δ) ∪ Ω(3) (δ) ∪ Σ(1) (δ).√В самом деле, прямоугольник a ∈ [ρ, 2/3 3], b ∈ [µ, 0] пересекается с Γ2 ∪ Γ3(1)(1)лишь в точке Λ ввиду монотонности этих кривых. При a ∈ [g1 (δ), g2 (δ)] всеточки указанного прямоугольника содержатся в Ω(1) (δ) ∪ Ω(3) (δ) ∪ Σ(1) (δ).

Да√(1)лее, при a ∈ (g2 (δ), 2/3 3) точки прямоугольника, лежащие ниже кривой(1)f1 (a) − g3 (δ), содержатся в Ω(3) (δ), покажем, что для точек λ, лежащих вы√√(1)ше этой кривой, имеем |λ − 2/3 3| < δ. В самом деле, g2 (δ) > 2/3 3 − δ/2,(1)g3 (δ) 6 δ/4 и |f1 (a)| 6 δ/4, значит, указанные точки лежат в квадрате max{a, b} 6 δ/2, который принадлежит δ-окрестности нуля. Аналогично(1)устанавливается, что при a ∈ [ρ, g1 (δ)] точки рассматриваемого прямоуголь(1)ника, лежащие ниже f1 (a) + g3 (δ), содержатся в δ-окрестности Λ. Таким жеобразом рассматриваются прямоугольники {a ∈ [0, ρ], b ∈ [ν, µ]}, {a ∈ [0, ρ],√b ∈ [µ, 0]}, {a ∈ [ρ, 2/3 3], b ∈ [ν, µ]}, с учетом включений{a + ib : b ∈ [ν, µ], |a − f2 (b)| 6 δ/4} ⊂ {λ ∈ Π : Im λ ∈ [ν, µ], dist(λ, Γ2 ) < δ},{a + ib : a ∈ [0, ρ], |b − f3 (a)| 6 δ/4} ⊂⊂ {λ ∈ Π : Re λ ∈ [0, ρ], dist(λ, Γ3 ) < δ}.Поскольку множество Ω(1) (δ) лежит выше Γ1 и Γ3 , то в силу утверждения2 величины Re ξ − (λ) > 0 и Re η − (λ) > 0 отделены от нуля, стало быть,согласно предложениям 3.3.1, 3.3.5 и 3.4.1, имеемno√ −−1/2−∆ (λ) = exp εS(1, −1) + 2η (λ)1 + O( ε)и, таким образом, при достаточно малых ε > 0 множество Ω(1) (δ) не содержит нулей ∆− (λ).b 2 – праАналогично, ввиду того, что кривая Γ2 расположена ниже, а Γвее Γ3 , то для λ ∈ Ω(2) (δ) отделены от нуля величины Re ξ − (λ) < 0 и89Re ξ − (λ) − η − (λ) < 0 и, следовательно, при достаточно малых ε > 0 ха-рактеристический определительno√ −−1/2−−−∆ (λ) = − i exp εζ (λ) + 2η (λ) − 2ξ (λ)1 + O( ε)не обращается в нуль в Ω(2) (δ).

Если же λ ∈ Ω(3) (δ), то, поскольку Γ2 распоb1, а Γb 2 – левее Γ1 , то отделены от нуля величины Re η − (λ) < 0ложена ниже Γи Re ξ − (λ) − η − (λ) > 0 и вследствие (3.4) справедлива асимптотическаяформула−n∆ (λ) = exp εo√ ζ (λ) 1 + O( ε) ,−1/2 −откуда видно, что собственные значения задачи (1)-(2) в Ω(3) (δ) при достаточно малых ε > 0 также отсутствуют.Наконец, при λ ∈ Σ(1) (δ), лежащих выше либо на кривой Γ1 , располоb 3 , величина Re ξ − (λ) > 0 отделена от нуля, а, поскольку Γ1женной выше Γb 2 , то при λ ∈ Σ(1) (δ), лежащих ниже либо на кривойрасположена правее ΓΓ1 , отделена от нуля величина Re (ξ − (λ) − η − (λ)) > 0.

Характеристики

Список файлов диссертации