Диссертация (1155075), страница 2
Текст из файла (страница 2)
При этом такназываемые канонические области (надлежащие объединения указанных областей) отображаются указанной функцией на всю плоскость с конечнымчислом вертикальных разрезов. В этих областях существуют фундаментальные системы решений (ФСР) с асимптотиками вида (3). Для ФСР, которыеотвечают различным каноническим областям, были вычислены асимптотикиматриц перехода. С использованием произведения этих матриц вычисляется асимптотика решения во всей плоскости с выброшенными окрестностямиточек поворота.Различные способы построения ВКБ-приближений и подробные исторические и библиографические обзоры, посвященные методу фазовых интегралов,приведены в монографиях Ф.
Олвера [12], Дж. Хединга [26], В. Вазова [2],и Н. Фреман, О. Фреман [36]. Метод ВКБ тесно связан с методом канонического оператора (см. [10]).Одним из основных приложений метода фазовых интегралов является исследование краевых задач на собственные значения. При этом особоевнимание уделяется изучению спектральных асимптотик — как по маломупараметру, стоящему при второй производной, так и по номеру собственного значения. Вопросы, связанные с предельными спектральными свойствамикраевых задач, изучались в работах многих авторов.В.
П. Маслов в работе [9] исследовал предельный переход при h ↓ 0 отточечного спектра дифференциального оператораd2−h 2 + u(x)dxк непрерывному спектру оператора умножения на u(x). Было, в частности,8установлено, что при достаточно малых ε > 0 собственное значение λin (ε) указанного оператора, такое что функция λin (ε) − u(x) имеет 2k нулей x1 , ..., x2k ,удовлетворяет одному из уравненийZ x2j q√11√λin (ε) − q(x) dx = π n ++ O( ε),ε x2j−12n ∈ N, j = 1, ..., k.Отсюда следует, что для произвольного числа µ , принадлежащего областизначений u(x) существует последовательность собственных значений, пределкоторой совпадает с µ.А.
А. Дородницын (см. [6]) исследовал краевую задачу на вещественномотрезке I = [0, c] :y 00 (x) + (λ2 r(x) + q(x))y(x) = 0ay 0 (0) = eay(0),by 0 (c) = eby(c),где λ – спектральный параметр, r(x) = xp(x), функции p(x) и q(x) достаточно гладкие и 0 < p(x) < M на I. Асимптотики решений при больших λбыли описаны в терминах функции Эйри, с помощью которых были получены формулы для собственных значений с большими номерами.Ю.
Н. Днестровский и Д. П. Костомаров (см. [5]) рассмотрели обобщеннуюзадачу на собственные значенияd2 w(z)+ k 2 Q(z, λ)w(z) = 0,2dzw(−∞) = w(∞) = 0с большим вещественным параметром k, вообще говоря, нелинейным вхождением спектральной переменной λ и комплекснозначной функцией Q(z, λ).На функцию Q(z, λ) накладывается ряд условий, обеспечивающих применимость метода ВКБ, описывающих свойства линий Стокса и точек поворотакак функций zj (λ). В указанных предположениях получена локализация собственных значений в O(k −2 )-окрестностях точек, определяемых условиямиh Z zl (λ) qicos kQ(ζ, λ) dζ = 0,zj (λ)9при этом выбор пар точек поворота, дающих вклад в спектральное множество, осуществляется на основе топологической структуры графа Стокса.Отметим, что расположение линий Стокса связано со структурой траекторий квадратичных дифференциалов (см. [3], [39], [43], [47]).С.
А. Степин исследовал (см. [14], [17]) распределение собственных значений задачи Штурма-Лиувилля для несамосопряженного уравнения Эйриiεy 00 (z) + (z − λ)y(z) = 0,y(−1) = y(1) = 0Было установлено, что при достаточно малых ε > 0 для произвольного δ > 0√спектр в области {Im λ > δ − 1/ 3, |λ ± 1| > δ} состоит из двух серий√3простых собственных значений λ±ε exp(±iπ/6)tn , где tn ⊂ R− –n ∼ ±1 ±нули функции Эйри.В работах С. А. Степина и А. А. Аржанова (см.
[18], [19]) исследована несамосопряженная задача Штурма-Лиувилля (1)-(2) для уравнения Вебера, т. е.в случае Q(z, λ) = z 2 −λ на отрезке [−1, 1]. С использованием биркгофовскойтехники канонических путей доказано, что для произвольного δ > 0 спектрпри Im λ > Im Λ + δ концентрируется при ε ↓ 0 вблизи луча arg λ = −π/4 икривой, заданной условием(Re eiπ/4√√1 − λ − λ ln1−λ+1√λ!)= 0,где Λ – единственная точка пересечения указанных кривых. Предложенныйподход к решению задачи не требует априорной информации о линиях Стокса(см., например, [13]).Случай близкого к линейному потенциала Q(z, λ) исследовался в работахС.
А. Степина и В. А. Титова (см. [20], [21]). Были получены условия дляфункции Q(z, λ), при которых предельная спектральная конфигурация изоморфна спектральному графу уравнения Эйри. Кроме того, для уравнения10Эйри был исследован вопрос о переходе собственных значений с мнимой оси−+−на одну из ветвей.
Доказано, что существуют две серии ε±k , εk < εk < εk−1 ,√таких что −i/ 3 является собственным значением, однократным при ε = ε−kи двукратным при ε = ε+k , вычислены первые члены соответствующих разложений в ряд Тейлора и Пьюизо.Недавними публикациями, наиболее близкими к настоящей диссертации,являются работы [7], [22], [33], [34], [37].Цель работыРазвитие метода квазиклассической локализации собственных значенийнесамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля с использованием аппроксимации характеристического определителя. Изучение асимптотического расположения спектра задачи Штурма-Лиувилля для уравнения с модельными полиномиальными потенциалами и малым чисто мнимым параметромпри второй производной.
Исследование геометрических свойств предельного спектрального множества.Научная новизнаОсновные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:1. Для уравнения с малым параметром при второй производной и полиномиальным потенциалом Q(z) разработан метод локализации спектра краевой задачи Штурма-Лиувилля на основе формул связи решений с ВКБасимптотиками и равномерными по спектральному параметру оценками остатков соответствующих приближений.2. В случае монотонного потенциала Q(z) = z 3 + z в правой полуплоскостинайдена область, асимптотически свободная от точек спектра рассматриваемой задачи.
Локализована кривая, которая служит предельным спектральным множеством, и получены правила квантования типа Бора-ЗоммерфельдаМаслова для соответствующих собственных значений.113. В случае потенциала Q(z) = z 3 − z в правой полуплоскости выделенамонотонная ветвь предельного спектрального комплекса, концевой вершиной которой является точка ветвления функции Q−1 (λ). Для собственныхзначений, концентрирующихся вблизи найденной кривой, получены локализационные формулы типа правил квантования с квалифицированной оценкойпогрешности.Методы исследованияВ работе использованы асимптотические методы, результаты комплексногоанализа и техника аналитической теории дифференциальных уравнений.Теоретическая и практическая ценностьДиссертация носит теоретический характер.
Ее результаты могут быть использованы в спектральной теории операторов, при изучении краевых задачв теории дифференциальных уравнений и гидродинамике.Апробация работыРезультаты диссертации докладывались на следующих научных семинарах:• Научный семинар “Дифференциальная геометрия и приложения”механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова подруководством профессора А. Т. Фоменко;• Научный семинар “Тригонометрические и ортогональные ряды”механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова подруководством профессора М. К. Потапова, профессора В. А.
Скворцова,профессора Т. П. Лукашенко и профессора М. И. Дьяченко;• Научный семинар лаборатории механики природных катастроф института проблем механики им. А. Ю. Ишлинского “Асимптотические методыв математической физике” под руководством профессора С. Ю. Доброхотова;12• Научный семинар математического института им. В.
А. Стеклова Российской академии наук “Комплексные задачи математической физики”под руководством профессора А. Г. Сергеева и доцента А. В. Домрина;• Научный семинар “Задачи дифференциальных уравнений, анализа иуправления: теория и приложения” механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора А. В.Фурсикова, профессора В. М. Тихомирова, профессора М. И.
Зеликинаи профессора В. Ю. Протасова;• Научный семинар “Актуальные проблемы геометрии и механики”механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова подруководством профессора Д. В. Георгиевского и профессора М. В. Шамолина;• Научный семинар “Теория рассеяния” механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора Р. А.Минлоса;• Научный семинар “Динамические системы и дифференциальные уравнения” механико-математического факультета МГУ имени М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
