Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1155075), страница 4

Файл №1155075 Диссертация (Метод фазовых интегралов в одной задаче асимптотической теории возмущений) 4 страницаДиссертация (1155075) страница 42019-09-14СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Для Q(z) = z 3 − z и произвольного δ > 0 существуютε3 = ε3 (δ) > 0 и C (3) (δ) > 0 такие, что при ε ∈ (0, ε3 ) в области√λ ∈ Π+ : dist(λ, Γ1 ) < δ, dist(λ, Γ2 ∪ Γ3 ) > δ, | λ − 2/3 3| > δспектр задачи (1)-(2) представляет собой серию простых собственных зна(3)чений, лежащих в C (3) (δ)ε-окрестностях нулей λn ∈ Γ1 функцииcos iε−1/2 η − (λ) , занумерованных согласно правилу квантования− (3)1/2η (λn ) = iε π n + 1/2 , n ∈ Z,а часть спектра задачи (1)-(2), принадлежащая областиλ ∈ Π+ : dist(λ, Γ2 ) < δ, dist(λ, Γ1 ∪ Γ3 ) > δ, | λ − iν| > δ ,состоит из однократных собственных значений, находящихся в(4)C (3) (δ)ε-окрестностях корней λn ∈ Γ2 уравненияtg iε−1/2 (η − (λ) − ξ − (λ)) = 1.Помимо Γ1 и Γ2 , предельный спектральный комплекс также содержит в Π+ребро, соединяющее узел сочленения Λ со сдвоенной концевой вершиной –точкой Q(±1) = 0.

Локализацию соответствующих собственных значенийописываетТеорема 4. В случае Q(z) = z 3 −z для произвольного δ > 0 существуютε4 = ε4 (δ) > 0 и C (4) (δ) > 0 такие, что при ε ∈ (0, ε4 ) часть спектразадачи (1)-(2), принадлежащая множествуλ ∈ Π+ : Im λ > ν, | λ| > δ, dist(λ, Γ1 ∪ Γ2 ) > δ ,21состоит из простых собственных значений, находящихся в C (4) (δ)ε-окрест(5)ностях нулей λn ∈ Γ3 функции cos iε−1/2 ξ − (λ) − π/4 , которые определяются из соотношенийξ−(λ(5)n )= iε1/2π n + 1/4 , n ∈ Z.Серия собственных значений, описанная в теореме 4, имеет ту же природу,что и серия собственных значений, лежащих на Γ, описанная в теореме 1.Всюду в дальнейшем литерой C, быть может, с аргументами в скобках,но без индексов и надстрочных знаков, обозначены положительные (вообщеговоря, различные) константы (зависящие только от аргументов в скобках).22Глава 1Геометрические свойства приближенийЛиувилля-ГринаВ основе используемого подхода к проблеме квазиклассической локализацииспектра для задачи (1)-(2) лежит метод фазовых интегралов или метод ВКБ.В настоящей главе вводятся основные определения и устанавливаются (внеобходимой для наших целей общности) утверждения, описывающие асимптотику решений уравнения (1) при ε ↓ 0 с помощью приближений ЛиувилляГрина в случае линейной зависимости Q(z, λ) = Q(z) − λ от спектральногопараметра λ и где Q(z) – аналитическая функция.

Полученная техника позволяет разработать метод локализации собственных значений [51].1.1Асимптотика решений вдоль канонического путиОпределение. Кусочно-гладкий путь γ = γ(λ) ⊂ Cz называется каноническим для ветви S(z0 , z; λ) многозначной функцииZ zqiπ/4eQ(ζ, λ) dζ ,(1.1)z0если величина Re S(z0 , z; λ) изменяется монотонно вдоль γ.ВКБ-приближения для ФСР уравнения (1) и их производных по z с квалифицированными оценками остатков на канонических путях (см. [23], [30])дает23Предложение 1.1.1.

Пусть при каждом λ из ограниченной области Ωдля S(z0 , z; λ) существует канонический путь γ = γ(λ), удовлетворяющий условиюZ ρ(Ω) := supλ∈Ωγ|Q00 (z, λ)||Q0 (z, λ)|2+|Q(z, λ)|3/2|Q(z, λ)|5/2| dz| < ∞ .Тогда при достаточно малых ε > 0 и всех λ ∈ Ω у уравнения (1) существуют решения Y± (z, λ), имеющие на γ вид−1/4Y± (z, λ) = Q(z, λ)−1/2exp ± εS(z0 , z; λ) 1 + r± (z, λ) ,(1.2) iπ/4 −1/2= ±Q(z, λ) exp ± εS(z0 , z; λ) e ε+ rb± (z, λ) , (1.3)где | r± (z, λ)| 6 2 exp(2ε1/2 ρ(Ω)) − 1 и, кроме того,0Q(z,λ)1/2 rb± (z, λ) ±(1+r(z,λ))62exp(2ερ(Ω))−1.±4Q(z, λ)3/2Y±0 (z, λ)1/4−1/2Доказательство предложения 1.1.1 следует схеме, изложенной в [25].Зависимость от λ в обозначении для S(z0 , z; λ) в дальнейшем явно указывается лишь там, где это существенно.

В качестве z0 = z0 (λ) как правило выбирается начало соответствующего канонического пути, которое всегдабудет равномерно по λ ∈ Ω отделено от точек поворота, т. е. корней уравнения Q(z) = λ, и расположено в некоторой ограниченной области плоскостиCz . Для применения метода ВКБ будет проверяться следующее достаточноеусловие: если αk (λ), k ∈ K0 – все корни уравнения Q(z, λ) = 0, и выполненыусловия r(γ) := mink∈K0 inf λ∈Ω dist{αk (λ), γ} > 0 и l(γ) : = supλ∈Ω |γ| < ∞,то оценки для приближений решений и их производных равномерны по z ∈ γи λ ∈ Ω.При исследовании квазиклассической локализации спектра методом фазовых интегралов возникают специфические обстоятельства, связанные с явлением Стокса, состоящим в том, что в различных частях окрестности точки24поворота коэффициенты линейной комбинации функций вида (1.2)-(1.3), задающей асимптотику некоторого решения уравнения (1), оказываются различными.

Связь между этими коэффициентами обсуждается в [23] и [26]в предположении, что известна топологическая структура линий Стокса, т.е.линий уровня Re S(z0 , z; λ) = const, выходящих из точек поворота. В работе [18] был предложен способ отыскания указанных коэффициентов, нетребующий априорной (и избыточной для наших целей) информации о расположении линий Стокса, использующий фундаментальные свойства линийуровня в окрестности точек поворота.1.2Структура линий уровняВыражение F (z) dz 2 называется квадратичным дифференциалом (см.

[3],[43], [47]), кривые, на которых F (z) dz 2 > 0 – траекториями квадратичного дифференциала, а на которых F (z) dz 2 < 0 – ортогональными траекториями. При фиксированном λ линии уровня {z : Im S(z0 , z; λ) = const}являются траекториями квадратичного дифференциала i(Q(z) − λ) dz 2 , а{z : Re S(z0 , z; λ) = const} – ортогональными траекториями этого квадратичного дифференциала.Распространяя известные результаты (см. теоремы 8.1 и 8.2, леммы 8.3 и8.4 из [43]) на случай зависимости квадратичного дифференциала от параметра, получаем, что имеет местоЛемма 1.2.1. Пусть при фиксированном λ функция Q(z, λ) аналитичнав области U ⊂ Cz .

Тогда1) из каждого простого нуля α(λ) ∈ U функции Q(z, λ) выходят трилинии Стокса, угол между соседними линиями равен 2π/3;2) Множество {z ∈ U : Re S(z0 , z; λ) = const} не содержит компоненты,гомеоморфной окружности;253) Если область U ограничена и функция Q(z, λ) имеет в U единственный простой нуль α(λ), то каждая из трех линий Стокса с началом вточке α(λ) выходит из U ;Кроме того, как следствие теоремы 8.1 из [43], в достаточно малой окрестности α(λ) существуют образующие простой замкнутый контур три канонических для продолженной аналитически ветви S(z0 , z; λ) функции (1.1)пути.

В дальнейшем будет предполагаться существование канонических путей γ, γb, γe, удовлетворяющих условиям r(γ ∪ γb ∪ γe) > 0 и l(γ ∪ γb ∪ γe) < ∞.Обозначения выбираются таким образом, что контур γ ∪ γb ∪ γe – положительноориентирован, т.е. при его обходе в указанном порядке осуществляется обходα(λ) в положительном направлении. В случаях Q(z) = z 3 ± z каноническиепути будут указаны явно.Необходимые в дальнейшем локальные свойства линий уровня содержатприведенные ниже утверждения.Утверждение 1.2.2. Пусть для λ ∈ Ω существуют образующие замкнутый положительно ориентированный контур канонические для S(z0 , z; λ)пути γ, γb и γe, ограничивающие область, которая содержит единственный(простой) нуль α(λ) функции Q(z, λ).

Тогда любая линия Стокса с началомв α(λ) имеет непустое связное пересечение в точности с одной из кривыхγ, γe, γb.e `bДоказательство. В силу леммы 1.2.1 существуют три линии Стокса `, `,с началом в точке α(λ), каждая из которых выходит из области, ограниченнойγ, γe и γb, следовательно, пересекает по крайней мере один из этих канонических путей. Таким образом, множество точек пересечения некоторой линииуровня с границей указанной области непусто.При этом две линии Стокса не могут пересекать один канонический путь.Предположим, что ` и `e пересекают γ, а γ0 ⊂ γ соединяет точку множества26` ∩ γ с точкой множества `e∩ γ.

Тогда Re S(α(λ), z) = 0 для z ∈ γ0 ∪ ` ∪ `e ввидуканоничности γ, что невозможно в силу леммы 1.2.1. Таким образом, каждыйканонический путь имеет непустое пересечение с единственной линией уровня{z : Re S(α(λ), z) = 0}, выходящей из α(λ). Для завершения доказательствазаметим, что пересечение связно, так как в противном случае, ввиду каноничности пути, также существует компонента множества Re S(α(λ), z) = 0,гомеоморфная окружности. Доказательство окончено.В дальнейшем обозначения для линий Стокса и канонических путей буb `e пересекают пути γ, γb, γeдут согласованы в том смысле, что линии `, `,соответственно.Пусть G = G(λ) – область, ограниченная кривыми γ, γb и γe.

Зафиксируемточки z0 ∈ γb ∩ γ, z1 ∈ γb ∩ γe и z2 ∈ γ ∩ γe и выделим в подобласти G, ограниченной линиямиСтокса `b и `e и содержащей γ, однозначнуюаналитическую ветвь S(z0 , z) = S(z0 , z; λ), вподобласти G, ограниченной линиями Стокса`e и ` и содержащей γb, выделим однозначнуюb 0 , z) = S(zb 0 , z; λ) тааналитическую ветвь S(zb 0 , α(λ)) = S(z0 , α(λ)).кую, что S(zрис.1Наконец, выделим в подобласти G, ограниченной линиями Стокса ` и `b и соe 0 , z) = S(ze 0 , z; λ), такую что S(ze 2 , α(λ)) = S(z2 , α(λ)).держащей γe, ветвь S(zОбозначим через q(z, λ), qb(z, λ) и qe(z, λ) ветви функции Q(z, λ)−1/4 , соb 0 , z; λ) и S(ze 0 , z; λ) и, с точностью до знака,гласованные с S(z0 , z; λ), S(zопределяемые условиями q(z0 , λ) = qb(z0 , λ) и q(z2 , λ) = qe(z2 , λ); в силу того, что пути γ, γb и γe образуют положительно ориентированный замкнутыйконтур, справедливо соотношение qe(z1 , λ) = iqb(z1 , λ).С использованием леммы 1.2.1 и утверждения 1.2.2 устанавливаются следующие свойства ветвей функции (1.1):27Утверждение 1.2.3.Пусть при λ ∈ Ω существуют образующие за-мкнутый положительно ориентированный контур канонические для продолженной аналитически ветви S(z0 , z) пути γ, γb и γe, ограничивающиеобласть, которая содержит единственный (простой) нуль α(λ) функцииQ(z, λ).

Характеристики

Список файлов диссертации

Метод фазовых интегралов в одной задаче асимптотической теории возмущений
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6525
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее