Диссертация (1155075), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Здесь функция η + (λ) аналитична в√Π\[0, −2i/3 3], при этом ∂Re η + (a+ib)/∂a > 0 и, кроме того, Re η + (ib) = 0√для b < −2/3 3 ввиду предложения 2.3.2. Переходя к переменной iλ и применяя предложение 1.4.1, получаем указанную в формулировке локализациюрасположенных в Σ(2) (δ) нулей ∆+ (λ), совпадающих с собственными значениями рассматриваемой задачи. Для завершения доказательства остается√заметить, что, ввиду неравенства f 0 (a) < 1/ 3, прямоугольник λ ∈ Π :√|Re λ| < δ, µ + δ < Im λ < −2/3 3 − δ не пересекается с δ/3-окрестностьюкривой Γ, и, как следствие этого, (в силу теоремы 1) множество√λ ∈ Π : min{δ/3, g(δ)} 6 |Re λ| < δ, µ + δ < Im λ < −2/3 3 − δне содержит точек спектра задачи (1)-(2) при достаточно малых ε > 0.63Глава 3Случай разветвленного накрытияВ настоящей главе устанавливается, что в модельном случае немонотонногопотенциала Q(z) = z 3 − z предельная конфигурация спектра симметричнаотносительно мнимой оси и представляет собой комплекс с тремя концевымивершинами и одним циклом, содержащим вершину Q(±1) = 0.
Изучены геометрические свойства боковых ребер спектрального комплекса, для собственных значений получены локализационные формулы типа правил квантования. Результаты изложены в работах [50], [51] и были анонсированы в [49].3.1Аналитические свойства корней уравнения z 3 − z = λ и построение канонических путей√√Функция Q(z) = z 3 − z отображает отрезок [−1, 1] на [−2/3 3, 2/3 3], являясь накрытием, двулистным во всех точках, кроме нуля. Риманова поверхность функции, обратной к Q(z), состоит из трех листов с двумя точ√ками ветвления ±2/3 3. Спектр соответствующей задачи лежит в полупо√лосе Π := {a + ib : |a| 6 2/3 3, b < 0}, введем для ее части обозначениеΠ+ := {a + ib ∈ Π, a > 0}.Заметим, что функция Q(z) однолистна в каждом квадранте вплоть домнимой оси.
Учитывая тождестваRe Q(x + iy) = x3 − x − 3xy 2 ,Im Q(x + iy) = 3x2 y − y − y 3 ,64получаем, что Q(z) однолистно отображает область 3(Re z)2 < (Im z)2 + 1√на плоскость с разрезами ±2/3 3 ± R+ , а области 3(Re z)2 > (Im z)2 + 1,√Re z ≷ 0, — на плоскость с разрезом ∓2/3 3 + R∓ . В соответствии с этимоднозначные ветви αk− (λ), k = 0, ±1, функции α(λ) = Q−1 (λ) определяются√условиями αk− (0) = k в плоскости Cλ с разрезами ±2/3 3± R+ . Необходимыев дальнейшем свойства функций αk− (λ) содержит−α−1(λ)α0− (λ)α1− (λ)рис.
6.Лемма 3.1.1. Справедливы неравенства−Re α−1(λ)1< − √ < Re α0− (λ) 6 0,3−Im α±1(λ)< 0 <Re α1− (λ)Im α0− (λ)<q2> 1, λ ∈ Π+ \ 0, √3 3|Im λ| + 2 ,λ ∈ Π+ .Доказательство. Поскольку Re Q(z) < 0 при Re z ∈ (0,p(3.1)(3.2)3(Im z)2 + 1),то такие z не лежат в Q−1 (Π+ ). Отсюда получаем Re αk− (λ) 6 0, k = −1, 0,и Re α1− (λ) > 1, если λ ∈ Π+ \ {0}, так как α1− (0) = 1. Далее, выполнено65√√√Re Q(z) > Q(−1/ 3) = 2/3 3 для Re z 6 −1/ 3 и (Im z)2 > 3(Re z)2 − 1,√√−следовательно, Re α−1(λ) < −1/ 3 < Re α0− (λ) в случае λ ∈ Π+ \ {2/3 3}.Установим справедливость неравенств (3.2). Множество Im Q(x + iy) > 0 за−(λ) < 0 < Im α0− (λ).дается неравенством y 3x2 − y 2 − 1 > 0, откуда Im α±1√Наконец, величина Im Q(x + iy) убывает по y при |x| < 1/ 3, а в силуp√(3.1) имеем Re α0− (λ) ∈ (−1/ 3, 0], значит, Im α0− (λ) < |Im λ| + 2, так какp√Im (Q(x + iy) − λ) < 0, при x ∈ (−1/ 3, 0] и y = |Im λ| + 2.
Доказательствоокончено.Для определения ветви функцииS(z0 , z; λ) := eiπ/4Zzpt3 − t − λ dt.z0−в плоскости Cz с разрезами α−1(λ)+iR− , α0− (λ)+iR+ , α1− (λ)+iR− , выделимpветвь корня Q(z, λ) с помощью формулыqqQ(z, λ) =|Q(z, λ)| exp iψ(z, λ)/2 ,−где ψ(z, λ) := arg(z − α−1(λ)) + arg(z − α0− (λ)) + arg(z − α1− (λ)).рис. 7Для λ ∈ Π на кривой Re Q(z) = 0, в третьем квадранте найдем точку66h−1 = h−1 (λ) такую, что|Im h−1 | =√3 max | αk− (λ)| + 1.k=0,±1Заметим, что |Re h−1 | > |Im h−1 |, так как Re Q(x + iy) > 0, x < 0, y < x.На луче h−1 + e−iπ/4 R+ фиксируем точки h1 = h1 (λ) и d = d(λ), такие чтоp√Re h1 = 1 и Re d = −1/ 3.
Далее, обозначим p = p(λ) := |Im λ| + 2 иположим h0 := 1 + ip и z0 := −h0 . Ввиду неравенств (3.1)-(3.2) и так какQ(−1 + R− ) ⊂ R− , то ломаныеγb1 := [h−1 , Re h−1 ] ∪ [Re h−1 , −1] ∪ [−1, z0 ],√√γ1 := [z0 , −1/ 3 + ip] ∪ [−1/ 3 + ip, d] ∪ [d, h1 ],γe1 := [h−1 , h1 ]−образуют замкнутый контур и ограничивают область, содержащую α−1(λ) ине содержащую других корней уравнения Q(z) = λ.
Аналогично, ломаныеγ2 = γ1 , γe2 := [z0 , h0 ] и γb2 := [h0 , h1 ] образуют замкнутый контур, причем−область, ими ограниченная, содержит α0− (λ) и не содержит α±1(λ).Лемма 3.1.2. При λ ∈ Ω, где ограниченная область Ω принадлежит√вместе с замыканием множеству Π+ \ {0, 2/3 3}, функция Re S(z0 , z; λ)возрастает при движении вдоль кривых γb1 и γ1 от точки z0 , и вдоль кривойγb2 от точки h0 .Доказательство.
Для указанных кривых имеем Re (z − α1− (λ)) < 0, и,как следствие, arg(z − α1− (λ)) ∈ (π/2, 3π/2).−При z ∈ (−1, z0 ) выполнено Re (z − α0− (λ)) < 0 и Im (z − α±1(λ)) > 0−ввиду (3.1)-(3.2). Стало быть, получаем включения arg(z − α−1(λ)) ∈ (0, π),arg(z − α0− (λ)) ∈ (−3π/2, −π/2), arg(z − α1− (λ)) ∈ (π/2, π), следовательно,√ψ(z, λ) ∈ (−π, 3π/2).
Если z ∈ (−1, −1 + i 2), то Im Q(z, λ) > 0, и в случае√z ∈ (−1 + i 2, z0 ) имеем Re Q(z, λ) > 0, таким образом, при z ∈ (−1, z0 ) выполнено ψ(z, λ) ∈ (−π/2, π). Отсюда следует монотонность Re S(z0 , z) вдоль67указанного участка γb1 при движении от точки z0 . Аналогично, когда z принадлежит ломаной (h−1 , Re h−1 ] ∪ [Re h−1 , −1) ввиду (3.1)-(3.2) и неравенства|Re h−1 | > |Im h−1 | выполнено−arg(z − α−1(λ)) ∈ (0, 3π/2),arg(z − α0− (λ)) ∈ [−π, −π/2),кроме того, Re Q(z, λ) < 0, откуда ψ(z, λ) ∈ (π/2, 3π/2), стало быть, величинаRe S(z0 , z) возрастает вдоль γb1 от точки z0 .√Далее, когда z ∈ (z0 , −1/ 3 + ip) имеем Im(z − αk− (λ)) > 0, k = 0, ±1, иRe (z − α0− (λ)) < 0, кроме того, Im Q(z, λ) < 0, так что ψ(z, λ) ∈ (−π, 0).√√√Аналогично, для z ∈ (−1/ 3 + ip, −1/ 3) ∪ (−1/ 3, d),−arg(z − α−1(λ)) ∈ (−π/2, π/2),arg(z − α0− (λ)) ∈ (−3π/2, −π/2),поскольку Re Q(z, λ) > 0, то ψ(z, λ) ∈ (−π/2, π/2).
При z ∈ (d, h1 )−arg(z − α−1(λ)) ∈ (−π/2, 0),arg(z − α0− (λ)) ∈ (−π, 0).√Здесь Im Q(z, λ) > 0, так как при |Re z| < 1/ 3 имеем Im Q(z) > |Im z|3 , а√для Re z ∈ (1/ 3, 1) имеем Im z < Im h−1 − |Re h−1 | < −2, откуда получаемIm Q(z) > 2|Im z|. Значит, ψ(z, λ) ∈ (0, π), и следовательно, вещественнаячасть Re S(z0 , z) возрастает вдоль ломаной γ1 при движении от z0 .Наконец, для z ∈ (h0 , 1) ∪ (1, h1 ) имеем Re Q(z, λ) < 0 откуда получаемψ(z, λ) ∈ (π/2, 3π/2) ввиду того, что−arg(z − α−1(λ)) ∈ (−π/2, π/2),arg(z − α0− (λ)) ∈ (−π/2, π/2).Значит, величина Re S(z0 , z) монотонна вдоль γb2 .
Доказательство окончено.Лемма 3.1.3. При λ ∈ Ω, где ограниченная область Ω принадлежит вме√сте с замыканием множеству Π+ \ {0, 2/3 3}, промежутки γe1 , γe2 – канонические пути для продолженной аналитически ветви функции S(z0 , z; λ).e 0 , z; λ) ветвь функции (1.1), полуДоказательство. Обозначим через S(zчающуюся интегрированием ветви корняqqe λ)/2 ,Q(z, λ) =|Q(z, λ)| exp iψ(z,68−(λ) + iR+ , α0− (λ) + iR+ , α1− (λ) + iR− , гдеопределенной в Cz с разрезами α−1e λ) := arg(z −α− (λ))+arg(z −α− (λ))+arg(z −α− (λ)). Эта ветвь — непоψ(z,10−1средственное аналитическое продолжение S(z0 , z; λ) вдоль отрезка [h−1 , h1 ].−Ввиду выбора h±1 , для z ∈ [h−1 , h1 ] при Re z < Re α−1(λ) имеемarg(z − αk− (λ)) ∈ (−π, −π/2),k = −1, 0,arg(z − α1− (λ)) ∈ (π, 3π/2).−−Если же Re z > Re α−1(λ), то выполнено arg(z − α−1(λ)) ∈ (−π/2, 0) иarg(z − α0− (λ)) ∈ (−π, 0), причем Im Q(z, λ) > 0 (см.
доказательство лемe λ) ∈ [−π, π] для z ∈ [h−1 , h1 ] и, следовательмы 3.1.2). Таким образом, ψ(z,e 0 , z). Аналогично, с учетомно, отрезок [h−1 , h1 ] – канонический путь для S(zзнакоопределенности Im Q(z, λ) < 0 при z ∈ (z0 , h0 ), устанавливается, что[z0 , h0 ] – канонический путь для ветви функции (1.1), являющейся непосредственным аналитическим продолжением S(z0 , z) вдоль этого отрезка.С тем, чтобы применить предложение 1.3.1, установим следующееУтверждение 3.1.4.
При λ ∈ Ω, где ограниченная область Ω вместе с√замыканием принадлежит множеству Π+ \{0, 2/3 3}, канонические путиγb1 , γ1 , γe1 , γb2 , γe2 равномерно ограничены и отделены от точек αk− (λ).Доказательство. Так как при λ ∈ Π+ \ {0}, выполнено Re α1− (λ) > 1,причем α1− (0) = 1, то, ввиду однолистности Q(z) в четвертом квадранте и налуче 1 + R+ , для λ, лежащих в области Ω ⊂ Π+ , отделенной от точки λ = 0,канонические пути равномерно отделены от α1− (λ).Ввиду (3.2) точки αk− (λ), k = −1, 0, λ ∈ Ω, отделены от отрезка [z0 , h0 ], ав силу выбора h−1 отрезки [h−1 , Re h− 1] и [h−1 , h1 ] отделены от αk− (λ).В силу (3.1), точки αk− (λ) равномерно отделены от отрезка [h0 , h1 ], кроме√√√−того, поскольку α−1(2/3 3) = α0− (2/3 3) = −1/ 3, то αk− (λ) равномер√но отделены от отрезка [−1/ 3 + ip, d], так как множество Ω отделено от√−2/3 3.
Наконец, ввиду однолистности Q(z) в третьем квадранте вплоть до√−луча −1/ 3 + R− , множество α−1(Ω) отделено от точки −1, стало быть, от69ломаной [Re h−1 (λ), −1] ∪ [−1, z0 ].Кроме того, поскольку указанные пути состоят из конечного числа отрезков и лежат в прямоугольнике |Re z| < Re h−1 , |Im z| < max{|Im h1 |, p}, тоl0 : = sup[|γ1 | + |γb1 | + |γe1 | + |γb2 | + |γe2 |] < ∞.λ∈ΩДоказательство окончено.Как следствие, введенные пути удовлетворяют условию ρ(Ω) < ∞.
Суммируя полученные результаты и утверждение 1.2.3, получаемПредложение 3.1.5. При λ ∈ Ω, где ограниченная область Ω принад√лежит вместе с замыканием множеству Π+ \ {0, 2/3 3}, существуютобразующие простой замкнутый положительно ориентированный контурканонические для продолженной аналитически ветви S(z0 , z; λ) функции(1.1) пути γ1 , γb1 и γe1 , область ими ограниченная содержит единственный−(простой) нуль α−1(λ) функции Q(z, λ). Кроме того, существуют канони-ческие пути γ2 , γb2 и γe2 , область ими ограниченная содержит единствен−ный нуль α0− (λ). Выполнены условия r0 > 0, l0 < ∞, Re S(z0 , α−1(λ); λ) > 0и Re S(h1 , α0− (λ); λ) < 0.3.2Фундаментальные системы решений и характеристическийопределительПредложение 3.1.5 позволяет применить предложение 1.3.1 к кривым γb1 , γe1 ,−γ1 для обхода α−1(λ) и к кривым γb2 , γe2 , γ2 для обхода α0− (λ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
