Диссертация (1155075), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Таким об-разом, находим коэффициенты линейных комбинаций, посредством которыхФСР, имеющая представления (1.2) − (1.3) на кривой, содержащей точку −1,выражается через ФСР, имеющую представления (1.2) − (1.3) на кривой, содержащей точку 1. Получаем следующие леммы:Лемма 3.2.1. Если ограниченное множество Ω содержится вместе со√своим замыканием в Π+ \ {0, 2/3 3}, то существуют εe1 = εe1 (Ω) > 0 и70C = C(Ω), такие что при ε ∈ (0, εe1 ) и λ ∈ Ω уравнение (1) имеет ФСРA± (z, λ) и B± (z, λ) с асимптотиками (1.2) − (1.3) на γb1 и γ1 соответственно, при z ∈ γb1 ∪ γ1 имеют место следующие соотношенияA+ (z, λ) = B+ (z, λ) 1 + Θ1 (λ) + B− (z, λ)Θ2 (λ),−A− (z, λ) = −iB+ (z, λ) exp 2ε−1/2 S(α−1(λ), z0 ) 1 + Θ3 (λ) ++ B− (z, λ) 1 + Θ4 (λ) ,где |Θj (λ)| < Cε1/2 , j = 1, 2, 3, 4.Здесь ФСР A± (z, λ) уравнения (1) имеет асимптотикиA± (z, λ) = q(z, λ) exp ± ε−1/2 S(z0 , z) 1 + a± (z, λ) ,|a± (z, λ)| < C(Ω)ε1/2на γb1 и для ФСР B± (z, λ), при z ∈ γ1 справедливы представленияB± (z, λ) = q(z, λ) exp ± ε−1/2 S(z0 , z) 1 + b± (z, λ) ,|b± (z, λ)| < C(Ω)ε1/2Лемма 3.2.2.

Если ограниченное множество Ω содержится вместе со√своим замыканием в Π+ \ {0, 2/3 3}, то существуют εe2 = εe2 (Ω) > 0 иC = C(Ω) > 0, такие что при ε ∈ (0, εe2 ) и λ ∈ Ω уравнение (1) имеет ФСРB± (z, λ) и C± (z, λ) с асимптотиками (1.2) − (1.3) на γ2 и γb2 соответственно, при z ∈ γ2 ∪ γb2 имеют место следующие соотношения:B+ (z, λ) = C+ (z, λ) exp ε−1/2 S(z0 , h0 ) 1 + Θ5 (λ) ++iC− (z, λ) exp ε−1/2 S(h0 , α0− (λ)) + S(z0 , α0− (λ)) 1 + Θ6 (λ) ,B− (z, λ) = C+ (z, λ) exp ε−1/2 (S(h1 , z0 ) + S(h1 , h0 )) Θ7 (λ)++C− (z, λ) exp ε−1/2 S(h0 , z0 ) 1 + Θ8 (λ) .где |Θj (λ)| < Cε1/2 , j = 5, 6, 7, 8.Доказательство.

Согласно предложению 1.1.1, при достаточно малыхε > 0 на γb2 существует ФСР C± (z, λ) с представлениямиC± (z, λ) = q(z, λ) exp ± ε−1/2 S(h0 , z) (1 + c± (z, λ)),71|c± (z, λ)| < C(Ω)ε1/2 .e± (z, λ), Ce± (z, λ), полуВведем в рассмотрение вспомогательные ФСР Bченные с помощью предложения 1.1.1 и определенные на канонических дляфункции S ∗ (z0 , z; λ) = −S(z0 , z; λ) путях γ2 и γb2 соответственно. Обозначимчерез q ∗ (z, λ) := iq(z, λ) ветвь Q(z, λ)−1/4 , согласованную с S ∗ (z0 , z; λ).Тогда, еслиno∗−1/2 ∗eB± (z, λ) = q (z, λ) exp ±εS (h1 , z) (1 + r± (z, λ)),no∗−1/2 ∗eC± (z, λ) = q (z, λ) exp ±εS (h1 , z) (1 + rb± (z, λ)),где |r± (z, λ)| < C(Ω)ε1/2 , |rb± (z, λ)| < C(Ω)ε1/2 , тоe∓ (z, λ) = −i exp{±ε−1/2 S(h1 , z0 )}(1 + r∓ (z, λ))(1 + b± (z, λ))−1 B± (z, λ),Be∓ (z, λ) = −i exp{±ε−1/2 S(h1 , h0 )}(1 + rb∓ (z, λ))(1 + c± (z, λ))−1 C± (z, λ)Cна γ2 и γb2 соответственно. Таким образом, применяя предложение 1.3.1, прималых ε > 0 получаем eeC (z, λ)a aB (z, λ) + =  11 12   +,eeC− (z, λ)a21 a22B− (z, λ)e 1 (λ),a11 = 1 + Θ −1/2 ∗ −ea21 = −i exp 2εS (α0 (λ), h1 ) 1 + Θ3 (λ) ,e 2 (λ),a12 = Θe 4 (λ),a22 = 1 + Θe j (λ)| < Cε1/2 .

Значит, при достаточно малых ε > 0 в точке z = h1где |Θполучаем−1/2exp{−εS(z0 , h1 )}B+ (h1 , λ)=−1/2exp{εS(z0 , h1 )}B− (h1 , λ)eea (1 + Θ5 (λ)) −a21 (1 + Θ6 (λ))1× 11=a11 a22 − a12 a21 −a12 (1 + Θe 7 (λ)) a22 (1 + Θe 8 (λ))−1/2exp{−εS(h0 , h1 )}C+ (h1 , λ),×−1/2exp{εS(h0 , h1 )}C− (h1 , λ)72e j (λ)| < Cε1/2 , j = 5, 6, 7, 8. Таким образом, ФСР связаны соотношениемгде |ΘB+ (z, λ) = C+ (z, λ) exp ε−1/2 S(z0 , h0 ) 1 + Θ5 (λ) ++iC− (z, λ) exp ε−1/2 S(h0 , α0− (λ)) + S(z0 , α0− (λ)) 1 + Θ6 (λ) ,B− (z, λ) = C+ (z, λ) exp ε−1/2 (S(h1 , z0 ) + S(h1 , h0 )) Θ7 (λ)++C− (z, λ) exp ε−1/2 S(h0 , z0 ) 1 + Θ8 (λ) .где |Θj (λ)| < Cε1/2 , j = 5, 6, 7, 8.

Доказательство окончено.Применяя лемму 3.2.1 и лемму 3.2.2, получаем формулы связи для ФСРA± (z, λ) и C± (z, λ).Лемма 3.2.3. Если ограниченное множество Ω содержится вместе со√своим замыканием в Π+ \ {0, 2/3 3}, то существуют εe3 = εe3 (Ω) > 0 иC = C(Ω) > 0, такие что при ε ∈ (0, εe3 ) для λ ∈ Ω имеют место следующиесоотношенияA+ (1, λ) = C+ (1, λ) exp ε−1/2 S(z0 , h0 ) 1 + A1 (λ) ++ iC− (1, λ) exp ε−1/2 S(h0 , α0− (λ)) + S(z0 , α0− (λ)) 1 + A2 (λ) ,−−A− (1, λ) = −iC+ (1, λ) exp ε−1/2 S(α−1(λ), z0 )+S(α−1(λ), h0 ) 1+A3 (λ) +h+ C− (1, λ) exp ε−1/2 S(h0 , z0 ) 1 + A4 (λ) + −1/2i−−−−+ exp εS(h0 , α0 (λ)) + S(α−1 (λ), α0 (λ)) + S(α−1 (λ), z0 ) 1 + A5 (λ) ,где |Aj (λ)| < Cε1/2 , j = 1, 2, 3, 4, 5.Доказательство.

Для функции A+ (z, λ) при достаточно малых ε > 073имеемA+ (1, λ) = B+ (1, λ) 1 + Θ1 (λ) + B− (1, λ)Θ2 (λ) =h= C+ (1, λ) exp ε−1/2 S(z0 , h0 ) 1 + Θ5 (λ) + −1/2i−−+ iC− (1, λ) exp εS(h0 , α0 (λ)) + S(z0 , α0 (λ)) 1 + Θ6 (λ) 1 + Θ1 (λ) +h+ C+ (1, λ) exp ε−1/2 (S(h1 , z0 ) + S(h1 , h0 )) Θ7 (λ) + C− (1, λ)× −1/2i× exp εS(h0 , z0 ) 1 + Θ8 (λ) Θ2 (λ) == C+ (1, λ) exp ε−1/2 S(z0 , h0 ) 1 + A1 (λ) ++ iC− (1, λ) exp ε−1/2 S(h0 , α0− (λ)) + S(z0 , α0− (λ)) 1 + A2 (λ) ,так как S(h0 , z0 ) = S(h0 , α0− (λ)) + S(α0− (λ), z0 ) и Re S(α0− (λ), z0 ) < 0, и где|Aj (λ)| < Cε1/2 , j = 1, 2.Для функции A− (z, λ) имеемhA− (1, λ) = −i C+ (1, λ) exp ε−1/2 S(z0 , h0 ) 1 + Θ5 (λ) + −1/2i−−+ iC− (1, λ) exp εS(h0 , α0 (λ)) + S(z0 , α0 (λ)) 1 + Θ6 (λ) ×−× exp 2ε−1/2 S(α−1(λ), z0 ) 1 + Θ3 (λ) +h+ C+ (1, λ) exp ε−1/2 (S(h1 , z0 ) + S(h1 , h0 )) Θ7 (λ)+i+ C− (1, λ) exp ε−1/2 S(h0 , z0 ) 1 + Θ8 (λ) 1 + Θ4 (λ) =−−= −iC+ (1, λ) exp ε−1/2 S(α−1(λ), z0 ) + S(α−1(λ), h0 ) 1 + A3 (λ) +h+ C− (1, λ) exp ε−1/2 S(h0 , z0 ) 1 + A4 (λ) + −1/2i−−−−+ exp εS(h0 , α0 (λ)) + S(α−1 (λ), α0 (λ)) + S(α−1 (λ), z0 ) 1 + A5 (λ) ,где |Aj (λ)| < Cε1/2 , j = 3, 4, 5, поскольку, в силу каноничности γb2 , имеемC+ (1, λ) exp ε−1/2 (S(h1 , z0 ) + S(h1 , h0 )) Θ7 (λ)++C− (1, λ) exp ε−1/2 (S(h0 , h1 ) + S(h1 , z0 )) 1 + Θ8 (λ) == C− (z, λ) exp{ε−1/2 S(h0 , z0 )}(1 + A4 (λ)) .74Доказательство окончено.В результате для ФСР A± (z, λ) в точках −1 и 1 получаются асимптотические представления с равномерными оценками остатков.

Для доказательствааналитичности характеристического определителя введем в рассмотрение дополнительную ФСР D± (z, λ), имеющую асимптотическое представление вида(1.2)-(1.3) на отрезке с фиксированными концами.Лемма 3.2.4. Если ограниченное множество Ω содержится вместе со√своим замыканием в Π+ \ {0, 2/3 3}, то для λ ∈ Ω существует ФСРD± (z, λ) уравнения (1) и постоянные εe4 = εe4 (Ω) > 0, C = C(Ω) > 0, такие√что при ε ∈ (0, εe4 ) на отрезке [−1 + i 2, −1] справедливы представления:√D± (z, λ) = q(z, λ) exp ± ε−1/2 S(−1 + i 2, z) (1 + d± (z, λ)),√0b ± (z, λ)),D±(z, λ) = ±ε−1/2 eiπ/4 (q(z, λ))−1 exp ±ε−1/2 S(−1+i 2, z) (1+ db ± (z, λ)| < Cε1/2 .и имеют место оценки |d± (z, λ)| < Cε1/2 , |dЛемма 3.2.5.

Если ограниченное множество Ω содержится вместе со√своим замыканием в Π+ \ {0, 2/3 3}, то существуют εe5 = εe5 (Ω) > 0 иC = C(Ω), такие что при ε ∈ (0, εe5 ) для λ ∈ Ω на кривой γb1 ФСР A± (z, λ)и D± (z, λ) связаны соотношениемD (z, λ)A (z, λ) + = A(λ)  +,D− (z, λ)A− (z, λ)где A(λ) – неособая матрица, такая что | det A(λ) − 1| < Cε1/2 .Предложение 3.2.6. Если ограниченное множество Ω содержится вме√сте со своим замыканием в Π+ \ {0, 2/3 3}, то для λ ∈ Ω существуютεe6 = εe6 (Ω) > 0 и C = C(Ω), такие что при ε ∈ (0, εe6 ) характеристический определитель, построенный по ФСР D± (z, λ), является аналитической функцией и имеет вид∆− (λ) = exp ε−1/2 S(1, −1) 1 + Φ1 (λ) − exp ε−1/2 S(−1, 1) 1 + Φ2 (λ) −75−−−i exp ε−1/2 S(α−1(λ), 1) + S(α−1(λ), −1) 1 + Φ3 (λ) −−i exp ε−1/2 S(1, α0− (λ)) + S(−1, α0− (λ)) 1 + Φ4 (λ) +−−+ exp ε−1/2 S(1, α0− (λ)) + S(α−1(λ), α0− (λ)) + S(α−1(λ), −1) 1 + Φ5 (λ) ,(3.3)где |Φj (λ)| < C(Ω)ε1/2 , j = 1, 2, 3, 4, 5.Доказательство.

Ввиду асимптотических формул для A± (1, λ), имеемA+ (−1, λ)A− (1, λ) − A+ (1, λ)A− (−1, λ) == A+ (−1, λ)×−−× − iC+ (1, λ) exp ε−1/2 S(α−1(λ), z0 ) + S(α−1(λ), h0 ) 1 + A3 (λ) +h+C− (1, λ) exp ε−1/2 S(h0 , z0 ) 1 + A4 (λ) + −1/2i−−−−+exp εS(h0 , α0 (λ))+S(α−1 (λ), α0 (λ))+S(α−1 (λ), z0 ) 1 + A5 (λ) −− C+ (1, λ) exp ε−1/2 S(z0 , h0 ) 1 + A1 (λ) + −1/2−−+iC− (1, λ) exp εS(h0 , α0 (λ)) + S(z0 , α0 (λ)) 1 + A2 (λ) A− (−1, λ).Таким образом, нормированный характеристический определитель имеет вид−1 q(−1, λ)q(1, λ)A+ (−1, λ)A− (1, λ) − A+ (1, λ)A− (−1, λ) == exp{ε−1/2 S(z0 , −1)}(1 + a+ (−1, λ))×−−× − i(1 + c+ (1, λ)) exp ε−1/2 S(α−1(λ), z0 ) + S(α−1(λ), 1) 1 + A3 (λ) +h−−+ × exp ε−1/2 S(1, α0− (λ)) + S(α−1(λ), α0− (λ)) + S(α−1(λ), z0 ) 1 + A5 (λ) + −1/2i+ exp εS(1, z0 ) 1 + A4 (λ) (1 + c− (1, λ)) −− (1 + c+ (1, λ)) exp ε−1/2 S(z0 , 1) 1 + A1 (λ) + −1/2−−+i(1 + c− (1, λ)) exp ε(S(1, α0 (λ)) + S(z0 , α0 (λ))) 1 + A2 (λ) ××exp{−ε−1/2 S(z0 , −1)}(1 + a− (−1, λ)).76Характеристический определитель, построенный по ФСР D± (z, λ), имеет видD+ (−1, λ) D+ (1, λ)A+ (−1, λ) A+ (1, λ) = det (A(λ)) ,∆(λ) = D− (−1, λ) D− (1, λ)A− (−1, λ) A− (1, λ)где | det A(λ) − 1| < C(Ω)ε1/2 , значит, существует εe6 = εe6 (Ω) > 0 такое, чтопри ε ∈ (0, εe6 ) имеем∆− (λ) = exp ε−1/2 S(1, −1) 1 + Φ1 (λ) − exp ε−1/2 S(−1, 1) 1 + Φ2 (λ) −−−−i exp ε−1/2 S(α−1(λ), 1) + S(α−1(λ), −1) 1 + Φ3 (λ) −−i exp ε−1/2 S(1, α0− (λ)) + S(−1, α0− (λ)) 1 + Φ4 (λ) +−−+ exp ε−1/2 S(1, α0− (λ)) + S(α−1(λ), α0− (λ)) + S(α−1(λ), −1) 1 + Φ5 (λ) ,где |Φj (λ)| < C(Ω)ε1/2 , j = 1, 2, 3, 4, 5.

Характеристики

Список файлов диссертации