Автореферат (1154388), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

3.1.1–3.1.3, эти две величины совпадают (теоремы3.1, 3.3, см. также54).Теорема 3.1, 3.3. При заданных ρ ∈ (0, 1), β ∗ > 0, α∗ ∈ [0, β ∗]справедливы равенства πα∗s (α , β ; ρ) = se(α , β ; ρ) = ρ  sin πρ + maxa>0∗∗∗∗∗1/ρaa2Z1/ρaa1β ∗a−ρ − α∗ τ −ρ dτ ,τ +1где a1 = a1 (α∗ , β ∗) и a2 = a2 (α∗ , β ∗) — корни уравненияa lne= α∗ / β ∗ ,aa1 6 1 6 a2 .(0.16)Нижняя грань se(α∗ , β ∗; ρ) достигается на некоторой возрастающей по-следовательности положительных чисел Λ0 с характеристикамиe ρ(Λ0 ) = ∆∗ρ (Λ0 ) = α∗ и ∆ρ∗ (Λ0) = β ∗.∆Для α∗ = 0 отсюда вытекает такое следствие.Теорема 3.4.

При фиксированных ρ ∈ (0, 1) и β ∗ > 0 справедливаточная, достижимая оценкаσρ (f ) > C(ρ)ρeβ ∗,где величина C(ρ) определена в (0.15).Нахождение наименьшего возможного ρ-типа целых функций с неизмеримыми нулями, лежащими на одном луче, имеет принципиальноезначение не только для внутреннего развития теории целых функций,54Брайчев Г. Г., Шерстюков В. Б. О росте целых функций с дискретно измеримыми нулями //Матем.

заметки. – 2012. – Т. 91, № 5. – С. 674-690.30но и представляет интерес в проблеме нахождения радиуса полноты систем экспонент55,49,56,51.В каждой из приведенных экстремальных задач ответ дается с помощью неэлементарных функций. В пп. 3.1.6, 3.1.7 устанавливаются некоторые свойства величины наименьшего возможного ρ-типа целой функα∗ции с положительными нулями. Именно, в обозначениях k ∗ := ∗ иβ1/ρπρ k ∗C (k , ρ) :=+ ρ maxb>0sin πρ∗∗baZ2b−ρ − k ∗ τ −ρdττ +11/ρba1устанавливается возрастание и выпуклость по параметру k ∗ величиныC ∗ (k ∗, ρ). Приводятся ее точные равномерные двусторонние оценки, выводятся и анализируются асимптотические формулы при ρ → 0.Следующим естественным шагом является изучение роста целыхфункций с нулями, расположенными не на одном, а на нескольких лучах или в угле.

На базе основного результата § 3.1, в §§ 3.2, 3.3.4 найденонаименьшее возможное значение типа при порядке ρ ∈ (0, m) целыхфункций с нулями заданных верхней и нижней плотностей или усредненных плотностей, расположенными на m лучах, делящих плоскостьна равные углы. В § 3.3 определяется наименьшее значение типа целыхфункций с нулями, имеющими заданные верхнюю и нижнюю усредненные плотности. При этом предполагается, что нули лежат либо в некотором угле, либо между двумя прямыми, либо на нескольких правильнорасположенных лучах, а также на некоторых более широких множествах(см.57). Совсем недавно А.

Ю. Попов58 определил наименьший возможный тип при порядке ρ ∈ (0, 1) целых функций с нулями заданнойверхней плотности, расположенными в некотором угле, а В. Б. Шерстю55Malliavin P., Rubel L. A. On small entire functions of exponential type with given zeros // Bull.Soc.

Math. France. – 1961. – V. 89. – P. 175-206.56Хабибуллин Б. Н. Полнота систем экспонент и множества единственности. – Уфа: РИЦ БашГУ,2006. – 172+XVI с.57Брайчев Г. Г. Наименьший тип целой функции c корнями заданных усредненных плотностей,расположенными на лучах или в угле // Матем. сборник. – 2016. – Т. 207, № 2. – С. 45–80.58Попов А. Ю. Развитие теоремы Валирона-Левина о наименьшем возможном типе целойфункции с заданной верхней ρ-плотностью корней // Труды крымской осенней матем.

школысимпозиума, СМФН. – 2013. – Т. 49. – С. 132–164.31ков59 решил такую же задачу с дополнительным условием на нижнююплотность нулей.В пп. 3.3.1, 3.3.2 исследуется случай, когда нули целой функции обладают заданными усредненными ρ-плотностями и распределены в углеΓθ := {z ∈ C : | arg z| 6 θ} ,а в п. 3.3.3 рассмотрено более общее распределение нулей на комплекснойплоскости. Чтобы сформулировать результаты во всей общности дадимнеобходимые определения (см. замечание 3.2 диссертации).Пусть θ ∈ [0, π/2). Будем говорить, что последовательность Λ принадлежит классу Γ̃θ и писать Λ ∈ Γ̃θ , если при любом θ′ > θ часть последовательности Λ, не лежащая в угле Γθ′ , имеет нулевую ρ-плотность,или, что эквивалентно, нулевую усредненную ρ-плотность.Будем писать Λ ∈ Γ̃π/2 , если часть последовательности Λ, не лежащаяв угле Γπ/2 , имеет нулевую (усредненную) ρ-плотность.Пусть k ∗ ∈ [0, 1] и a1 , a2 (a1 6 1 6 a2 ) — корни уравнения a lnОбозначимe= k∗.a1/ρCθ∗(k ∗, ρ)∗πk:=cos ρθ + maxa>0sin πρaaZ2(a−ρ − k ∗t−ρ )(t + cos θ)dt.

(0.17)t2 + 2t cos θ + 11/ρaa1Главным результатом пп. 3.3.1 — 3.3.3 является следующая теорема.Теорема 3.14. Пусть θ ∈ [0, π/2]. Тип каждой целой функции f (z)порядка ρ ∈ (0, 1) с нулями Λf ∈ Γ̃θ , имеющими верхнюю и нижнюю∗усредненные ρ-плотности ∆ ρ (Λf ) = β ∗ , ∆ ∗ρ (Λf ) > α∗ , удовлетворяетточной оценкеσρ (f ) > ρ β∗Cθ∗(k ∗, ρ),α∗k = ∗,β∗(0.18)где величина Cθ∗(k ∗, ρ) определена в (0.17).Равенство достигается на некоторой целой функции с нулями Λ̃,лежащими на лучах γ±θ := {z ∈ C : arg z = ±θ} и имеющими усред∗ненные ρ-плотности ∆∗ρ (Λ̃) = α∗ , ∆ ρ (Λ̃) = β ∗.59Шерстюков В.

Б. Минимальное значение типа целой функции порядка ρ ∈ (0, 1), все нуликоторой лежат в угле и имеют заданные плотности // Уфимск. матем. журн. – 2016. – T. 8, № 1. –С. 113–126.32Полагая в этой теореме α∗ = 0, получаем следующий результат.Теорема 3.11. Тип каждой целой функции f (z) порядка ρ ∈ (0, 1)с нулями Λf ∈ Γ̃θ , 2θ ∈ [0, π], и имеющимиверхнюю усредненнуюρ-плотность β ∗ , удовлетворяет оценкеσρ(f ) >ln(a2 + 2a cos θ + 1)β ∗ eρmax.2 a>0aρ(0.19)Существует целая функция, нули которой образуют последователь∗ность Λ0 ⊂ γθ ∪ γ−θ с верхней усредненной ρ-плотностью ∆ρ (Λ0) = β ∗ ,реализующая равенство в этой оценке.Отметим, что при θ = 0 из теоремы 3.14 следует обобщение результата, доказанного в п.

3.1.1 для целых функций с положительными нулями,значительно расширяя множество комплексной плоскости, где могут располагаться все их нули. Например, при сохранении прочих условий теоремы, оценка для ρ-типа остается точной и для целых функций с нулями,лежащими в полуполосе {z = x + iy : x > 0, |y| 6 b} при любом b > 0,или даже находящимися во множестве z = x + iy : x > |y|δ , δ > 1.В следующем параграфе подробно рассмотрены наиболее интересныедля приложений случаи расположения нулей целых функций на однойпрямой; между двумя параллельными или пересекающимися прямыми.Показано также, что разработанные методы позволяют давать точныеоценки снизу не только для типа σρ(f ), являющегося глобальной характеристикой роста целой функции, но и для ее индикатрисыln f (reiϕ ),−π 6 ϕ 6 π,hρ (f, ϕ) := limr→+∞rρописывающей рост по направлениям.

Здесь можно выделить следующийрезультат.Теорема 3.19. Пусть β ∗ > 0, α∗ ∈ [0, β ∗], и f (z) — целая функцияпорядкаρ ∈ (0, 1)сотрицательныминулями Λf усредненных∗ρ-плотностей ∆ρ (Λf ) = β ∗, ∆∗ρ (Λf ) > α∗. Тогда для каждого значенияθ ∈ [− π2 , π2 ] справедлива точная оценкаhρ (f, θ) > ρ β∗Cθ∗(k ∗, ρ),33α∗k = ∗,β∗(0.20)где величина Cθ∗(k ∗, ρ) определена в (0.17).Существует целая функция с отрицательными нулями Λ0 усред∗ненных ρ-плотностей ∆ρ (Λ0) = β ∗ , ∆∗ρ (Λ0) = α∗ , индикатор которойпри всех θ ∈ [− π2 , π2 ] доставляет равенство в (0.20).Завершается параграф описанием свойств экстремальной величиныCθ∗(k ∗, ρ) из (0.17) и ее двусторонними оценками.Следующий параграф посвящен экстремальным задачам для нижнего ρ-типа целой функции, определяемого равенствомσ ρ (f ) = lim r−ρ ln max |f (z)| .|z|=rr→+∞В.

С. Азарин в работе 60 (см. также обзор 61) показал, что целая функцияс измеримой последовательностью нулей может не иметь совершенно регулярного роста модуля, т. е. величины ее ρ-типа и нижнего ρ-типа могутне совпадать. Для полноценного описания поведения даже таких функций f (z) с известной плотностью нулей требуется знать точный диапазон изменения не только ρ-типа σρ (f ), но и нижнего ρ-типа σ ρ (f ).Исследованию экстремальных задач, включающих нижний индикатор инижний тип целых функций при заданном диапазоне изменения плотностных характеристик нулей, посвящены работы А. А. Гольдберга42,А.

А. Кондратюка45 , В. С. Азарина62 . Однако, самым естественным задачам, связанным с нижним типом при фиксированных значениях плотностей, уделялось гораздо меньше внимания. Проведенные исследованияпоказали, что экстремальные значения для нижнего типа обладают рядом неожиданных свойств, совершенно отличных от свойств экстремальных значений для верхнего типа.Параграф 3.5 посвящен нахождению точных двусторонних оценокнижнего ρ-типа целой функции с положительными или произвольнорасположенныминаплоскостинулями60заданныхусредненныхАзарин В.

С. О регулярности роста функционалов на целых функциях // Теория функций,функциональный анализ и их прил. – Харьков, 1972. – Вып. 16. – С. 109-137.61Гольдберг А. А., Левин Б. Я., Островский И. В. Целые и мероморфные функции // Итогинауки и техники. Совр. пробл. матем. Фундам. направления. Т.

85. (Комплексный анализ. Однапеременная–1.) – М.: ВИНИТИ, 1991. – С. 5-186.62Азарин В. С. Об экстремальных задачах на целых функциях // Теория функций, функциональный анализ и их прил. – Харьков, 1973. – Вып. 18. – С. 18-50.34ρ-плотностей (см.63).В п. 3.5.1 доказано, что наименьшие возможные значения нижнегоρ-типа как в случае произвольного расположения нулей на плоскости,так и в случае расположения нулей на одном луче, не зависят от верхнейусредненной ρ-плотности. Этот вывод следует из теорем 3.26, 3.27.Теорема 3.26. Пусть ρ ∈ (0, 1). Для любых фиксированных чиселα∗ > 0 и β ∗ > α∗ справедливы равенстваninf σ ρ (f ) : Λf = Λ ⊂ C, ∆ ∗ρ (Λ) = α∗ == inf σ ρ (f ) : Λf = Λ ⊂ C,∆ ∗ρ (Λ)∗= α,∗∆ρ (Λ)6β∗o= α∗ .e⊂CПри любом значении β ∗ > α∗ существует последовательность Λe = α∗ и ∆ ∗ (Λ)e = β ∗, на которойс усредненными ρ-плотностями ∆∗ (Λ)ρρнижние грани достигаются.Теорема 3.27.

Пусть ρ ∈ (0, 1). Для любых фиксированных чиселα∗ > 0 и β ∗ > α∗ справедливы равенстваinf σ ρ (f ) : Λf = Λ ⊂ R+ , ∆ ∗ρ (Λ) = α∗ =no∗∗∗∗inf σ ρ (f ) : Λf = Λ ⊂ R+ , ∆ ρ (Λ) = α , ∆ρ (Λ) 6 β =πρα∗ .sin π ρПри любом значении β ∗ > α∗ существует возрастающая последоваe ⊂ R+ с усредненными ρ-плотностями ∆∗ (Λ)e = α∗ ительность Λρ∗e = β ∗, на которой нижние грани достигаются.∆ (Λ)ρВ п. 3.5.2 установлено, что наибольший возможный нижний ρ-тип це-лой функции не зависит от расположения нулей на плоскости, но зависитот обеих усредненных ρ-плотностей. Точнее, верна теорема.Теорема 3.28. Для любого ρ ∈ (0, 1) и любых фиксированных чиселβ ∗ > 0, α∗ ∈ [0, β ∗] справедливы равенстваno∗∗∗∗sup σ ρ (f ) : Λf = Λ ⊂ C, ∆ ρ (Λ) = α , ∆ρ (Λ) 6 β =on∗∗∗∗= sup σ ρ (f ) : Λf = Λ ⊂ R+ , ∆ ρ (Λ) = α , ∆ρ (Λ) 6 β =: S ∗(α∗ , β ∗; ρ),63Брайчев Г.Г. Точные границы величины нижнего типа целой функции порядка ρ ∈ (0, 1) снулями заданных усредненных плотностей // Уфимский математический журнал.

Характеристики

Список файлов диссертации