Диссертация (1155075), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Для достаточно малых ε > 0 на окружностяхb имеем| λ − λn | = Cεb 1/2 cos iε−1/2 ϕ(λ) + c = sin iε−1/2 ϕ(λ) − ϕ(λn ) > CLε .2При этом выше либо на кривой Γ запишем стоящее в правой части (1.6) подзнаком модуля выражение ∆(λ) − 2 cos(iε−1/2 ϕ(λ) + c) в виде#"−1/2ee exp − εϕ(λ) + ic Φ1 (λ) − Φ2 (λ)e 2 (λ) ,2 cos iε−1/2 ϕ(λ) + c+Φ−1/22 cos iεϕ(λ) + c34где exp − ε−1/2 ϕ(λ) + ic Φee(λ)−Φ(λ)12e+Φ(λ) < 1,22 cos iε−1/2 ϕ(λ) + cесли ε > 0 достаточно мало. В случае, когда точка λ лежит ниже либо накривой Γ, оценка проводится аналогично, причем выражение, стоящее подзнаком модуля в правой части (1.6), записывается в виде" −1/2#eeϕ(λ) − ic Φ2 (λ) − Φ1 (λ)e 1 (λ) + exp ε.2 cos iε−1/2 ϕ(λ) + c Φ2 cos iε−1/2 ϕ(λ) + cПрименяя теорему Руше для локализации нулей аналитической функции∆(λ), приходим к следующему заключению: для произвольного δ > 0 суbществует εe(1) = εe(1) (δ) ∈ (0, εe(0) (3δ/4, C(3δ/4)))такое, что при ε ∈ (0, εe(1) ) вbC(3δ/4)ε-окрестностикаждого нуля λn ∈ Σ(3δ/4) функции cos iε−1/2 ϕ(λ)+cрасположен ровно один простой нуль ∆(λ), причем указанные окрестностине пересекаются.
Покажем, что других нулей ∆(λ) в области Σ(δ) нет. Поскольку величина Re ϕ(λ) знакоопределена над и под кривой Γ, то нули∆(λ) отсутствуют в Σ(δ) \ Σ(δ/2) при малых ε > 0. Далее, построим областьλ ∈ Σ(δ/2) : Re λ− < Re λ < Re λ+ ,где точки λ± – корни уравнения cos iε−1/2 ϕ(λ± ) + c = 1, такие что спраe ε) ⊂ Σ(3δ/4); при этом все точкиведливы включения Σ(δ) ∩ Σ(δ/2) ⊂ Σ(δ,e ε) для малых ε > 0 лежат в области Σ(δ,e ε) вместе со своимиλn ∈ Σ(δ,e ε) :=Σ(δ,bC(3δ/4)ε-окрестностями;уменьшим εe(1) > 0 так, чтобы это было выполнеe ε) имеет местоно для ε ∈ (0, εe(1) ).
Установим, что на границе области Σ(δ,неравенство (1.6), если ε > 0 достаточно мало.Положим M = M (δ) := sup | ϕ0 (λ)| и, учитывая знакоопределенностьλ∈Σ(3δ/4)(2)∂Re ϕ(a + ib)/∂b > 0, выберем εe= εe(2) (δ) > 0, такое что при ε ∈ (0, εe(2) )для λ = a + ib ∈ Σ(3δ/4), если b > f (a) + π(6M )−1 ε1/2 , то выполнена оценкаe 1 (λ)+Φe 2 (λ),1+exp{2ic} exp{−2ε−1/2 ϕ(λ)} > exp{2ic} exp{−2ε−1/2 ϕ(λ)}Φ35и, аналогично, при b < f (a) − π(6M )−1 ε1/2 будем иметьe 2 (λ).1+exp{−2ic} exp{2ε−1/2 ϕ(λ)} > eΦ1 (λ)+exp{−2ic} exp{2ε−1/2 ϕ(λ)}Φe ε) вне окрестностей точек λ± радиусаТаким образом, при ε ∈ (0, εe(2) ) на ∂ Σ(δ,π(6M )−1 ε1/2 справедливо неравенство (1.6).
Далее, уменьшим εe(2) > 0 так,чтобы для ε ∈ (0, εe(2) ) при | λ−λ± | 6 π(6M )−1 ε1/2 выполнялось неравенствоϕ(λ) − ϕ(λ± ) 6 πε1/2 /4 и, кроме того, C(3δ/4)ε1/2 < 1/4. В результате дляe ε), принадлежащих указанным окрестностям λ± , с использованиемλ ∈ ∂ Σ(δ,тождества cos(x + iy) = cos x ch y − i sin x sh y, получаем оценки √2 cos iε−1/2 ϕ(λ) + c = 2 cos iε−1/2 (ϕ(λ) − ϕ(λ± )) > 2 ,e 1 (λ) + exp ε−1/2 ϕ(λ) − ic Φe 2 (λ) 6 2C(3δ/4)ε1/2 eπ/4 , exp ic − ε−1/2 ϕ(λ) Φe ε) если ε ∈ (0, εe(2) ). Полои, стало быть, (1.6) справедливо всюду на ∂ Σ(δ,ebжим εe0 = εe0 (δ) = min{εe(1) (δ), εe(2) (δ)} и C(δ)= C(3δ/4).Согласно теоремеe ε), все нули ∆(λ) в области Σ(δ,e ε), содержаРуше применительно к Σ(δ,eщей Σ(δ) ∩ Σ(δ/2), при ε ∈ (0, εe0 ) расположены в C(δ)ε-окрестностяхточекe ε), причем указанные окрестности не пересекаются и в каждойλn ∈ Γ ∩ Σ(δ,из них содержится ровно один нуль ∆(λ).36Глава 2Монотонный кубический потенциалЦелью настоящей главы является доказательство того факта, что в модельном случае монотонного потенциала Q(z) = z 3 + z предельное для собственных значений множество представляет собой симметричное относительно осиiR дерево с узлом ветвления iµ степени 3, двумя вещественными и однойкомплексной концевыми вершинами.
Получены правила квантования типаБора-Зоммерфельда-Маслова для собственных значений, отделенных от вершин графа. Результаты изложены в работах [50], [51] и были анонсированыв [49].2.1Аналитические свойства корней уравнения z 3 + z = λ и построение канонических путейРиманова поверхность функции, обратной к Q(z) = z 3 + z, состоит из трех√листов с двумя точками ветвления ±2i/3 3. Спектр соответствующей задачи (1)-(2) лежит в полуполосе Π := {a + ib : |a| 6 2, b < 0}, введем такжеобозначение для ее части Π+ := {a + ib ∈ Π, a > 0}.Заметим, что Q(z) однолистна в каждом квадранте вплоть до вещественной оси, поскольку для различных z и w, таких что Q(z) = Q(w), выполненоz 2 + zw + w2 = −1.
В указанных множествах не существует различных точек,37удовлетворяющих последнему уравнению. Отсюда с учетом тождествRe Q(x + iy) = x3 + x − 3xy 2 ,Im Q(x + iy) = 3x2 y + y − y 3 ,p√получаем, что Q(z) однолистно отображает область 3Im z > (Re z)2 + 1p√√на плоскость с разрезом 2i/3 3 + iR+ , а множества 3Im z < (Re z)2 + 1,√Re z ≷ 0 — на плоскость с разрезом −2i/3 3 + iR+ . В соответствии с этимоднозначные ветви αk+ (λ), k = 0, ±1, функции α(λ) = Q−1 (λ) выделяются√условиями αk+ (+0) = ik в плоскости Cλ с разрезом −2i/3 3+iR+ .
Отметим,√+(λ) и α0+ (λ) определены на отрезке [0, −2i/3 3] неоднозначно.что ветви α−1Необходимые в дальнейшем свойства функций αk+ (λ) содержит+α−1(λ)α0+ (λ)α1+ (λ)рис. 2√Лемма 2.1.1. При λ ∈ Π \ [0, −2i/3 3] справедливы неравенства++Im α1+ (λ) > 1, Im α−1(λ) < 0, Im α0+ (λ) < 0, Re α−1(λ) < 0 < Re α0+ (λ),(2.1)38и соотношенияα1+ (−λ) = −α1+ (λ).+α−1(−λ) = −α0+ (λ),Доказательство. Заметим, что Im Q(z) > 0 при Im z ∈ [0,(2.2)p3(Re z)2 + 1],стало быть, такие z не принадлежат полному прообразу Q−1 (Π).
Посколькуα1+ (+0) = i, то отсюда получаем Im αk+ (λ) < 0, k = −1, 0, и Im α1+ (λ) > 1 для√+λ ∈ Π \ [0, −2i/3 3]. Далее, Re α0+ (λ) > 0 > Re α−1(λ), так как α0+ (+0) = 0,pа Q−1 (R+ ) состоит из луча R+ и кривых Im z = ± 3(Re z)2 + 1, Re z < 0.При этом корни уравнений Q(z) = λ и Q(z) = −λ симметричны относительноiR, откуда ввиду (2.1) получаем (2.2). Доказательство окончено.Замечание.
Далее мы будем говорить, что множество U1 ⊂ C лежитвыше (ниже) множества U2 ⊂ C, если для таких x, что {x + iR} ∩ U1 и{x + iR} ∩ U2 непусты, при всех x + iy1 ∈ U1 , x + iy2 ∈ U2 выполнено y1 > y2(соответственно y1 < y2 ).Аналогично, U1 лежит левее (правее) множества U2 , если для таких y,TTчто пересечения {R + iy} U1 и {R + iy} U2 непусты, при x1 + iy ∈ U1 ,x2 + iy ∈ U2 имеем x1 < x2 (соответственно x1 > x2 ).Для определения ветви функцииiπ/4ZzS(z0 , z; λ) := ept3 + t − λ dt.z0+в плоскости Cz с разрезами α−1(λ) + iR− , α0+ (λ) + iR− , α1+ (λ) + iR+ выделимpветвь корня Q(z, λ) с помощью формулыqqQ(z, λ) = |Q(z, λ)| exp (iϕ(z, λ)/2) ,+где ϕ(z, λ) := arg z − α−1(λ) + arg z − α0+ (λ) + arg z − α1+ (λ) .Замечание.
Здесь и далее ветви аргумента в плоскости с фиксированными разрезами – арифметические. Аргументы выражений, стоящих под корнем, вычисляются по модулю 4π, остальных выражений – по модулю 2π.39√Для λ ∈ Π \ [0, −2i/3 3] на кривой Re Q(z) = 2 в четвертом квадрантенайдем точку h0 = h0 (λ) такую, что| Im h0 | =√3 max |αk+ (λ)| + 1.k=0,±1Заметим, что Re h0 > |Im h0 |, так как Re Q(x + iy) < 1 при y < −x, x > 0.Положим h−1 := −h0 и d := i( Im h0 − Re h0 ). Ввиду (2.1) ломаные√√γb1 = [h−1 , Re h−1 ] ∪ [Re h−1 , −1] ∪ [−1, −1 + i/ 3] ∪ [−1 + i/ 3, z0 ],√√γe1 = [h−1 , d],γ1 = [z0 , i/ 3] ∪ [i/ 3, d],√√где z0 := 3 Re λ + i/ 3, образуют замкнутый контур и ограничивают об+ласть, содержащую α−1(λ) и не содержащую других точек поворота. Лома√√ные γb2 = γ1 , γe2 = [d, h0 ] и γ2 = [z0 , 1+i/ 3]∪[1+i/ 3, 1]∪[1, Re h0 ]∪[ Re h0 , h0 ]также образуют замкнутый контур, причем область, ими ограниченная, со+держит α0+ (λ) и не содержит α±1(λ).рис.
3Лемма 2.1.2. Для λ ∈ Ω, где ограниченная область Ω принадлежит√вместе с замыканием множеству Π \ [0, −2i/3 3], функция Re S(z0 , z; λ)не убывает при движении вдоль ломаных γb1 , γ1 , γ2 от точки z0 .40Доказательство. Оценим функцию ϕ(z, λ) вдоль указанных кривых, откуда получим монотонность Re S(z0 , z; λ).
Ввиду (2.1) для z ∈ γb1 ∪ γ1 ∪ γ2имеем Im (z − α1+ (λ)) < 0, значит, arg(z − α1+ (λ)) ∈ (−π, 0).√Если Im z ∈ [0, 1/ 3], то Im (z − αk+ (λ)) > 0, k = −1, 0, откуда+arg(z − α−1(λ)) ∈ (0, π),arg(z − α0+ (λ)) ∈ (0, π),следовательно, ϕ(z, λ) ∈ (−π, 2π). Поскольку при этом Im Q(z, λ) > 0, тоϕ(z, λ) ∈ (0, π), стало быть, величиныZ yqiπ/4Re S(±1, ±1 + iy; λ) = Re eQ(±1 + is, λ) ids0√убывают по y ∈ (0, 1/ 3). Далее, при z ∈ {z0 + R+ } ∪ {1 + R+ } сохраняются оценки для arg(z − αk+ (λ)), k = 0, ±1, и, кроме того, Re Q(z, λ) > 0,Im Q(z, λ) > 0, поэтому ϕ(z, λ) ∈ (0, π/2), а при z ∈ {z0 + R− } ∪ {−1 + R− },аналогично, ϕ(z, λ) ∈ (π/2, π), откуда получаем монотонность Re S(z0 , z; λ)вдоль соответствующих участков путей.Для z ∈ (h0 , Re h0 ), поскольку Re h0 > |Im h0 | > |αk+ (λ)|, получаем, чтоarg(z −αk+ (λ)) ∈ (−π/2, π/2), k = 0, ±1, при этом Re Q(z, λ) > Re Q(z, 2) > 0,откуда ϕ(z, λ) ∈ (−π/2, π/2), значит, γ2 – канонический путь с указанной монотонностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
