Диссертация (1155075), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тогда функции Re S(α(λ), zk ; λ), k = 0, 1, 2, знакоопределены, а следующие свойства эквивалентны:1) имеет место знакоопределенность Re S(α(λ), z0 ) < 0;2) функция Re S(z0 , z) не убывает при движении вдоль γ от точки z0 ;b 0 , z) не убывает при движении вдоль γb от точки z0 ;3) функция Re S(ze 0 , z) не убывает при движении вдоль γe от точки z1 .4) функция Re S(zДоказательство. Предположим, что Re S(α(λ), z0 ) = 0, тогда в силуутверждения 1.2.2 и каноничности γ имеем z0 ∈ ` ∩ γ, а в силу каноничностиγb выполнено z0 ∈ `b ∩ γb, стало быть, ` ∪ `b содержит компоненту, гомеоморфную окружности, что невозможно в силу леммы 1.2.1.
Аналогично получаемзнакоопределенность величин Re S(α(λ), zk ), k = 1, 2.Далее, если Re S(α(λ), z0 ) < 0 и при этом Re S(z0 , z) не возрастает придвижении вдоль γ от точки z0 , то Re S(α(λ), z) < 0 при всех z ∈ γ, чтоневозможно в силу утверждения 1.2.2. Таким образом, Re S(z0 , z) не убываетпри движении вдоль γ от точки z0 .Обратно, если Re S(z0 , z) не убывает при движении вдоль γ от точки z0и Re S(α(λ), z0 ) > 0 то Re S(α(λ), z) > 0 при всех z ∈ γ, что невозможно,следовательно, первое и второе свойства эквивалентны.Для завершения доказательства достаточно установить эквивалентностьвторого и третьего свойств.
Пусть функция Re S(z0 , z) не убывает при двиb 0 , z) не возрастает при движении вдоль γbжении вдоль γ от точки z0 и Re S(zот точки z0 . Согласно утверждению 1.2.2 и каноничности путей, выполненоRe S(α(λ), z0 ; λ) = 0, что невозможно в силу доказанного выше. Таким жеобразом устанавливается, что Re S(z0 , z) не убывает при движении вдоль γ28b 0 , z) не убывает при движении вдоль γb отот точки z0 , если функция Re S(zточки z0 . Доказательство окончено.Из утверждений 1.2.2 и 1.2.3 непосредственно получаемСледствие 1.2.4. Если Re S(α(λ), z0 ) < 0, то имеют место знакоопреb 0 , z1 ) > 0 и Re S(ze 2 , z1 ) < 0, кроме того,деленности Re S(z0 , z2 ) > 0, Re S(zbee 1 , α(λ)) = −S(zb 1 , α(λ)).Re S(α(λ),z1 ) > 0, Re S(α(λ),z1 ) < 0, откуда S(z1.3Асимптотические формулы для матрицы переходаПродолжение ФСР в окрестность простой точки поворота с отслеживаниемизменения асимптотики осуществляется с помощью предложения 1.3.1, идеядоказательства которого состоит в следующем: в рассматриваемой ситуациисуществуют решения Y± (z, λ), Yb± (z, λ), Ye± (z, λ) уравнения (1) с асимптотиками (1.2)-(1.3) на канонических путях γ, γb, γe соответственно.
ФСР Yb± (z, λ)и Y± (z, λ) связаны при z ∈ γ ∪ γb соотношением bY (z, λ)Y (z, λ)a (λ) a2 (λ)Y (z, λ) + = A(λ) += 1 +,Yb− (z, λ)Y− (z, λ)a3 (λ) a4 (λ)Y− (z, λ)где A(λ) – матрица Стокса перехода от ФСР Yb± (z, λ) к ФСР Y± (z, λ). Асимптотика элементов этой матрицы при ε ↓ 0 вычисляется с учетом асимптотических представлений ФСР при z = z0 . Как следствие, |a3 (λ)| убывает приε ↓ 0 в то время как |Y+ (z, λ)| возрастает, что приводит к необходимостиуточнения асимптотики элемента a3 (λ).Для уточнения вводятся матрицы перехода B(λ), C(λ) такие что Ye (z, λ)Yb (z, λ)Ye (z, λ)b (λ) b2 (λ) +, + = B(λ) += 1ebeY− (z, λ)Y− (z, λ)Y− (z, λ)b3 (λ) b4 (λ) Ye (z, λ)Y (z, λ)c (λ) c2 (λ)Y (z, λ)= 1 +. + = C(λ) +eY− (z, λ)Y− (z, λ)c3 (λ) c4 (λ)Y− (z, λ)29Вычислив асимптотику элементов матрицы C(λ), используя приближения вточке z2 , и матрицы B(λ), с использованием приближений в точке z1 , учитывая, что B(λ)C(λ) = A(λ), получаем необходимую информацию.Предложение 1.3.1.
Пусть при λ ∈ Ω существуют образующие простой замкнутый положительно ориентированный контур канонические дляпродолженной аналитически ветви S(z0 , z; λ) функции (1.1) пути γ, γb и γe,такие что r(γ ∪ γb ∪ γe) > 0, l(γ ∪ γb ∪ γe) < ∞ и область ими ограниченная содержит единственный (простой) нуль z = α(λ) функции Q(z, λ), причемRe S(z0 , α(λ); λ) > 0. Тогда найдется ε0 > 0 такое, что для ε ∈ (0, ε0 ) иλ ∈ Ω уравнение (1) имеет две ФСР Y± (z, λ) и Yb± (z, λ) с асимптотиками(1.2)-(1.3) на γ и γb соответственно и при z ∈ γ ∪ γb справедливы формулысвязиYb+ (z, λ) = Y+ (z, λ) 1 + Θ1 (λ) + Y− (z, λ)Θ2 (λ) ,Yb− (z, λ) = −iY+ (z, λ) exp 2ε−1/2 S(α(λ), z0 ; λ) 1 + Θ3 (λ) ++Y− (z, λ) 1 + Θ4 (λ) ,(1.4)(1.5)где | Θj (λ)| 6 C(Ω)ε1/2 .Доказательство.
Согласно предложению 1.1.1 у уравнения (1) существуют ФСР Y± (z, λ) и Yb± (z, λ) с асимптотическими при ε ↓ 0 представлениямиY± (z, λ) = q(z, λ) exp ± ε−1/2 S(z0 , z; λ) 1 + r± (z, λ) ,Y±0 (z, λ) = ±eiπ/4 q(z, λ)−1 ε−1/2 exp ± ε−1/2 S(z0 , z; λ) 1 + r± (z, λ) ,b 0 , z; λ) 1 + rb± (z, λ) ,Yb± (z, λ) = qb(z, λ) exp ± ε−1/2 S(zb 0 , z; λ) 1 + bYb± (z, λ) = ±eiπ/4 qb(z, λ)−1 ε−1/2 exp ± ε−1/2 S(zr± (z, λ) ,z ∈ γ,z ∈ γb,причем |r± (z, λ)| < C(Ω)ε1/2 , |rb± (z, λ)| < C(Ω)ε1/2 , |r± (z, λ)| < C(Ω)ε1/2 и|br± (z, λ)| < C(Ω)ε1/2 . Подставляя эти формулы в соотношенияYb+ (z, λ) = a1 (λ)Y+ (z, λ) + a2 (λ) Y− (z, λ),Yb+0 (z, λ) = a1 (λ)Y+0 (z, λ) + a2 (λ) Y−0 (z, λ)30в точке z0 , получаемa1 (λ) =q(z1 , λ)−1 qb(z1 , λ)(1 + rb+ (z1 , λ))(1 + r− (z1 , λ))+a(λ)qb(z1 , λ)−1 q(z1 , λ)(1 + br+ (z1 , λ))(1 + r− (z1 , λ)),+a(λ)q(z1 , λ)−1 qb(z1 , λ)(1 + rb+ (z1 , λ))(1 + r+ (z1 , λ))a2 (λ) =−a(λ)qb(z1 , λ)−1 q(z1 , λ)(1 + br+ (z1 , λ))(1 + r+ (z1 , λ))−,a(λ)где a(λ) = (1 + r+ (z1 , λ))(1 + r− (z1 , λ)) + (1 + r+ (z1 , λ))(1 + r− (z1 , λ)), откуда√√a1 (λ) = 1 + O( ε), a2 (λ) = O( ε).
Аналогично имеемYb− (z, λ) = a3 (λ)Y+ (z, λ) + a4 (λ) Y− (z, λ),√√где a3 (λ) = O( ε), a4 (λ) = 1 + O( ε), ε ↓ 0.Согласно предложению 1.1.1 существует ФСР Ye± (z, λ) уравнения (1) спредставлениями√ e 2 , z; λ) 1 + O( ε) ,Ye± (z, λ) = qe(z, λ) exp ± ε−1/2 S(ze 2 , z; λ) 1 + eYe± (z, λ) = ±eiπ/4 qe(z, λ)−1 ε−1/2 exp ± ε−1/2 S(zr± (z, λ) ,z ∈ γe.При подстановке асимптотик решений Yb− (z, λ) и Ye± (z, λ) и их производныхв соотношенияYb− (z, λ) = b1 (λ)Ye+ (z, λ) + b2 (λ) Ye− (z, λ),Yb−0 (z, λ) = b1 (λ)Ye+0 (z, λ) + b2 (λ) Ye−0 (z, λ)в точке z = z1 , получаем√ b 0 , z1 ) − S(ze 2 , z1 ) 1 + O( ε) ,b1 (λ) = − i exp ε−1/2 − S(z √b 0 , z1 ) + S(ze 2 , z1 ) O( ε).b2 (λ) = exp ε−1/2 − S(zТаким же образом, подставляя асимптотические представления для Y± (z, λ)31и Ye± (z, λ) в соотношенияYe+ (z, λ) = c1 (λ)Y+ (z, λ) + c2 (λ) Y− (z, λ),Ye− (z, λ) = c3 (λ)Y+ (z, λ) + c4 (λ) Y− (z, λ)в точке z = z2 , будем иметь√ c1 (λ) = exp − ε−1/2 S(z0 , z2 ) 1 + O( ε) , √c3 (λ) = exp − ε−1/2 S(z0 , z2 ) O( ε).e 2 , z1 ) < 0 ввиду следствия 1.2.4, находимУчитывая, что Re S(z√ a3 (λ) = b1 (λ)c1 (λ) + b2 (λ)c3 (λ) = b1 (λ)c1 (λ) 1 + O( ε) =√ e 2 , z1 ) + S(zb 0 , z1 ) 1 + O( ε) .= − i exp − ε−1/2 S(z0 , z2 ) + S(zПри этом справедливо равенствоe 2 , z1 ) + S(zb 0 , z1 ) =S(z0 , z2 ) + S(ze 2 , α(λ)) + S(α(λ),e= S(z0 , α(λ)) + S(α(λ), z2 ) + S(zz1 ) +b 0 , α(λ)) + S(α(λ),b+ S(zz1 ) = 2S(z0 , α(λ)),e 1 , α(λ)) = −S(zb 1 , α(λ)) и, кромепоскольку в силу следствия 1.2.4 имеем S(ze 2 , α(λ)) = S(z2 , α(λ)), S(zb 0 , α(λ)) = S(z0 , α(λ)).
Отсюда получаемтого, S(z√ a3 (λ) = − i exp 2ε−1/2 S(α(λ), z0 ) 1 + O( ε) .Таким образом, найдется ε0 = ε0 (Ω) > 0 и C = C(Ω) > 0, такие что приε ∈ (0, ε0 ) справедливы формулы связи (1.4)-(1.5). Доказательство окончено.1.4Локализация собственных значенийОбщая схема применения описанной выше конструкции в ходе локализацииспектра задачи (1)-(2) состоит в следующем. Для фазового интеграла (1.1)строится соединяющая точки A и B цепочка замкнутых и состоящих из32канонических путей контуров, каждый из которых содержит внутри в точности одну из точек поворота уравнения (1), и такая, что два соседних контура включают в себя общий канонический путь. Применительно к каждомуиз контуров с помощью предложений 1.1.1 и 1.3.1 строятся ФСР с асимптотиками (1.2)-(1.3) на соответствующих канонических путях и вычисляютсяматрицы Стокса перехода от одной ФСР к другой с необходимой точностью.Перемножение найденных матриц Стокса соответствует продолжению решений Y± (z, λ) уравнения (1) вдоль построенной цепочки, что позволяет получить для них асимптотические формулы одновременно пригодные в точкахA и B.
Подстановка полученных таким образом формул в соответствующийусловиям (2) характеристический определительY+ (A, λ) Y+ (B, λ)∆(λ) = det Y− (A, λ) Y− (B, λ)дает асимптотическое при малых ε > 0 представление для аналитическойфункции ∆(λ), нулями которой являются искомые собственные значения.При локализации собственных значений задачи (1)-(2) будет систематически(см.
доказательства теорем 1-4 ) использоваться следующееПредложение 1.4.1. Пусть функция ϕ(a + ib) аналитична в областиD ⊂ Cλ , причем ∂Re ϕ(a + ib)/∂b > 0 и Re ϕ(λ) = 0 на некоторой кривойΓ ⊂ D, являющейся графиком функции b = f (a). Пусть, кроме того, в Dопределена аналитическая функция ∆(λ) такая, что для λ, принадлежащих однопараметрическому семейству множествΣ(δ) :=a + ib : g1 (δ) < a < g2 (δ), | b − f (a)| < g3 (δ) ⊂ D ,δ > 0,где g1 (δ) и g3 (δ) возрастают, а g2 (δ) убывает, имеет место представлениеe 1 (λ) + exp ε−1/2 ϕ(λ) − ic 1 + Φe 2 (λ) ,∆(λ) = exp − ε−1/2 ϕ(λ) + ic 1 + Φ33e j (λ)| 6 C(δ)ε1/2 и c ∈ R. Тогда найдутся εe0 = εe0 (δ) > 0 ив котором |ΦeC(δ)> 0 такие, что при ε ∈ (0, εe0 ) нули ∆(λ) в Σ(δ) расположены вeC(δ)ε-окрестностяхточек λn ∈ Γ, заданных условиемϕ(λn ) = iε1/2 πn − π/2 + c , n ∈ Z.Доказательство.
Поскольку ∂Re ϕ(a+ib)/∂b > 0 то функция ϕ(λ) отображает Γ∩Σ(δ) на промежуток оси iR взаимно-однозначно. Таким образом,точки λn ∈ Γ соотношениями ϕ(λn ) = iε1/2 πn − π/2 + c определены корректно, причем, ввиду C 1 -гладкости кривой Γ, расстояние между соседнимиλn ∈ Σ(δ) допускает двустороннюю оценку |λn+1 − λn | ε1/2 . Следовательно, поскольку dist Γ ∩ Σ(δ), ∂Σ(δ/2) > 0, то для произвольных δ > 0 иK > 0 найдется εe(0) = εe(0) (δ, K) > 0, такое что при ε ∈ (0, εe(0) ) все точкиλn ∈ Σ(δ) вместе со своими непересекающимися Kε-окрестностями лежат вобласти Σ(δ/2).Положим L = L(δ) :=infλ∈Σ(δ/2)b = C(δ)b| ϕ0 (λ)| и C= 4C(δ/2)/L. Устано-b для λn ∈ Γ ∩ Σ(δ) навим, что при достаточно малых ε ∈ (0, εe(0) (δ, C))b ⊂ Σ(δ/2), справедливо неравенствоокружностях | λ − λn | = Cε2 cos iε−1/2 ϕ(λ) + c >e 1 (λ) + exp ε−1/2 ϕ(λ) − ic Φe 2 (λ) , (1.6)> exp ic − ε−1/2 ϕ(λ) Φгде |Φj (λ)| 6 C(δ/2)ε1/2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
