Диссертация (1155075), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Для Q(z) = z 3 − z и произвольного δ > 0 существуютε3 = ε3 (δ) > 0 и C (3) (δ) > 0 такие, что при ε ∈ (0, ε3 ) в области√λ ∈ Π+ : dist(λ, Γ1 ) < δ, dist(λ, Γ2 ∪ Γ3 ) > δ, | λ − 2/3 3| > δспектр задачи (1)-(2) представляет собой серию простых собственных зна(3)чений, лежащих в C (3) (δ)ε-окрестностях нулей λn ∈ Γ1 функцииcos iε−1/2 η − (λ) , занумерованных согласно правилу квантования− (3)1/2η (λn ) = iε π n + 1/2 , n ∈ Z,а часть спектра задачи (1)-(2), принадлежащая областиλ ∈ Π+ : dist(λ, Γ2 ) < δ, dist(λ, Γ1 ∪ Γ3 ) > δ, | λ − iν| > δ ,состоит из однократных собственных значений, находящихся в(4)C (3) (δ)ε-окрестностях корней λn ∈ Γ2 уравненияtg iε−1/2 (η − (λ) − ξ − (λ)) = 1.Помимо Γ1 и Γ2 , предельный спектральный комплекс также содержит в Π+ребро, соединяющее узел сочленения Λ со сдвоенной концевой вершиной –точкой Q(±1) = 0.
Локализацию соответствующих собственных значенийописываетТеорема 4. В случае Q(z) = z 3 −z для произвольного δ > 0 существуютε4 = ε4 (δ) > 0 и C (4) (δ) > 0 такие, что при ε ∈ (0, ε4 ) часть спектразадачи (1)-(2), принадлежащая множествуλ ∈ Π+ : Im λ > ν, | λ| > δ, dist(λ, Γ1 ∪ Γ2 ) > δ ,21состоит из простых собственных значений, находящихся в C (4) (δ)ε-окрест(5)ностях нулей λn ∈ Γ3 функции cos iε−1/2 ξ − (λ) − π/4 , которые определяются из соотношенийξ−(λ(5)n )= iε1/2π n + 1/4 , n ∈ Z.Серия собственных значений, описанная в теореме 4, имеет ту же природу,что и серия собственных значений, лежащих на Γ, описанная в теореме 1.Всюду в дальнейшем литерой C, быть может, с аргументами в скобках,но без индексов и надстрочных знаков, обозначены положительные (вообщеговоря, различные) константы (зависящие только от аргументов в скобках).22Глава 1Геометрические свойства приближенийЛиувилля-ГринаВ основе используемого подхода к проблеме квазиклассической локализацииспектра для задачи (1)-(2) лежит метод фазовых интегралов или метод ВКБ.В настоящей главе вводятся основные определения и устанавливаются (внеобходимой для наших целей общности) утверждения, описывающие асимптотику решений уравнения (1) при ε ↓ 0 с помощью приближений ЛиувилляГрина в случае линейной зависимости Q(z, λ) = Q(z) − λ от спектральногопараметра λ и где Q(z) – аналитическая функция.
Полученная техника позволяет разработать метод локализации собственных значений [51].1.1Асимптотика решений вдоль канонического путиОпределение. Кусочно-гладкий путь γ = γ(λ) ⊂ Cz называется каноническим для ветви S(z0 , z; λ) многозначной функцииZ zqiπ/4eQ(ζ, λ) dζ ,(1.1)z0если величина Re S(z0 , z; λ) изменяется монотонно вдоль γ.ВКБ-приближения для ФСР уравнения (1) и их производных по z с квалифицированными оценками остатков на канонических путях (см. [23], [30])дает23Предложение 1.1.1.
Пусть при каждом λ из ограниченной области Ωдля S(z0 , z; λ) существует канонический путь γ = γ(λ), удовлетворяющий условиюZ ρ(Ω) := supλ∈Ωγ|Q00 (z, λ)||Q0 (z, λ)|2+|Q(z, λ)|3/2|Q(z, λ)|5/2| dz| < ∞ .Тогда при достаточно малых ε > 0 и всех λ ∈ Ω у уравнения (1) существуют решения Y± (z, λ), имеющие на γ вид−1/4Y± (z, λ) = Q(z, λ)−1/2exp ± εS(z0 , z; λ) 1 + r± (z, λ) ,(1.2) iπ/4 −1/2= ±Q(z, λ) exp ± εS(z0 , z; λ) e ε+ rb± (z, λ) , (1.3)где | r± (z, λ)| 6 2 exp(2ε1/2 ρ(Ω)) − 1 и, кроме того,0Q(z,λ)1/2 rb± (z, λ) ±(1+r(z,λ))62exp(2ερ(Ω))−1.±4Q(z, λ)3/2Y±0 (z, λ)1/4−1/2Доказательство предложения 1.1.1 следует схеме, изложенной в [25].Зависимость от λ в обозначении для S(z0 , z; λ) в дальнейшем явно указывается лишь там, где это существенно.
В качестве z0 = z0 (λ) как правило выбирается начало соответствующего канонического пути, которое всегдабудет равномерно по λ ∈ Ω отделено от точек поворота, т. е. корней уравнения Q(z) = λ, и расположено в некоторой ограниченной области плоскостиCz . Для применения метода ВКБ будет проверяться следующее достаточноеусловие: если αk (λ), k ∈ K0 – все корни уравнения Q(z, λ) = 0, и выполненыусловия r(γ) := mink∈K0 inf λ∈Ω dist{αk (λ), γ} > 0 и l(γ) : = supλ∈Ω |γ| < ∞,то оценки для приближений решений и их производных равномерны по z ∈ γи λ ∈ Ω.При исследовании квазиклассической локализации спектра методом фазовых интегралов возникают специфические обстоятельства, связанные с явлением Стокса, состоящим в том, что в различных частях окрестности точки24поворота коэффициенты линейной комбинации функций вида (1.2)-(1.3), задающей асимптотику некоторого решения уравнения (1), оказываются различными.
Связь между этими коэффициентами обсуждается в [23] и [26]в предположении, что известна топологическая структура линий Стокса, т.е.линий уровня Re S(z0 , z; λ) = const, выходящих из точек поворота. В работе [18] был предложен способ отыскания указанных коэффициентов, нетребующий априорной (и избыточной для наших целей) информации о расположении линий Стокса, использующий фундаментальные свойства линийуровня в окрестности точек поворота.1.2Структура линий уровняВыражение F (z) dz 2 называется квадратичным дифференциалом (см.
[3],[43], [47]), кривые, на которых F (z) dz 2 > 0 – траекториями квадратичного дифференциала, а на которых F (z) dz 2 < 0 – ортогональными траекториями. При фиксированном λ линии уровня {z : Im S(z0 , z; λ) = const}являются траекториями квадратичного дифференциала i(Q(z) − λ) dz 2 , а{z : Re S(z0 , z; λ) = const} – ортогональными траекториями этого квадратичного дифференциала.Распространяя известные результаты (см. теоремы 8.1 и 8.2, леммы 8.3 и8.4 из [43]) на случай зависимости квадратичного дифференциала от параметра, получаем, что имеет местоЛемма 1.2.1. Пусть при фиксированном λ функция Q(z, λ) аналитичнав области U ⊂ Cz .
Тогда1) из каждого простого нуля α(λ) ∈ U функции Q(z, λ) выходят трилинии Стокса, угол между соседними линиями равен 2π/3;2) Множество {z ∈ U : Re S(z0 , z; λ) = const} не содержит компоненты,гомеоморфной окружности;253) Если область U ограничена и функция Q(z, λ) имеет в U единственный простой нуль α(λ), то каждая из трех линий Стокса с началом вточке α(λ) выходит из U ;Кроме того, как следствие теоремы 8.1 из [43], в достаточно малой окрестности α(λ) существуют образующие простой замкнутый контур три канонических для продолженной аналитически ветви S(z0 , z; λ) функции (1.1)пути.
В дальнейшем будет предполагаться существование канонических путей γ, γb, γe, удовлетворяющих условиям r(γ ∪ γb ∪ γe) > 0 и l(γ ∪ γb ∪ γe) < ∞.Обозначения выбираются таким образом, что контур γ ∪ γb ∪ γe – положительноориентирован, т.е. при его обходе в указанном порядке осуществляется обходα(λ) в положительном направлении. В случаях Q(z) = z 3 ± z каноническиепути будут указаны явно.Необходимые в дальнейшем локальные свойства линий уровня содержатприведенные ниже утверждения.Утверждение 1.2.2. Пусть для λ ∈ Ω существуют образующие замкнутый положительно ориентированный контур канонические для S(z0 , z; λ)пути γ, γb и γe, ограничивающие область, которая содержит единственный(простой) нуль α(λ) функции Q(z, λ).
Тогда любая линия Стокса с началомв α(λ) имеет непустое связное пересечение в точности с одной из кривыхγ, γe, γb.e `bДоказательство. В силу леммы 1.2.1 существуют три линии Стокса `, `,с началом в точке α(λ), каждая из которых выходит из области, ограниченнойγ, γe и γb, следовательно, пересекает по крайней мере один из этих канонических путей. Таким образом, множество точек пересечения некоторой линииуровня с границей указанной области непусто.При этом две линии Стокса не могут пересекать один канонический путь.Предположим, что ` и `e пересекают γ, а γ0 ⊂ γ соединяет точку множества26` ∩ γ с точкой множества `e∩ γ.
Тогда Re S(α(λ), z) = 0 для z ∈ γ0 ∪ ` ∪ `e ввидуканоничности γ, что невозможно в силу леммы 1.2.1. Таким образом, каждыйканонический путь имеет непустое пересечение с единственной линией уровня{z : Re S(α(λ), z) = 0}, выходящей из α(λ). Для завершения доказательствазаметим, что пересечение связно, так как в противном случае, ввиду каноничности пути, также существует компонента множества Re S(α(λ), z) = 0,гомеоморфная окружности. Доказательство окончено.В дальнейшем обозначения для линий Стокса и канонических путей буb `e пересекают пути γ, γb, γeдут согласованы в том смысле, что линии `, `,соответственно.Пусть G = G(λ) – область, ограниченная кривыми γ, γb и γe.
Зафиксируемточки z0 ∈ γb ∩ γ, z1 ∈ γb ∩ γe и z2 ∈ γ ∩ γe и выделим в подобласти G, ограниченной линиямиСтокса `b и `e и содержащей γ, однозначнуюаналитическую ветвь S(z0 , z) = S(z0 , z; λ), вподобласти G, ограниченной линиями Стокса`e и ` и содержащей γb, выделим однозначнуюb 0 , z) = S(zb 0 , z; λ) тааналитическую ветвь S(zb 0 , α(λ)) = S(z0 , α(λ)).кую, что S(zрис.1Наконец, выделим в подобласти G, ограниченной линиями Стокса ` и `b и соe 0 , z) = S(ze 0 , z; λ), такую что S(ze 2 , α(λ)) = S(z2 , α(λ)).держащей γe, ветвь S(zОбозначим через q(z, λ), qb(z, λ) и qe(z, λ) ветви функции Q(z, λ)−1/4 , соb 0 , z; λ) и S(ze 0 , z; λ) и, с точностью до знака,гласованные с S(z0 , z; λ), S(zопределяемые условиями q(z0 , λ) = qb(z0 , λ) и q(z2 , λ) = qe(z2 , λ); в силу того, что пути γ, γb и γe образуют положительно ориентированный замкнутыйконтур, справедливо соотношение qe(z1 , λ) = iqb(z1 , λ).С использованием леммы 1.2.1 и утверждения 1.2.2 устанавливаются следующие свойства ветвей функции (1.1):27Утверждение 1.2.3.Пусть при λ ∈ Ω существуют образующие за-мкнутый положительно ориентированный контур канонические для продолженной аналитически ветви S(z0 , z) пути γ, γb и γe, ограничивающиеобласть, которая содержит единственный (простой) нуль α(λ) функцииQ(z, λ).