Автореферат (1154388), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Понятия индексов лакунарности и разреженности (без их точного определения) использовались уже давно дляоценок верхних и нижних характеристик роста аналитических функций5 ,6 ,7,8,9. Эти понятия играют ключевую роль в установлении соотношений между сильной лакунарной сходимостью и сильной Чезаросуммируемостью10,11.Введем понятие, тесно связанное с асимптотическими характеристиками роста функций и последовательностей, а также множеств, на которых эти характеристики достигаются.Пусть ϕ(x) и H(x) — некоторые возрастающие функции, заданные напромежутке (a, b), b 6 +∞. Будем писать ϕ(x) ∈ {H(x); (t, T )}, еслиlimx→bϕ(x)= T,H(x)limx→bϕ(x)= t.H(x)Множество, на котором достигается верхний или нижний предел взадании характеристики роста функции, назовем определяющим множеством для рассматриваемой характеристики (ср.5).
Например, под опре5Valiron G. Lecture on the General Theory of Integrаl Functions.—Privat Toulouse, 1923. – 234 p.Gray A, Shah S. M. A note on entire functions and conjecture of Erdös. Bull. of the Amer. Math.Soc.– 1963. – V. 69, № 4. – P. 573-577.7Gray A., Shah S. M. Holomorphic functions with gap power series. III. J. Math. Mech. – 1966. –V. 16. –P. 297-310.8Basinger R. C.On the coefficients of entire series with gap. Journal of Math. Analysis andApplications.– 1972.
– V. 38, № 3. P. 790-792.9Murai T. The boundary behaviour of Hadamard lacunary series. Nagoya Math. J. – 1983. –V. 89. –P. 65–76.10Freedman A. R., Sumber J. J., Raphael V. Some Cesáro type of Summability Spaces. Proc. LondonMath. Soc. – 1978. – V. 37. – P. 508-520.11Gökhan A., Grüngör M., Bullut Y. On the strong lacunary convergence and strong Cesárosummability of sequences of real-valued functions. Applied Siences.– 2006. – V. 8, № 1. – P.
70-77.615деляющим множеством для нижнего предела t понимаем всякое множество E, для которогоϕ(x)ϕ(x)= lim= t.E∋x→b H(x)x→b H(x)Введем понятие, позволяющее в случае выпуклых функций точно описыlimвать связь между верхними и нижними характеристиками роста функции и индексом лакунарности определяющих множеств, на которых этихарактеристики достигаются.Пусть H(x) — выпуклая на интервале (a, b), b 6 +∞, функция,xk ր b — последовательность точек из (a, b).
Назовем H-калибром последовательности xk относительно H(x) величину (ср.12)(1 − λ) H(xk ) + λH(xk+1)JH (xk ) := lim sup,k→∞ λ∈[0,1]H((1 − λ) xk + λxk+1)а H-калибром множества E ⊂ (a, b), с условием sup E = b — величинуJH (E) = inf{JH (xk ) : xk ∈ E, xk ր b}.Отметим, что в данном определении берется верхняя грань отношенийординат хорды, стягивающей точки (xk , H(xk )) графика функции H(x),к ординатам самой функции в соответствующих точках. Укажем, чтопохожая характеристика, связанная с разностью ординат хорды и графика функции, рассматривалась при изучении весовых преобразованийФурье–Лапласа в работе13.
Всегда JH (xk ) > 1 и JH (E) > 1. Будем говорить, что неограниченное множество E ⊂ R+ слабо лакунарно, если егоиндекс лакунарности l(E) = 1.Справедлив следующий результат, указывающий на влияние калибраопределяющего множества для нижней характеристики сравнительногороста выпуклых функций на величину ее верхней характеристики.Теорема 1.23. Пусть ϕ(x) и H(x)— выпуклые функции на интервале (a, b), b 6 +∞. Если ϕ ∈ {H(x); (t, T )}, и E — определяющее множество для t, то выполняется неравенствоT 6 t JH (E).12(0.6)Kiselman Ch. O.
Order and type as measure of growth for convex or entire functions. Proceedingsof London Math. Soc. – 1983. – V. 66, № 3. – P. 152-186.13Напалков В. В., Юлмухаметов Р. С. Весовые преобразования Фурье-Лапласа аналитическихфункционалов в круге. Матем. сборник. – 1992. – Т. 183, № 11. – С. 139-144.16Для практического применения этого результата в п. 1.6.1 находятсяформулы, точно выражающие зависимость H-калибра множества черезего индекс лакунарности в случаях, важных в теории целых, мероморфных или субгармонических функций. Приведем характерный результат.Функцию H(x) отнесем к классу Eρ , где ρ ∈ (0, +∞), если она дифференцируема на некотором луче (a, +∞) и удовлетворяет условиюxH ′ (x)lim= ρ.x→+∞ H(x)Теорема 1.24. Пусть ϕ(x) — выпуклая функция от ln x , H(x) ∈ Eρпри ρ > 0.
Пусть далее, ϕ ∈ {H(x); (t, T )}, T ∈ (0, +∞), а E — определяющее множество для t и l = l(E) < +∞. Тогда выполняетсянеравенствоT 6tгдеd=(1c c−1 ,d,e ln dc = lρ , если l > 1,e,если l = 1.Исследованию влияния индекса лакунарности на регулярность ростацелых функций посвящен п. 1.6.2. Следуя Ж. Валирону5 , говорим, чтоцелая функция f (z) имеет совершенно регулярный рост относительноh(r), если Tf = tf ∈ (0, +∞), т. е. если существует конечный, положиln max |f (z)||z|=r. Приведем критерий совершеннотельный предел T = limr→+∞h(r)регулярного роста целой функции.Теорема 1.29. Пусть ρ(r) — уточненный порядок, ρ(r) → ρ > 0и h(r) = rρ(r) .
Функция f (z) ∈ {h(r); (t, T )} имеет совершенно регулярный рост относительно h(r) тогда и только тогда, когда тип илинижний тип функции достигается на слабо лакунарном множестве.Далее рассматривается влияние индексов лакунарности и разреженности на более тонкие, чем максимум модуля, характеристики роста целой функции. Приведем определения.Индикатор и нижний индикатор (роста) целой функции f (z) на лучеarg z = ϕ относительно функции V (r) = rρ(r) (относительно уточненного17порядка ρ(r)) определяются формулами соответственно14,15ln |f (reiϕ )|,hf (ϕ) := limV (r)ln |f (reiϕ )|h f (ϕ) := sup lim,V (r)E r∈E/где супремум берется по множествам E нулевой относительной меры,mes {E ∩ [0, r]}т.
е. таким, что lim= 0.r→+∞rЦелая функция f (z) называется функцией вполне регулярного ростана луче arg z = ϕ относительно V (r) = rρ(r) , если hf (ϕ) = h f (ϕ). Еслиэто условие выполнено для всех ϕ ∈ [0, 2π), то говорят, что f (z) имеетвполне регулярный рост (относительно уточненного порядка ρ(r), илифункции V (r) = rρ(r) ) во всей плоскости.Доказано следующее свойство, которое можно принять за определение полной регулярности роста функции на луче.Теорема 1.32. Целая функция f (z) из {V (r); (t, T )} имеет вполнерегулярный рост на луче arg z = ϕ тогда и только тогда, когда длялюбого ε > 0 множестваE(ε) = { r ∈ R+ : ln |f (reiϕ )| > (H(ϕ) − ε)h(r) }являются слабо лакунарными.Условие совершенно регулярного роста функции необходимо для полной регулярности ее роста во всей плоскости. Если это условие нарушается, то не трудно указать лучи, вдоль которых функция заведомо неимеет вполне регулярного роста.Теорема 1.30.
Пусть целая функция f (z) ∈ {V (r); (t, T )}, и пустьt < T . Тогда f (z) не имеет вполне регулярного роста ни на одном лучеarg z = ϕ ∈ [0, 2π) таком, что hf (ϕ) > t.В частности, целая функция с лакунарным по Адамару рядом Тейлора не имеет вполне регулярного роста ни на одном луче комплекснойплоскости (Теорема 1.31).14Левин Б.
Я. Распределение корней целых функций. – М.: ГИТТЛ, 1956. – 632 с.Phragmen E. et Lindelöf E. Sur une extension d’un principe classique de l’analyse et sur quelquespropriétés des fonctions monogénes dans le voisinage d’un point singulier // Acta Mathematica. – 1908.– V. 31. – P. 381–406.1518ГЛАВА 2 состоит из двух параграфов. Параграф 2.1 посвящен решению обобщенной проблемы Адамара, а § 2.2 — изучению особенностейроста целых функций нулевого порядка.В мемуаре16 А. Пуанкаре выделил две проблемы наибольшей важности, указав, с одной стороны, на связь между ростом целой функциии ее жанром, и, с другой стороны, – между ростом целой функции иее коэффициентами Тейлора.
Начало разработке методов исследованияпоставленных проблем положили труды Э. Бореля и Ж. Адамара. Вдальнейшем их идеи получили развитие в работах П. Бутру, А. Вимана, Д. Пойа, Ж. Валирона, Э. Линделефа, А. Принсгейма, А. Данжуа,Э. Майе, Дж. Литтлвуда и других математиков.Упомянем, что работаАдамара17 была удостоена премии Парижской академии наук.∞Pfnz n — целая функция, Mf (r) = max |f (z)| — макПусть f (z) =n=017симум ее модуля. Начиная с Ж.
Адамара|z|=r18и Э. Бореля , математиковинтересовал вопрос о нахождении возможно более узких классов функций H, в которых для любой целой функции f (z) нашлась бы h(r) сусловиемln Mf (r)∈ (0, +∞)(0.7)r→+∞h(r)и с возможностью вычислить эту величину (называемую типом f (z)σf := limотносительно h(r)) по тейлоровским коэффициентам fn функции f (z).Для подкласса целых функций конечного порядка эту задачу решилЖ. Валирон19, 5 , введя понятие уточненного порядка. Он показал, чтокаждая целая функция конечного порядка имеет свой уточненный порядок, относительно которого ее тип нормален, т.
е. выполняется (0.7).При этом величина типа при уточненном порядке ρ(r) определяется тейлоровскими коэффициентами по формуле11(σf eρ) ρ = lim k(n)|fn| n .n→∞16(0.8)Poincaré H. Sur les fonctions intieres //Bulletin de la S.M.F.– 1883. – V. 11. – P. 136-144.Hadamard J. Essai d‘étude des fonctions données par leur dévéloppement de Taylor // J. Math.Pure et Appl. – 1892. – V.
8, Ser. 4. – P. 154–186.18Borel E. Lessons sur les fonctions entières. II ed.— Paris: Gauthier-Vilars. – 1921. – 162 p.19Valiron G. Sur les fonctions entières d’ordre nul et d’ordre fini et en particulier les fonctions àcorrespondance régulière. Annales de la faculte des sciences de Toulouse Ser. 3. – 1913.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
