Главная » Просмотр файлов » Автореферат

Автореферат (1154388), страница 2

Файл №1154388 Автореферат (Экстремальные задачи в теории относительного роста выпуклых и целых функций) 2 страницаАвтореферат (1154388) страница 22019-09-14СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Образование“, Абрау-Дюрсо, 1999,2002, 2005, 2006, 2008, 2012, 2014, 2016 гг.;18) Международные школы-семинары по геометрии и анализу, посвященная памяти Н. В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2002, 2004, 2006 гг.;19) Международная научная конференция „Теория операторов. Комплексный анализ и математическое моделирование“, Волгодонск, 2007 г.;20) Международная научная конференция „Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования“, Владикавказ, 2010 г.;21) V Международная конференция „Математические идеи П. Л.

Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания“,8Обнинск, 2011 г.;22) Международная научная конференция„Теория приближенийфункций и родственные задачи анализа“, посвященная памяти доктора физико-математических наук, профессора П. П.

Коровкина, Калуга,2015 г.;23) Международная конференция „Теоретические и прикладные аспекты математики, информатики и образования“, Архангельск, 2014 г.;24) Международная конференция „Математика и информатика“,Москва, МПГУ, 2016 г.ПУБЛИКАЦИИ.Результаты диссертации опубликованы в одной монографии и двадцати трех работах, десять из которых — в научных изданиях, входящихв международные реферативные базы данных и системы цитированияWoS, Scopus; три статьи — в научных изданиях, включенных в переченьведущих рецензируемых журналов и изданий, рекомендованных ВАКРФ; четыре научные работы — в международных научных изданиях.Четыре статьи выполнены в соавторстве, вклад соавторов подробно оговаривается в тексте диссертации.СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ.Диссертация содержит введение, три главы и библиографический списокобщим объемом 268 страниц.

Каждая глава состоит из нескольких параграфов; объемные параграфы разделены на пункты. Использована своянумерация параграфов в каждой из глав. В списке цитированной литературы в алфавитном порядке идут сначала работы на русском, а затем— на иностранных языках. Библиография содержит 144 наименования.ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИВо ВВЕДЕНИИ указываются цель и методы исследования, обоснованы актуальность, научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы; дано краткое изложение содержания диссертации. Текстдиссертационной работы разбит на три главы.

Первая глава посвящена9теории выпуклых функций и служит отправной точкой для исследований, проведенных в следующих разделах диссертации. Во второй и третьей главах, составляющих основную часть работы, развивается теорияцелых функций одной переменной.В автореферате принята сквозная нумерация формул, а нумерациятеорем и других утверждений совпадает с их нумерацией в тексте диссертации.Перейдем к более подробному изложению содержания работы.В ГЛАВЕ 1 разрабатываются методы получения оценок относительного роста выпуклых функций и их производных, а также некоторыхвеличин, тесно связанных с такими функциями и характеризующих ихрост. Предложен общий метод, позволяющий устанавливать двусторонние оценки производных по известным двусторонним оценкам функций.Точнее говоря, в первой главе доказаны теоремы тауберова типа в непрерывном и дискретном случаях.

При этом тауберовость понимается врасширенном смысле, когда асимптотическая эквивалентность двух величин заменяется на точные асимптотические двусторонние оценки ихотношения.В § 1.1 излагаются известные факты, а параграф 1.2 посвящен доказательству новых равномерных оценок относительного роста функцийи их производных. Здесь же рассмотрен ряд „модельных“ примеров, демонстрирующих точность оценок.Тауберовы (в широком понимании) теоремы c асимптотическимиоценками относительного роста функций и их производных рассмотрены в § 1.3.

Монотонный случай исследован в п. 1.3.1. Следующиепункты 1.3.2, 1.3.3 носят технический характер. Здесь при всех a > 0исследуются функцииg(x′) + g ′ (x′)(x − x′),ϕg (a) = limx→ b−g(x)g(tx ) + g ′ (tx )(x − tx )ϕ g (a) := lim.g(x)x→ b−Укажем, что для значений a ∈ (0, 1) функция ϕg (a) была ранее введенаА.

В. Братищевым1. Изучены свойства этих функций, даны их явные1Братищев А. В. Обращение правила Лопиталя. Сб. Механика сплошной среды.– Ростов-на-Дону:РГУ, 1985. – С. 28-43.10представления. В предположенииg(x)= +∞,x→b− xlimb 6 +∞,(0.1)получен такой результат.Теоремы 1.10 и 1.11. Пусть g(x) — положительная, выпуклая,дважды дифференцируемая на [0, +∞) функция, и существует пределg(x)g ′′(x)= G,limx→+∞g ′2 (x)G ∈ [0, 1).Тогда в определении функции ϕg (a) также существует предел. Приэтом справедливы следующие явные формулы.Если G = 0, тоϕg (a) = a,a ∈ [0, 1].Если G ∈ (0, 1), тоa − Ga1/G,ϕg (a) =1−Ga ∈ (0, G1−1/G).Если G = 1 и g(x) — логарифмически выпуклая функция на [0, b), тоeϕg (a) = a ln ,aa > 0.Далее в разделе 1.3.4 в обозначенияхf (x)T = lim,x→ b− g(x)f ′(x)∆ = lim ′ ,x→ b− g (x)f (x)τ = lim,x→ b− g(x)f ′ (x)δ = lim ′x→ b− g (x)формулируется окончательный вариант тауберовой теоремы и доказывается ее точность.Теорема 1.7*.

Пусть f (x) и g(x) — выпуклые на [0, b) функции,удовлетворяющие условию (0.1), и T ∈ (0, ∞). Тогда выполняютсянеравенстваa1 T 6 δ,∆ 6 a2 T,где a1 , a2 являются „корнями“ уравнения ϕg (a) = τ /T и задаются формуламиg(t) − (τ /T )g(x)1g(t) − (τ /T )g(x)1sup,a=inf.lim2′x→ b− g ′ (x) t>xt−xt−xx→ b− g (x) t<xa1 = lim11Следующий § 1.4 посвящен дискретным аналогам теорем абелева итауберова типов — теореме Штольца2 и ее обращению. По поводу общейформы теоремы Штольца — с верхними и нижними пределами вместообычных — см., например, монографию3.Приведем формулировку сводного результата.Теоремы 1.13 и 1.16. Пусть xn и yn — положительные последовательности, причем yn удовлетворяет условиюyn+1→ +∞,ynn → ∞.Тогда имеет место равенствоxnxn+1 − xn= lim,n→∞ ynn→∞ yn+1 − ynlim(0.2)xn< +∞, то также выполняется равенствоn→∞ ynа если limxnxn+1 − xn= lim.n→∞ ynn→∞ yn+1 − ynlim(0.3)Равенства (0.2), (0.3) выполнены одновременно, если xn, yn — выпуклыепоследовательности и yn удовлетворяет условиям n = o(yn ), 1yn+11=1+ +o,n → ∞.ynnnЭталонные последовательности yn , для которых действует чистое обращение теоремы Штольца, образуют весьма узкий класс.

В остальныхслучаях справедливо утверждение.Теорема 1.17. Пусть последовательность xn положительна и выпукла, а последовательность yn положительна и строго возрастает.Пусть далееxn,n→∞ ynТогда выполняется неравенствоxn.n→∞ ynM = limm = limxn+1 − xn6 M s̃2 (θ).n→∞ yn+1 − ynlim2Stolz O. Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neuen Ansichten. Leipzig: Teubners,1885. – P. 173-175.3Брайчев Г.

Г. Введение в теорию роста выпуклых и целых функций. — M.: Прометей, 2005. –233 с.12yn+1> 1, тоn→∞ ynЕсли, кроме того, yn имеет лакуны Адамара, т. е. limвыполняется и неравенствоxn+1 − xn.n→∞ yn+1 − ynM s̃+1 (θ) 6 limЗдесь θ =m, а величины s̃1 (θ), s̃2 (θ) задаются формуламиM1yk − θyns̃1 (θ) = lim infsup,k−nl→∞ n>l+1 yn − yn−1 l6k<n1yk − θyninf.n→∞ yn+1 − yn k>nk−nТочность полученных в теореме оценок подтверждает пример эталонs̃2 (θ) = limной последовательности экспоненциального роста yn = ean , a > 0.Утверждения параграфа 1.4 существенно дополняют и уточняют результаты недавней работы4.Предметом исследования в § 1.5 являются бесконечно большие последовательности комплексных чисел Λ = {λn }∞n=1 , которые мы располагаем в порядке возрастания модулей:0 < |λ1 | = . .

. = |λn1 | < |λn1 +1| = . . . = |λn2 | < |λn2 +1 | = . . . = |λn3 | < . . . .Определим индексы лакунарности lΛ и разреженности pΛ последовательности Λ = {λn } ⊂ C равенствами|λnk+1 ||λnk+1 ||λn+1|= lim,pΛ = p = lim.(0.4)n→∞ |λn |k→∞ |λnk |k→∞ |λnk |PОбозначим через nΛ (x) =1 считающую функцию последовательноlΛ = l = lim|λn |6xRxnΛ(t)dt — ее усредненную считающую функt0цию. Для показателя ρ > 0 определим величиныnΛ (x)NΛ(x)∗∆ ρ (Λ) = lim∆lim(Λ)=,,ρρxρx→+∞ xx→+∞сти Λ, а через NΛ (x) =называемые верхними (соотв. нижними) ρ-плотностями последовательности Λ, обычной и усредненной.

(Считаем, что верхнее и нижнее подчеркивания соответствуют друг другу во всех частях равенств. Указаниена ρ и Λ будем опускать, когда это не вызывает недоразумений.)4Абанин А. В., Юделевич В. В. Об обращении теоремы Штольца. Известия вузов. Северокавказский регион. Естественные науки. – 2016. – № 2. – C. 5-9.13Введем еще верхнюю и нижнюю относительные плотности последовательности, полагая по определениюN (x).x→+∞ n(x)Важную роль играют также дискретные усредненные верхние и нижниеν = limплотности последовательности, задаваемые формуламиe = lim N (|λnρ|) .∆e n→∞ |λn |∗Последовательность называется измеримой, если ∆ = ∆∗ , или, чтоe = ∆; внутреннеэквивалентно, ∆ = ∆; дискретно измеримой, если ∆eизмеримой, если ν = ν ; слабо лакунарной, если lΛ = 1.Ни дискретная, ни внутренняя измеримость последовательности самипо себе не влекут ее измеримости.

Критерий измеримости дает следующая теорема.Предложение 1.22. Последовательность комплексных чиселΛ = {λn }∞n=1 с верхней плотностью 0 < ∆ < ∞ при показателеρ > 0 измерима тогда и только тогда, когда она дискретно измеримаи выполнено хотя бы одно из условий:a) последовательность Λ слабо лакунарна,N (x) 1= ,b) выполняется условие ν = limρx→+∞ n(x)N (x) 1= ,c) выполняется условие ν = limx→+∞ n(x)ρd) последовательность Λ внутренне измерима.В этом же параграфе устанавливаются взаимосвязи между введенными величинами. Остановимся на важном результате, используемом вглаве 3 при решении экстремальных задач теории роста целых функций.Теорема 1.22. Пусть Λ — бесконечно большая последовательностькомплексных чисел, причем ∆ρ (Λ) = ∆ ∈ (0, +∞) для заданного ρ > 0.Тогда выполняются неравенства∗∗∗a1 ∆ ,ρ a1 ∆ 6 ∆ 6 ρ e∗ρea2 ∆ 6 ∆ 6 ρ a2 ∆ .(0.5)e∗= ∆∗ / ∆ , а ea1 , ea2 — корни подобaee ∆ ∗.ного же уравнения с „подправленной“ правой частью: a ln = ∆/aЗдесь a1 , a2 — корни уравнения a ln14Корни уравнений связаны неравенствами0 6 a1 6 ea1 6 1 6 ea2 6 a2 6 e.Если Λ — дискретно измеримая последовательность, то верны ра∗∗венства ∆ = ρ a1 ∆ , ∆ = ρ a2 ∆ .В § 1.6 изучается влияние индексов лакунарности и разреженности,введенных равенствами (0.4), на характеристики роста выпуклых функций (пункт 1.6.1) и их применение к вопросам регулярности роста целых функций (пункт 1.6.2).

Характеристики

Список файлов диссертации

Экстремальные задачи в теории относительного роста выпуклых и целых функций
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее