Диссертация (1155075), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Таким же образом устанавливается каноничность γb1 . Наконец,√+для z ∈ (i/ 3, d) имеем arg(z − α−1(λ)) ∈ (−π/2, π/2), arg(z − α0+ (λ)) ∈√(π/2, 3π/2), при этом Q(z) ⊂ −2i/3 3 + iR+ . Ввиду непрерывности выбран√√ной ветви и поскольку Q(i/ 3) = 2i/3 3, получаем ϕ(z, λ) ∈ (−π/2, 3π/2).Следовательно, путь γ1 – канонический. Доказательство окончено.Отметим, что ввиду утверждения 1.2.3 имеют место знакоопределенностиRe S(αk+ (λ), z0 ) < 0, k = −1, 0.e 0 , z; λ) ветвь функции (1.1), получающуюся интегриОбозначим через S(zрованием ветви корняqqe λ)/2 ,Q(z, λ) =|Q(z, λ)| exp iϕ(z,41+(λ) + iR− , α0+ (λ) + iR+ , α1+ (λ) + iR+ , гдеопределенной в Cz с разрезами α−1+e λ) := arg(z − α−1(λ)) + arg(z − α0+ (λ)) + arg(z − α1+ (λ)). Отметим, чтоϕ(z,e 0 , z; λ) — непосредственное аналитическое продолжение S(z0 , z; λ) вдольS(zотрезка [d, h0 ].Лемма 2.1.3. Для λ ∈ Ω, где ограниченная область Ω принадлежит√вместе с замыканием множеству Π\[0, −2i/3 3], промежутки γe1 , γe2 – канонические пути для продолженной аналитически ветви функции S(z0 , z; λ).√Доказательство.

В случае z(s) = d + seiπ/4 , s ∈ (0, 2 Re h0 ), имеемIm (z(s) − αk+ (λ)) < 0, k = 0, ±1. При таких s, что Re z(s) > Re α0+ (λ),e λ) ∈ (−2π, 0),выполнено Re (z(s) − αk+ (λ)) > 0, k = −1, 0. Отсюда ϕ(z,e 0 , z) монотонна вдоль указанного участка.значит, Re S(zПри переходе к участку Re z(s) < Re α0+ (λ) ввиду определения h0 и поскольку в четвертом квадранте Im Q(x + iy) = |y|(y 2 − 3x2 − 1), причемp√|Im h0 | > 3Re α0+ (λ) + 1 > 3(Re α0+ (λ))2 + 1, получаем Im Q(z(s), λ) > 0.e 0 , z) монотонна вдоль γe λ) ∈ (−2π, −π), значит, Re S(ze2 .Таким образом, ϕ(z,Случай промежутка γe1 и соответствующей ветви рассматривается аналогично.

Доказательство окончено.Утверждение 2.1.4. Для λ ∈ Ω, где ограниченная область Ω принад√лежит вместе с замыканием множеству Π \ [0, −2i/3 3], каноническиепути γb1 , γ1 , γe1 , γ2 , γe2 равномерно ограничены и отделены от точек αk+ (λ),k = −1, 0, 1.Доказательство. В силу (2.1), величина Im (α1+ (λ) − z) для λ ∈ Ω иz ∈ γb1 ∪ γ1 ∪ γe1 ∪ γ2 ∪ γe2 равномерно отделена от нуля.Ввиду однолистности Q(z) в каждом квадранте вплоть до вещественнойоси, найдется δ > 0 такое, что αk+ (Ω), k = −1, 0, не пересекают δ-окрестноститочек ±1.

Следовательно, с учетом (2.1) и непрерывности αk+ (λ), отрезки√[±1, ±1 + i/ 3] и промежутки [Re hj , (−1)j ), j = −1, 0, равномерно отделены42√от αk+ (λ), λ ∈ Ω. Далее, величины |Re(hj − αk+ (λ))| и |Im (i/ 3 − αk+ (λ))| равномерно отделены от нуля, стало быть, канонические пути γb1 и γ2 равномерноотделены от αk+ (Ω). Аналогично, поскольку величины Im (hj − αk+ (λ)) отрицательны и равномерно отделены от нуля, то γe1 и γe2 равномерно отделены от√√точек поворота. Наконец, ввиду включения Q((i/ 3, d)) ⊂ −2i/3 3 + iR+ инепрерывности Q(z), кривая γ1 равномерно отделена от точек αk+ (λ).Таким образом,r0 := min inf dist{αk+ (λ), γ1 ∪ γb1 ∪ γe1 ∪ γ2 ∪ γe2 } > 0.k=0,±1 λ∈ΩКроме того, поскольку указанные пути состоят из конечного числа отрезков√и лежат в прямоугольнике |Re z| < max(Re h0 , 3 2), |Im z| < |Im d|, тоl0 : = sup[|γ1 | + |γb1 | + |γe1 | + |γ2 | + |γe2 |] < ∞.λ∈ΩДоказательство окончено.Как следствие, введенные пути удовлетворяют условию ρ(Ω) < ∞.

Суммируя результаты лемм 2.1.2 - 2.1.3 и утверждения 2.1.4, получаемПредложение 2.1.5. При λ ∈ Ω, где ограниченная область Ω принад√лежит вместе с замыканием множеству Π \ [0, −2i/3 3], существуютобразующие простой замкнутый положительно ориентированный контурканонические для продолженной аналитически ветви S(z0 , z; λ) функции(1.1) пути γ1 , γb1 и γe1 , область ими ограниченная содержит единственный+(простой) нуль α−1(λ) функции Q(z, λ). Кроме того, существуют образу-ющие простой замкнутый положительно ориентированный контур канонические пути γ2 , γb2 и γe2 , область ими ограниченная содержит α0+ (λ) и не+содержит α±1(λ).

При этом r0 > 0, l0 < ∞ и Re S(z0 , αk+ (λ); λ) > 0,k = −1, 0.Конструкция канонических путей γb1 , γ2 распространяется (с сохранением равномерной ограниченности длин и отделенности от точек поворота) из√Π+ вплоть до участка [0, 2) вещественной и участка (−2i/3 3, 0] мнимой43оси, если надлежащим образом (по непрерывности) выбираются предельные значения αk+ (λ). Для проверки этого факта достаточно в доказательстве леммы 2.1.2 и утверждения 2.1.4 учесть, что при таком продолжении√−([0, 2)) ⊂ R− .α0+ ([0, 2)) = [0, 1), αk+ ((0, −2i/3 3)) ⊂ iR− , k = −1, 0, и Im α−12.2Фундаментальные системы решений и характеристическийопределительПредложение 2.1.5 позволяет дважды применить предложение 1.3.1: в слу+чае кривых γb1 , γe1 , γ1 для α(λ) = α−1(λ) и в случае кривых γb2 , γe2 , γ2 дляα(λ) = α0+ (λ).

Таким образом, находим коэффициенты линейных комбинаций, посредством которых ФСР, имеющая представления (1.2) − (1.3) на кривой, содержащей точку −1, выражается через ФСР, имеющую представления(1.2) − (1.3) на кривой, содержащей точку 1. Получаем следующую лемму:Лемма 2.2.1. Если ограниченное множество Ω содержится вместе со√своим замыканием в Π \ [0, −2i/3 3], то существуют εb1 = εb1 (Ω) > 0 иC = C(Ω) > 0, такие что при ε ∈ (0, εb1 ) и λ ∈ Ω уравнение (1) имеет ФСРA± (z, λ), B± (z, λ) и C± (z, λ) с асимптотиками (1.2) − (1.3) на γb1 , γ1 и γ2соответственно, для z ∈ γb1 ∪ γ1 имеют место соотношенияA+ (z, λ) = B+ (z, λ) 1 + Θ1 (λ) + B− (z, λ)Θ2 (λ),+A− (z, λ) = −iB+ (z, λ) exp 2ε−1/2 S(α−1(λ), z0 ) 1 + Θ3 (λ) ++ B− (z, λ) 1 + Θ4 (λ) ,а для z ∈ γ1 ∪ γ2B+ (z, λ) = C+ (z, λ) 1 + Θ5 (λ) + C− (z, λ)Θ6 (λ),B− (z, λ) = −iC+ (z, λ) exp 2ε−1/2 S(α0+ (λ), z0 ) 1 + Θ7 (λ) ++ C− (z, λ) 1 + Θ8 (λ) ,44где |Θj (λ)| < Cε1/2 , j = 1, ..., 8.Здесь ФСР A± (z, λ) уравнения (1) имеет асимптотикиA± (z, λ) = q(z, λ) exp ± ε−1/2 S(z0 , z) 1 + a± (z, λ) ,|a± (z, λ)| < C(Ω)ε1/2на γb1 , для ФСР B± (z, λ), при z ∈ γ1 справедливы представленияB± (z, λ) = q(z, λ) exp ± ε−1/2 S(z0 , z) 1 + b± (z, λ) ,|b± (z, λ)| < C(Ω)ε1/2и ФСР C± (z, λ) имеет на γ2 асимптотические представленияC± (z, λ) = q(z, λ) exp ± ε−1/2 S(z0 , z) 1 + c± (z, λ) ,|c± (z, λ)| < C(Ω)ε1/2 .Лемма 2.2.2.

Если ограниченное множество Ω содержится вместе со√своим замыканием в Π \ [0, −2i/3 3], то существуют εb2 = εb2 (Ω) > 0 иC = C(Ω) > 0, такие что при ε ∈ (0, εb2 ) для λ ∈ Ω имеют место следующиесоотношенияA+ (1, λ) = C+ (1, λ) 1 + A1 (λ) ,+A− (1, λ) = −iC+ (1, λ) exp 2ε−1/2 S(α−1(λ), z0 ) 1 + A2 (λ) −− iC+ (1, λ) exp 2ε−1/2 S(α0+ (λ), z0 ) 1 + A3 (λ) ++ C− (1, λ) 1 + A4 (λ) ,где |Aj (λ)| < Cε1/2 , j = 1, 2, 3, 4.Доказательство. Используя указанное в лемме 2.2.1 представление дляфункции A+ (z, λ) при z ∈ γb1 и ε ∈ (0, εb1 ), с учетом знакоопределенностиRe S(α0+ (λ), z0 ) < 0 и каноничности пути γ1 , получаемA+ (1, λ) = B+ (1, λ) 1 + Θ1 (λ) + B− (1, λ)Θ2 (λ) == C+ (1, λ) 1 + Θ5 (λ) + C− (1, λ)Θ6 (λ) 1 + Θ1 (λ) −−iC+ (1, λ) exp 2ε−1/2 S(α0+ (λ), z0 ) 1 + Θ7 (λ) Θ2 (λ)++C− (1, λ) 1 + Θ8 (λ) Θ2 (λ) =45= C+ (1, λ) 1 + A1 (λ) ,|A1 (λ)| < Cε1/2 .Аналогично получаем представление функции A− (z, λ) в точке z = 1:A− (1, λ) = −i C+ (1, λ) 1 + Θ5 (λ) + C− (1, λ)Θ6 (λ) ×+× exp 2ε−1/2 S(α−1(λ), z0 ) 1 + Θ3 (λ) −−iC+ (1, λ) exp 2ε−1/2 S(α0+ (λ), z0 ) 1 + Θ7 (λ) 1 + Θ4 (λ) ++C− (1, λ) 1 + Θ8 (λ) 1 + Θ4 (λ) =+= −iC+ (1, λ) exp 2ε−1/2 S(α−1(λ), z0 ) 1 + A2 (λ) −−iC+ (1, λ) exp 2ε−1/2 S(α0+ (λ), z0 ) 1 + A3 (λ) + C− (1, λ) 1 + A4 (λ) .Здесь |Aj (λ)| < Cε1/2 , j = 2, 3, 4.

Доказательство окончено.В результате для ФСР A± (z, λ) получаются асимптотические представления с равномерными оценками остатков. Для того, чтобы установить аналитичность характеристического определителя, введем в рассмотрение ФСРD± (z, λ) с представлениями вида (1.2) − (1.3) на отрезке с фиксированнымиконцами.Лемма 2.2.3. Если ограниченное множество Ω содержится вместе со√своим замыканием в Π \ [0, −2i/3 3], то для λ ∈ Ω существует ФСРD± (z, λ) уравнения (1), и такие постоянные εb3 = εb3 (Ω) > 0 и C = C(Ω) > 0,√что при ε ∈ (0, εb3 ) на отрезке [0, −i/ 3] справедливы представления:no−1/2D± (z, λ) = q(z, λ) exp ±εS(0, z) (1 + d± (z, λ))no0−1/2 iπ/4 −1−1/2b ± (z, λ))D± (z, λ) = ±εe q (z, λ) exp ±εS(0, z) (1 + db ± (z, λ)| < Cε1/2 .и имеют место оценки |d± (z, λ)| < Cε1/2 , |dФСР D± (z, λ) зависит от параметра λ ∈ Ω аналитически (см.

[2]).Лемма 2.2.4. Если ограниченное множество Ω содержится вместе со√своим замыканием в Π \ [0, −2i/3 3], то существуют εb4 = εb4 (Ω) > 0 и46C = C(Ω) > 0, такие что при ε ∈ (0, εb4 ) для λ ∈ Ω на γ1 имеют местосоотношенияD (z, λ)B (z, λ) + = A(λ)  +,D− (z, λ)B− (z, λ)|1 − det A(λ)| < Cε1/2 .Доказательство леммы 2.2.4 сводится к рассмотрению системы D (z, λ)a (λ) a12 (λ)00B (z, λ) +  11 + D− (z, λ) a21 (λ) a22 (λ)00  B− (z, λ)= 0  0D+ (z, λ)  00a11 (λ) a12 (λ) B+ (z, λ) 00D− (z, λ)00a21 (λ) a22 (λ)B− (z, λ)в точке z = 0 при малых ε > 0.

Асимптотическое представление для нормированного характеристического определителя, построенного по ФСР D± (z, λ),и таким образом аналитического по λ, описываетПредложение 2.2.5. Если ограниченное множество Ω содержится вме√сте со своим замыканием в Π\[0, −2i/3 3], то существуют εb5 = εb5 (Ω) > 0и C = C(Ω) > 0, такие что при ε ∈ (0, εb5 ) и λ ∈ Ω характеристическийопределитель ∆+ (λ) имеет видexp ε−1/2 S(1, −1) 1 + Φ1 (λ) − exp ε−1/2 S(−1, 1) 1 + Φ2 (λ) −no−1/2++−i exp εS(α0 (λ), 1) + S(α−1 (λ), −1) ×h+× exp ε−1/2 S(α0+ (λ), α−1(λ)) 1 + Φ3 (λ) + −1/2i+++ exp εS(α−1 (λ), α0 (λ)) 1 + Φ4 (λ) ,где | Φj (λ)| 6 Cε1/2 , j = 1, 2, 3, 4.Доказательство. Построим характеристический определитель по ФСРA± (z, λ).

Характеристики

Список файлов диссертации