Автореферат (1154388), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Образование“, Абрау-Дюрсо, 1999,2002, 2005, 2006, 2008, 2012, 2014, 2016 гг.;18) Международные школы-семинары по геометрии и анализу, посвященная памяти Н. В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2002, 2004, 2006 гг.;19) Международная научная конференция „Теория операторов. Комплексный анализ и математическое моделирование“, Волгодонск, 2007 г.;20) Международная научная конференция „Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования“, Владикавказ, 2010 г.;21) V Международная конференция „Математические идеи П. Л.
Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания“,8Обнинск, 2011 г.;22) Международная научная конференция„Теория приближенийфункций и родственные задачи анализа“, посвященная памяти доктора физико-математических наук, профессора П. П.
Коровкина, Калуга,2015 г.;23) Международная конференция „Теоретические и прикладные аспекты математики, информатики и образования“, Архангельск, 2014 г.;24) Международная конференция „Математика и информатика“,Москва, МПГУ, 2016 г.ПУБЛИКАЦИИ.Результаты диссертации опубликованы в одной монографии и двадцати трех работах, десять из которых — в научных изданиях, входящихв международные реферативные базы данных и системы цитированияWoS, Scopus; три статьи — в научных изданиях, включенных в переченьведущих рецензируемых журналов и изданий, рекомендованных ВАКРФ; четыре научные работы — в международных научных изданиях.Четыре статьи выполнены в соавторстве, вклад соавторов подробно оговаривается в тексте диссертации.СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ.Диссертация содержит введение, три главы и библиографический списокобщим объемом 268 страниц.
Каждая глава состоит из нескольких параграфов; объемные параграфы разделены на пункты. Использована своянумерация параграфов в каждой из глав. В списке цитированной литературы в алфавитном порядке идут сначала работы на русском, а затем— на иностранных языках. Библиография содержит 144 наименования.ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИВо ВВЕДЕНИИ указываются цель и методы исследования, обоснованы актуальность, научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы; дано краткое изложение содержания диссертации. Текстдиссертационной работы разбит на три главы.
Первая глава посвящена9теории выпуклых функций и служит отправной точкой для исследований, проведенных в следующих разделах диссертации. Во второй и третьей главах, составляющих основную часть работы, развивается теорияцелых функций одной переменной.В автореферате принята сквозная нумерация формул, а нумерациятеорем и других утверждений совпадает с их нумерацией в тексте диссертации.Перейдем к более подробному изложению содержания работы.В ГЛАВЕ 1 разрабатываются методы получения оценок относительного роста выпуклых функций и их производных, а также некоторыхвеличин, тесно связанных с такими функциями и характеризующих ихрост. Предложен общий метод, позволяющий устанавливать двусторонние оценки производных по известным двусторонним оценкам функций.Точнее говоря, в первой главе доказаны теоремы тауберова типа в непрерывном и дискретном случаях.
При этом тауберовость понимается врасширенном смысле, когда асимптотическая эквивалентность двух величин заменяется на точные асимптотические двусторонние оценки ихотношения.В § 1.1 излагаются известные факты, а параграф 1.2 посвящен доказательству новых равномерных оценок относительного роста функцийи их производных. Здесь же рассмотрен ряд „модельных“ примеров, демонстрирующих точность оценок.Тауберовы (в широком понимании) теоремы c асимптотическимиоценками относительного роста функций и их производных рассмотрены в § 1.3.
Монотонный случай исследован в п. 1.3.1. Следующиепункты 1.3.2, 1.3.3 носят технический характер. Здесь при всех a > 0исследуются функцииg(x′) + g ′ (x′)(x − x′),ϕg (a) = limx→ b−g(x)g(tx ) + g ′ (tx )(x − tx )ϕ g (a) := lim.g(x)x→ b−Укажем, что для значений a ∈ (0, 1) функция ϕg (a) была ранее введенаА.
В. Братищевым1. Изучены свойства этих функций, даны их явные1Братищев А. В. Обращение правила Лопиталя. Сб. Механика сплошной среды.– Ростов-на-Дону:РГУ, 1985. – С. 28-43.10представления. В предположенииg(x)= +∞,x→b− xlimb 6 +∞,(0.1)получен такой результат.Теоремы 1.10 и 1.11. Пусть g(x) — положительная, выпуклая,дважды дифференцируемая на [0, +∞) функция, и существует пределg(x)g ′′(x)= G,limx→+∞g ′2 (x)G ∈ [0, 1).Тогда в определении функции ϕg (a) также существует предел. Приэтом справедливы следующие явные формулы.Если G = 0, тоϕg (a) = a,a ∈ [0, 1].Если G ∈ (0, 1), тоa − Ga1/G,ϕg (a) =1−Ga ∈ (0, G1−1/G).Если G = 1 и g(x) — логарифмически выпуклая функция на [0, b), тоeϕg (a) = a ln ,aa > 0.Далее в разделе 1.3.4 в обозначенияхf (x)T = lim,x→ b− g(x)f ′(x)∆ = lim ′ ,x→ b− g (x)f (x)τ = lim,x→ b− g(x)f ′ (x)δ = lim ′x→ b− g (x)формулируется окончательный вариант тауберовой теоремы и доказывается ее точность.Теорема 1.7*.
Пусть f (x) и g(x) — выпуклые на [0, b) функции,удовлетворяющие условию (0.1), и T ∈ (0, ∞). Тогда выполняютсянеравенстваa1 T 6 δ,∆ 6 a2 T,где a1 , a2 являются „корнями“ уравнения ϕg (a) = τ /T и задаются формуламиg(t) − (τ /T )g(x)1g(t) − (τ /T )g(x)1sup,a=inf.lim2′x→ b− g ′ (x) t>xt−xt−xx→ b− g (x) t<xa1 = lim11Следующий § 1.4 посвящен дискретным аналогам теорем абелева итауберова типов — теореме Штольца2 и ее обращению. По поводу общейформы теоремы Штольца — с верхними и нижними пределами вместообычных — см., например, монографию3.Приведем формулировку сводного результата.Теоремы 1.13 и 1.16. Пусть xn и yn — положительные последовательности, причем yn удовлетворяет условиюyn+1→ +∞,ynn → ∞.Тогда имеет место равенствоxnxn+1 − xn= lim,n→∞ ynn→∞ yn+1 − ynlim(0.2)xn< +∞, то также выполняется равенствоn→∞ ynа если limxnxn+1 − xn= lim.n→∞ ynn→∞ yn+1 − ynlim(0.3)Равенства (0.2), (0.3) выполнены одновременно, если xn, yn — выпуклыепоследовательности и yn удовлетворяет условиям n = o(yn ), 1yn+11=1+ +o,n → ∞.ynnnЭталонные последовательности yn , для которых действует чистое обращение теоремы Штольца, образуют весьма узкий класс.
В остальныхслучаях справедливо утверждение.Теорема 1.17. Пусть последовательность xn положительна и выпукла, а последовательность yn положительна и строго возрастает.Пусть далееxn,n→∞ ynТогда выполняется неравенствоxn.n→∞ ynM = limm = limxn+1 − xn6 M s̃2 (θ).n→∞ yn+1 − ynlim2Stolz O. Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neuen Ansichten. Leipzig: Teubners,1885. – P. 173-175.3Брайчев Г.
Г. Введение в теорию роста выпуклых и целых функций. — M.: Прометей, 2005. –233 с.12yn+1> 1, тоn→∞ ynЕсли, кроме того, yn имеет лакуны Адамара, т. е. limвыполняется и неравенствоxn+1 − xn.n→∞ yn+1 − ynM s̃+1 (θ) 6 limЗдесь θ =m, а величины s̃1 (θ), s̃2 (θ) задаются формуламиM1yk − θyns̃1 (θ) = lim infsup,k−nl→∞ n>l+1 yn − yn−1 l6k<n1yk − θyninf.n→∞ yn+1 − yn k>nk−nТочность полученных в теореме оценок подтверждает пример эталонs̃2 (θ) = limной последовательности экспоненциального роста yn = ean , a > 0.Утверждения параграфа 1.4 существенно дополняют и уточняют результаты недавней работы4.Предметом исследования в § 1.5 являются бесконечно большие последовательности комплексных чисел Λ = {λn }∞n=1 , которые мы располагаем в порядке возрастания модулей:0 < |λ1 | = . .
. = |λn1 | < |λn1 +1| = . . . = |λn2 | < |λn2 +1 | = . . . = |λn3 | < . . . .Определим индексы лакунарности lΛ и разреженности pΛ последовательности Λ = {λn } ⊂ C равенствами|λnk+1 ||λnk+1 ||λn+1|= lim,pΛ = p = lim.(0.4)n→∞ |λn |k→∞ |λnk |k→∞ |λnk |PОбозначим через nΛ (x) =1 считающую функцию последовательноlΛ = l = lim|λn |6xRxnΛ(t)dt — ее усредненную считающую функt0цию. Для показателя ρ > 0 определим величиныnΛ (x)NΛ(x)∗∆ ρ (Λ) = lim∆lim(Λ)=,,ρρxρx→+∞ xx→+∞сти Λ, а через NΛ (x) =называемые верхними (соотв. нижними) ρ-плотностями последовательности Λ, обычной и усредненной.
(Считаем, что верхнее и нижнее подчеркивания соответствуют друг другу во всех частях равенств. Указаниена ρ и Λ будем опускать, когда это не вызывает недоразумений.)4Абанин А. В., Юделевич В. В. Об обращении теоремы Штольца. Известия вузов. Северокавказский регион. Естественные науки. – 2016. – № 2. – C. 5-9.13Введем еще верхнюю и нижнюю относительные плотности последовательности, полагая по определениюN (x).x→+∞ n(x)Важную роль играют также дискретные усредненные верхние и нижниеν = limплотности последовательности, задаваемые формуламиe = lim N (|λnρ|) .∆e n→∞ |λn |∗Последовательность называется измеримой, если ∆ = ∆∗ , или, чтоe = ∆; внутреннеэквивалентно, ∆ = ∆; дискретно измеримой, если ∆eизмеримой, если ν = ν ; слабо лакунарной, если lΛ = 1.Ни дискретная, ни внутренняя измеримость последовательности самипо себе не влекут ее измеримости.
Критерий измеримости дает следующая теорема.Предложение 1.22. Последовательность комплексных чиселΛ = {λn }∞n=1 с верхней плотностью 0 < ∆ < ∞ при показателеρ > 0 измерима тогда и только тогда, когда она дискретно измеримаи выполнено хотя бы одно из условий:a) последовательность Λ слабо лакунарна,N (x) 1= ,b) выполняется условие ν = limρx→+∞ n(x)N (x) 1= ,c) выполняется условие ν = limx→+∞ n(x)ρd) последовательность Λ внутренне измерима.В этом же параграфе устанавливаются взаимосвязи между введенными величинами. Остановимся на важном результате, используемом вглаве 3 при решении экстремальных задач теории роста целых функций.Теорема 1.22. Пусть Λ — бесконечно большая последовательностькомплексных чисел, причем ∆ρ (Λ) = ∆ ∈ (0, +∞) для заданного ρ > 0.Тогда выполняются неравенства∗∗∗a1 ∆ ,ρ a1 ∆ 6 ∆ 6 ρ e∗ρea2 ∆ 6 ∆ 6 ρ a2 ∆ .(0.5)e∗= ∆∗ / ∆ , а ea1 , ea2 — корни подобaee ∆ ∗.ного же уравнения с „подправленной“ правой частью: a ln = ∆/aЗдесь a1 , a2 — корни уравнения a ln14Корни уравнений связаны неравенствами0 6 a1 6 ea1 6 1 6 ea2 6 a2 6 e.Если Λ — дискретно измеримая последовательность, то верны ра∗∗венства ∆ = ρ a1 ∆ , ∆ = ρ a2 ∆ .В § 1.6 изучается влияние индексов лакунарности и разреженности,введенных равенствами (0.4), на характеристики роста выпуклых функций (пункт 1.6.1) и их применение к вопросам регулярности роста целых функций (пункт 1.6.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
