Главная » Просмотр файлов » Автореферат

Автореферат (1154388), страница 5

Файл №1154388 Автореферат (Экстремальные задачи в теории относительного роста выпуклых и целых функций) 5 страницаАвтореферат (1154388) страница 52019-09-14СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

е.nln µF (r) = lnr=|λ0 ||λ1 | · · · |λn |ZrnF (t)dt =t0Zrnf (t)dt = Nf (r).t0Благодаря коэффициентному описанию роста целых функций, данномув предыдущем параграфе, установлена серия результатов для различных классов целых функций нулевого порядка. Напомним определения.Пусть ρ(r) — уточненный по Валирону порядок, ρ(r) → ρ > 0 приr → +∞. Пишем h(r) ∈ Lρ , если функция h(r) = rρ(r) возрастает иподчинена требованиюrh′ (r)= ρ.limr→+∞ h(r)Тип и нижний тип целой функции f (z) при уточненном порядке ρ(r)определяются равенствами (см. (0.7), (0.9))ln Mf (r),r→+∞h(r)T = Th(f ) = limln Mf (r),h(r)r→+∞t = th (f ) = limа верхняя и нижняя плотности и усредненные плотности последовательностей нулей Λf относительно функции h(r) — соответственно равенствамиnf (r),r→+∞ rh′ (r)nf (r),′r→+∞ rh (r)∆h (Λf ) = lim∆ h (Λf ) = limNf (r)Nf (r),∆∗h (Λf ) = lim.r→+∞ h(r)r→+∞ h(r)Отправной точкой исследований служит следующая теорема.∗∆h (Λf ) = limТеорема 2.11.

Пусть f (z) — целая функция нулевого рода, а функция h(x) ∈ L0 . Если верхняя плотность последовательности нулей Λf∗конечна, т. е. ∆h (Λf ) < +∞ или, что то же самое, ∆h (Λf ) < +∞, тосправедливы равенства∗th (f ) = ∆∗h (Λf ).Th (f ) = ∆h (Λf ),(0.13)Укажем, что эта теорема исправляет неточность в теореме 3 статьи35.35Осколков В. А. О некоторых вопросах теории целых функций // Матем. сборник.

– 1993. –Т. 184, № 1. – С. 129-148.25Непосредственными следствиями теоремы 2.1.1 являются следующиедва результата. Предполагается, что функция h(r) удовлетворяет условиюr ln r h′ (r)= ρ,ρ > 1.(0.14)limr→+∞h(r)Теорема 2.12. Пусть функция h(r) удовлетворяет условию (0.14)h(r)строго возрастает.

Пусть далее f (z) —с константой ρ = 1 иrцелая функция нулевого рода с нулями Λf = {λn } и ∆h (Λf ) < +∞.Тогда справедливы равенстваln Mf (r)n ln |λn |= lim.h(r)r→+∞n→∞ h(|λn |)ln Mf (r)n ln |λn |= lim,r→+∞n→∞ h(|λn |)h(r)limlimВ частности, при h(r) = ln r lnα (ln r), где α > 0, имеемln Mf (r)n= lim α,αr→+∞ ln r ln (ln r)n→∞ ln (ln |λn |)limln Mf (r)n=lim.ααr→+∞ ln r ln (ln r)n→∞ ln (ln |λn |)Следующие два условия эквивалентныlimαln Mf (r) ∼ T ln r ln (ln r), r → +∞,иln(ln |λn |) ∼ n 1/αT, n → ∞.Теорема 2.16. Пусть функция h(x) удовлетворяет условию (0.14)h(ex ).

Пусть, далее,c константой ρ > 1 и k(ζ) — обратная функция кxцелая функция f (z) такова, что ∆h (Λf ) < +∞, и Th(f ) = T, th (f ) = t.Тогда имеют место соотношения11nk(n)nk(n)ρρ=(T ρ) ρ−1 , lim=(tρ) ρ−1 ,n→∞ ln |λ1 λ2 · · · λn |ρ−1ρ−1n→∞ ln |λ1 λ2 · · · λn |lim111k(n)k(n)6 (a2 T ρ) ρ−1 , (a1 T ρ) ρ−1 6 lim6 (tρ) ρ−1 ,n→∞ ln |λn |n→∞ ln |λn |где a1 , a2 (a1 6 1 6 a2 ) являются корнями уравнения1(T ρ) ρ−1 6 limρa + (1 − ρ)aρ/(ρ−1) =t.T1В частности, условия ln Mf (r) ∼ T h(r) и ln |λn | ∼ (T ρ) 1−ρ k(n) эквивалентны.26ГЛАВА 3 посвящена исследованию зависимости роста целой функции от распределения ее нулей на комплексной плоскости.

Достаточнополно эта зависимость была изучена уже к середине прошлого века вслучае „регулярно“ растущих функций с „правильно“ распределенными нулями (см. монографию Б. Я. Левина14 и статьи A. Пфлюгера36,а также работы А. А. Кондратюка37 , Н. В. Говорова38, А. Ф. Гришина39 ,К. Г. Малютина40 и других математиков).

Необходимо, однако, отметить,что ряд естественных задач, возникающих в теории аппроксимации, аналитического продолжения, теории операторов и других вопросах, содержательны в случае отсутствия „асимптотически правильного“ поведенияпоявляющихся в ходе исследования целых функций. Решение именно таких задач сопряжено с экстремальными проблемами в различных классах целых функций, определяемых ограничениями как на рост, так и нарасположение нулей.Экстремальным задачам для характеристик роста целых функций(индикаторов и типов при обычном и уточненном порядках) посвящена обширная литература (см., к примеру, работы А.

А. ГольдбергаА. А. Кондратюка43,44,4541,42,). Несколько специальных экстремальных за-дач было решено во второй половине прошлого века Б. Я. Левиным14,36Pfluger A. Die Wertverteilung und das Verhalten von Betrag und Argument einer speziellen Klasseanalytischer Funktionen. // Comm. Math. Helv.

– 1938. – V. 11. – P. 180-213; 1939. – V. 12. – P. 25-69.37Кондратюк А. А. Ряды Фурье и мероморфные функции. Львов: Изд-во при Львовском ун-те,1988. – 196 с.38Говоров Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом M.: Наука, 1986. – 240 с.39Гришин А. Ф. О множествах регулярного роста целых функций // Теория функций, функц.анализ и их прилож. Изд-во Харьковского ун-та. – 1983.

– Вып. 40. – С. 36-47; 1984. – Вып. 41. –С. 39-55; 1984. – Вып. 42. – С. 37-43.40Малютин К. Г. О множествах регулярного роста функций в полуплоскости. I // Изв. РАН. Сер.матем. – 1995. – Т. 59, № 4. – С. 125-154; 1995. – Т. 59, № 5. – С. 103-126.41Гольдберг А. А.

Экстремальный индикатор для целой функции с положительными нулями //Сибирский матем.журнал. – 1962. – Т. 3, № 2. – С. 170-177.42Гольдберг А. А. Интеграл по полуаддитивной мере и его приложения к теории целых функций.III, IV // Матем. сборник. – 1964. – Т. 65(107), № 3. – С. 414-453; 1965. – Т. 66(108), № 3. – С. 411-457.43Кондратюк А. А. Экстремальный индикатор для целых функций с положительными нулями// Лит. матем. сб. – 1967.

– T. 7, № 1. – C. 79-117.44Кондратюк А. А. Целые функции с положительными нулями, имеющими конечную максимальную плотность // Теория функций, функц. анализ и их прилож. (Республ. науч. сборник.Харьков. Изд-во Харьковского ун-та.) – 1968. – Вып. 7. – С. 37-52.45Кондратюк А.

А. Об экстремальном индикаторе целых функций с положительными нулями// Сибирский матем. журнал. – 1970. – Т. 11, № 5. – С. 1084-1092.27Н. В. Говоровым46, М. И. Андрашко47 , Б. Н. Хабибуллиным48 , А. Ю. Поповым49. Интерес к этой тематике не утихает и в последнее десятилетие(см.50,51,52и недавнюю докторскую диссертацию В. Б. Шерстюкова53).Работы последних двух авторов в цитируемом списке непосредственно примыкают к теме диссертационного исследования. Остановимся наэтом подробнее.Каждую целую функцию порядка ρ ∈ (0, 1) с нулями Λ = {λn } согласно хорошо известной теореме Адамара можно представить в видеканонического произведенияLΛ(z) = cz mY |λn |>0z1−λn,z ∈ C.В статье52 А. Ю.

Поповым была поставлена и решена задача о нахождении для положительных последовательностей Λ = {λn } и фиксированного числа β > 0 экстремальной величиныs(β; ρ) := inf σρ (LΛ) : Λ ⊂ R+ , ∆ ρ (Λ) = β .(Мы придерживаемся принятых ранее обозначенийσρ (LΛ) := lim r−ρ ln max |LΛ(z)| ,r→+∞∆ ρ (Λ) := lim t−ρ nΛ (t)).|z|=rt→+∞Приведем основной результат этой работы.Теорема (А.

Ю. Попов). При любых ρ ∈ (0, 1) и β > 0 справедливоравенствоs(β; ρ) = β C(ρ),C(ρ) = max a−ρ ln(1 + a).a>0(0.15)46Говоров Н. В. Екстремальний iндикатор цiлоı̈ функцiı̈ з додатними нулями заданоı̈ верхньоı̈та нижньоı̈ густини // Доповiдi АН УРСР. – 1966. – № 2. – С. 148-150.47Андрашко М. I. Екстремальний iндикатор цiлоı̈ функцiı̈ порядку меньше одиницi з додатниминулями // Доповiдi АН УРСР. – 1960. – № 7. – С. 869-872.48Хабибуллин Б. Н. О типе целых и мероморфных функций // Матем. сборник. – 1992.

– Т. 183,№ 11. – С. 35-44.49Попов А. Ю. О полноте в пространствах аналитических функций систем экспонент с вещественными показателями заданной верхней плотности // Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Математика.Механика. – 1999. – № 5. – С. 48-52.50Eremenko A., Yuditskii P. An extremal problem for a class of entire functions of exponential type// arXiv:0807.2054V1 [math. CV] 13 Jul 2008.51Хабибуллин Б. Н. Последовательности нулей голоморфных функций, представление мероморфных функций. II. Целые функции // Матем. сборник.

– 2009. – Т. 200, № 2. – С. 129-158.52Попов А. Ю. Наименьший возможный тип при порядке ρ < 1 канонических произведений с положительными нулями заданной верхней ρ-плотности // Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Математика.Механика. – 2005. – № 1. – С. 31–36.53Шерстюков В.

Б. Асимптотические свойства целых функций, корни которых лежат в некотором угле. — Дисс. . . . д.ф.-м.н. — М.: МГУ. – 2017.28Нижняя грань s(β; ρ) достигается на некоторой возрастающей последовательности положительных чисел.Позднее в работе53 было получено решение следующей более общейэкстремальной задачи, также поставленной А.

Ю. Поповым. Для заданных чисел ρ ∈ (0, 1) и α , β, 0 6 α 6 β < +∞, требуется найти величинуs(α , β ; ρ) := inf σρ(LΛ) : Λ ⊂ R+ , ∆ ρ (Λ) > α, ∆ ρ (Λ) = β .Теорема (В. Б. Шерстюков). Для произвольного ρ ∈ (0, 1) и любыхчисел α > 0 и β > 0 (α 6 β) справедливо равенствоπα+ maxs(α , β ; ρ) =a>0sin πρZaβa−ρ − ατ −ρdτ.τ +11/ρa(α/β)Нижняя грань s(α , β ; ρ) достигается на некоторой возрастающей последовательности Λ0 ⊂ R+ , у которой ∆ ρ (Λ0) = α и ∆ ρ (Λ0) = β.Результаты § 3.1 являются развитием исследований52, 53, предоставляя точные оценки для ρ-типа целой функции порядка ρ ∈ (0, 1) черезусредненные (или дискретно усредненные) ρ-плотности последовательности нулей Λ = {λn } , определяемые равенствами∗∗∆ = ∆ ρ (Λ) = lim r−ρ NΛ(r),r→∞∗e = lim N (|λn |) .∆e n→∞ |λn |ρУсловие ∆ = ∆∗ (=: ∆∗) характеризует измеримые последовательноe — дискретно измеримые (при показателе ρ).сти, а равенство ∆ = ∆eИзвестно, что целые функции порядка ρ ∈ (0, 1) с измеримой после-довательностью нулей имеют наибольший тип среди всех целых функцийс фиксированной верхней ρ-плотностью положительных нулей, равныйπ∆πρ∆ ∗σ==.sin πρ sin πρВозникают естественные вопросы: насколько может уменьшиться величина типа целой функции с положительными нулями, если последовательность ее нулей неизмерима? Что если такая последовательность дискретно измерима?29Ответы на поставленные вопросы содержатся в решении следующихэкстремальных задач.При фиксированных ρ ∈ (0, 1), β ∗ > 0 и α∗ ∈ [0, β ∗] найти величиныno∗∗∗ ∗∗∗∗s (α , β ; ρ) := inf σρ (LΛ) : Λ ⊂ R+ , ∆ ρ (Λ) > α , ∆ρ (Λ) = β ,o∗∗∗∗ese(α , β ; ρ) := inf σρ (LΛ) : Λ ⊂ R+ , ∆ρ(Λ) = ∆ ρ (Λ) > α , ∆ρ (Λ) = β .∗n∗Как показано в пп.

Характеристики

Список файлов диссертации

Экстремальные задачи в теории относительного роста выпуклых и целых функций
Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее