Автореферат (1154388), страница 5
Текст из файла (страница 5)
е.nln µF (r) = lnr=|λ0 ||λ1 | · · · |λn |ZrnF (t)dt =t0Zrnf (t)dt = Nf (r).t0Благодаря коэффициентному описанию роста целых функций, данномув предыдущем параграфе, установлена серия результатов для различных классов целых функций нулевого порядка. Напомним определения.Пусть ρ(r) — уточненный по Валирону порядок, ρ(r) → ρ > 0 приr → +∞. Пишем h(r) ∈ Lρ , если функция h(r) = rρ(r) возрастает иподчинена требованиюrh′ (r)= ρ.limr→+∞ h(r)Тип и нижний тип целой функции f (z) при уточненном порядке ρ(r)определяются равенствами (см. (0.7), (0.9))ln Mf (r),r→+∞h(r)T = Th(f ) = limln Mf (r),h(r)r→+∞t = th (f ) = limа верхняя и нижняя плотности и усредненные плотности последовательностей нулей Λf относительно функции h(r) — соответственно равенствамиnf (r),r→+∞ rh′ (r)nf (r),′r→+∞ rh (r)∆h (Λf ) = lim∆ h (Λf ) = limNf (r)Nf (r),∆∗h (Λf ) = lim.r→+∞ h(r)r→+∞ h(r)Отправной точкой исследований служит следующая теорема.∗∆h (Λf ) = limТеорема 2.11.
Пусть f (z) — целая функция нулевого рода, а функция h(x) ∈ L0 . Если верхняя плотность последовательности нулей Λf∗конечна, т. е. ∆h (Λf ) < +∞ или, что то же самое, ∆h (Λf ) < +∞, тосправедливы равенства∗th (f ) = ∆∗h (Λf ).Th (f ) = ∆h (Λf ),(0.13)Укажем, что эта теорема исправляет неточность в теореме 3 статьи35.35Осколков В. А. О некоторых вопросах теории целых функций // Матем. сборник.
– 1993. –Т. 184, № 1. – С. 129-148.25Непосредственными следствиями теоремы 2.1.1 являются следующиедва результата. Предполагается, что функция h(r) удовлетворяет условиюr ln r h′ (r)= ρ,ρ > 1.(0.14)limr→+∞h(r)Теорема 2.12. Пусть функция h(r) удовлетворяет условию (0.14)h(r)строго возрастает.
Пусть далее f (z) —с константой ρ = 1 иrцелая функция нулевого рода с нулями Λf = {λn } и ∆h (Λf ) < +∞.Тогда справедливы равенстваln Mf (r)n ln |λn |= lim.h(r)r→+∞n→∞ h(|λn |)ln Mf (r)n ln |λn |= lim,r→+∞n→∞ h(|λn |)h(r)limlimВ частности, при h(r) = ln r lnα (ln r), где α > 0, имеемln Mf (r)n= lim α,αr→+∞ ln r ln (ln r)n→∞ ln (ln |λn |)limln Mf (r)n=lim.ααr→+∞ ln r ln (ln r)n→∞ ln (ln |λn |)Следующие два условия эквивалентныlimαln Mf (r) ∼ T ln r ln (ln r), r → +∞,иln(ln |λn |) ∼ n 1/αT, n → ∞.Теорема 2.16. Пусть функция h(x) удовлетворяет условию (0.14)h(ex ).
Пусть, далее,c константой ρ > 1 и k(ζ) — обратная функция кxцелая функция f (z) такова, что ∆h (Λf ) < +∞, и Th(f ) = T, th (f ) = t.Тогда имеют место соотношения11nk(n)nk(n)ρρ=(T ρ) ρ−1 , lim=(tρ) ρ−1 ,n→∞ ln |λ1 λ2 · · · λn |ρ−1ρ−1n→∞ ln |λ1 λ2 · · · λn |lim111k(n)k(n)6 (a2 T ρ) ρ−1 , (a1 T ρ) ρ−1 6 lim6 (tρ) ρ−1 ,n→∞ ln |λn |n→∞ ln |λn |где a1 , a2 (a1 6 1 6 a2 ) являются корнями уравнения1(T ρ) ρ−1 6 limρa + (1 − ρ)aρ/(ρ−1) =t.T1В частности, условия ln Mf (r) ∼ T h(r) и ln |λn | ∼ (T ρ) 1−ρ k(n) эквивалентны.26ГЛАВА 3 посвящена исследованию зависимости роста целой функции от распределения ее нулей на комплексной плоскости.
Достаточнополно эта зависимость была изучена уже к середине прошлого века вслучае „регулярно“ растущих функций с „правильно“ распределенными нулями (см. монографию Б. Я. Левина14 и статьи A. Пфлюгера36,а также работы А. А. Кондратюка37 , Н. В. Говорова38, А. Ф. Гришина39 ,К. Г. Малютина40 и других математиков).
Необходимо, однако, отметить,что ряд естественных задач, возникающих в теории аппроксимации, аналитического продолжения, теории операторов и других вопросах, содержательны в случае отсутствия „асимптотически правильного“ поведенияпоявляющихся в ходе исследования целых функций. Решение именно таких задач сопряжено с экстремальными проблемами в различных классах целых функций, определяемых ограничениями как на рост, так и нарасположение нулей.Экстремальным задачам для характеристик роста целых функций(индикаторов и типов при обычном и уточненном порядках) посвящена обширная литература (см., к примеру, работы А.
А. ГольдбергаА. А. Кондратюка43,44,4541,42,). Несколько специальных экстремальных за-дач было решено во второй половине прошлого века Б. Я. Левиным14,36Pfluger A. Die Wertverteilung und das Verhalten von Betrag und Argument einer speziellen Klasseanalytischer Funktionen. // Comm. Math. Helv.
– 1938. – V. 11. – P. 180-213; 1939. – V. 12. – P. 25-69.37Кондратюк А. А. Ряды Фурье и мероморфные функции. Львов: Изд-во при Львовском ун-те,1988. – 196 с.38Говоров Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом M.: Наука, 1986. – 240 с.39Гришин А. Ф. О множествах регулярного роста целых функций // Теория функций, функц.анализ и их прилож. Изд-во Харьковского ун-та. – 1983.
– Вып. 40. – С. 36-47; 1984. – Вып. 41. –С. 39-55; 1984. – Вып. 42. – С. 37-43.40Малютин К. Г. О множествах регулярного роста функций в полуплоскости. I // Изв. РАН. Сер.матем. – 1995. – Т. 59, № 4. – С. 125-154; 1995. – Т. 59, № 5. – С. 103-126.41Гольдберг А. А.
Экстремальный индикатор для целой функции с положительными нулями //Сибирский матем.журнал. – 1962. – Т. 3, № 2. – С. 170-177.42Гольдберг А. А. Интеграл по полуаддитивной мере и его приложения к теории целых функций.III, IV // Матем. сборник. – 1964. – Т. 65(107), № 3. – С. 414-453; 1965. – Т. 66(108), № 3. – С. 411-457.43Кондратюк А. А. Экстремальный индикатор для целых функций с положительными нулями// Лит. матем. сб. – 1967.
– T. 7, № 1. – C. 79-117.44Кондратюк А. А. Целые функции с положительными нулями, имеющими конечную максимальную плотность // Теория функций, функц. анализ и их прилож. (Республ. науч. сборник.Харьков. Изд-во Харьковского ун-та.) – 1968. – Вып. 7. – С. 37-52.45Кондратюк А.
А. Об экстремальном индикаторе целых функций с положительными нулями// Сибирский матем. журнал. – 1970. – Т. 11, № 5. – С. 1084-1092.27Н. В. Говоровым46, М. И. Андрашко47 , Б. Н. Хабибуллиным48 , А. Ю. Поповым49. Интерес к этой тематике не утихает и в последнее десятилетие(см.50,51,52и недавнюю докторскую диссертацию В. Б. Шерстюкова53).Работы последних двух авторов в цитируемом списке непосредственно примыкают к теме диссертационного исследования. Остановимся наэтом подробнее.Каждую целую функцию порядка ρ ∈ (0, 1) с нулями Λ = {λn } согласно хорошо известной теореме Адамара можно представить в видеканонического произведенияLΛ(z) = cz mY |λn |>0z1−λn,z ∈ C.В статье52 А. Ю.
Поповым была поставлена и решена задача о нахождении для положительных последовательностей Λ = {λn } и фиксированного числа β > 0 экстремальной величиныs(β; ρ) := inf σρ (LΛ) : Λ ⊂ R+ , ∆ ρ (Λ) = β .(Мы придерживаемся принятых ранее обозначенийσρ (LΛ) := lim r−ρ ln max |LΛ(z)| ,r→+∞∆ ρ (Λ) := lim t−ρ nΛ (t)).|z|=rt→+∞Приведем основной результат этой работы.Теорема (А.
Ю. Попов). При любых ρ ∈ (0, 1) и β > 0 справедливоравенствоs(β; ρ) = β C(ρ),C(ρ) = max a−ρ ln(1 + a).a>0(0.15)46Говоров Н. В. Екстремальний iндикатор цiлоı̈ функцiı̈ з додатними нулями заданоı̈ верхньоı̈та нижньоı̈ густини // Доповiдi АН УРСР. – 1966. – № 2. – С. 148-150.47Андрашко М. I. Екстремальний iндикатор цiлоı̈ функцiı̈ порядку меньше одиницi з додатниминулями // Доповiдi АН УРСР. – 1960. – № 7. – С. 869-872.48Хабибуллин Б. Н. О типе целых и мероморфных функций // Матем. сборник. – 1992.
– Т. 183,№ 11. – С. 35-44.49Попов А. Ю. О полноте в пространствах аналитических функций систем экспонент с вещественными показателями заданной верхней плотности // Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Математика.Механика. – 1999. – № 5. – С. 48-52.50Eremenko A., Yuditskii P. An extremal problem for a class of entire functions of exponential type// arXiv:0807.2054V1 [math. CV] 13 Jul 2008.51Хабибуллин Б. Н. Последовательности нулей голоморфных функций, представление мероморфных функций. II. Целые функции // Матем. сборник.
– 2009. – Т. 200, № 2. – С. 129-158.52Попов А. Ю. Наименьший возможный тип при порядке ρ < 1 канонических произведений с положительными нулями заданной верхней ρ-плотности // Вестник Моск. ун-та. Сер.1. Математика.Механика. – 2005. – № 1. – С. 31–36.53Шерстюков В.
Б. Асимптотические свойства целых функций, корни которых лежат в некотором угле. — Дисс. . . . д.ф.-м.н. — М.: МГУ. – 2017.28Нижняя грань s(β; ρ) достигается на некоторой возрастающей последовательности положительных чисел.Позднее в работе53 было получено решение следующей более общейэкстремальной задачи, также поставленной А.
Ю. Поповым. Для заданных чисел ρ ∈ (0, 1) и α , β, 0 6 α 6 β < +∞, требуется найти величинуs(α , β ; ρ) := inf σρ(LΛ) : Λ ⊂ R+ , ∆ ρ (Λ) > α, ∆ ρ (Λ) = β .Теорема (В. Б. Шерстюков). Для произвольного ρ ∈ (0, 1) и любыхчисел α > 0 и β > 0 (α 6 β) справедливо равенствоπα+ maxs(α , β ; ρ) =a>0sin πρZaβa−ρ − ατ −ρdτ.τ +11/ρa(α/β)Нижняя грань s(α , β ; ρ) достигается на некоторой возрастающей последовательности Λ0 ⊂ R+ , у которой ∆ ρ (Λ0) = α и ∆ ρ (Λ0) = β.Результаты § 3.1 являются развитием исследований52, 53, предоставляя точные оценки для ρ-типа целой функции порядка ρ ∈ (0, 1) черезусредненные (или дискретно усредненные) ρ-плотности последовательности нулей Λ = {λn } , определяемые равенствами∗∗∆ = ∆ ρ (Λ) = lim r−ρ NΛ(r),r→∞∗e = lim N (|λn |) .∆e n→∞ |λn |ρУсловие ∆ = ∆∗ (=: ∆∗) характеризует измеримые последовательноe — дискретно измеримые (при показателе ρ).сти, а равенство ∆ = ∆eИзвестно, что целые функции порядка ρ ∈ (0, 1) с измеримой после-довательностью нулей имеют наибольший тип среди всех целых функцийс фиксированной верхней ρ-плотностью положительных нулей, равныйπ∆πρ∆ ∗σ==.sin πρ sin πρВозникают естественные вопросы: насколько может уменьшиться величина типа целой функции с положительными нулями, если последовательность ее нулей неизмерима? Что если такая последовательность дискретно измерима?29Ответы на поставленные вопросы содержатся в решении следующихэкстремальных задач.При фиксированных ρ ∈ (0, 1), β ∗ > 0 и α∗ ∈ [0, β ∗] найти величиныno∗∗∗ ∗∗∗∗s (α , β ; ρ) := inf σρ (LΛ) : Λ ⊂ R+ , ∆ ρ (Λ) > α , ∆ρ (Λ) = β ,o∗∗∗∗ese(α , β ; ρ) := inf σρ (LΛ) : Λ ⊂ R+ , ∆ρ(Λ) = ∆ ρ (Λ) > α , ∆ρ (Λ) = β .∗n∗Как показано в пп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
