Главная » Просмотр файлов » Автореферат

Автореферат (1154388), страница 4

Файл №1154388 Автореферат (Экстремальные задачи в теории относительного роста выпуклых и целых функций) 4 страницаАвтореферат (1154388) страница 42019-09-14СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

– T. 5. – P. 117257.1719В этой формуле k(n) — обратная функция к t = rρ(r) , а валироновскийуточненный порядок ρ(r), r > 0, обладает по определению свойствами:1) lim ρ(r) = ρ > 0;20r→+∞2) в каждой точке r > 0 существуют односторонние производные, удовлетворяющие условию lim r ln rρ′ (r) = 0.r→+∞Накладывая дополнительные требования (такие, как монотонность,дифференцируемость достаточное число раз или бесконечная дифференцируемость, аналитичность в некотором угле и др.), классы уточненныхпорядков, применяемых для изучения роста целых функций, постоянносужали (см., например,14,21,22,23).

Многие авторы решали задачу коэффициентного описания роста целых функций, определяя логарифмические,экспоненциальные, (p, q)-порядки и типы и некоторые другие характеристики (см., например, работу М. Н. Шереметы24).Еще один способ характеризации роста целой функции — сравнениеего с ростом эталонных целых функций, которые называются функциями сравнения (см.25). Эти функции имеют положительные, логарифмически выпуклые тейлоровские коэффициенты, и связь с коэффициентами сравниваемых функций весьма просто описывается.Коэффициентная характеризация роста аналитических функцийважна во многих вопросах анализа.

Например, она с успехом применялась в работах Ю. Ф. Коробейника (см., например,26,27) и его учениковк исследованию разрешимости дифференциальных уравнений бесконечного порядка.20первоначально требовалось, чтобы 0 < λ = lim ρ(r) 6 lim ρ(r) = ρ < ∞.r→+∞21r→+∞Шеремета М. Н. О связи между ростом максимума модуля целой функции и модулями коэффициентов ее степенного разложения // Известия вузов. Математика. – 1967. – № 2. – C. 100-108.22Таров В. А. Гладко меняющиеся функции и совершенные уточненные порядки // Матем.заметки. – 2004.– Т. 76, вып. 2. – С.

258-264.23Маергойз Л. С. Индикаторная диаграмма целой функции уточненного порядка и ее обобщенныепреобразования Бореля–Лапласа// Алгебра и анализ.—2000.—Т. 12, выпуск 2.— C. 1—63.24Шеремета М. Н. О связи между ростом целых или аналитических в круге функций нулевогопорядка и коэффициентами их степенных разложений // Известия вузов. Математика. – 1968. –№ 6. – C. 115-121.25Казьмин Ю. А. Сравнения функции // Математическая энциклопедия. Т.

5. – М.: Советскаяэнциклопедия, 1985. – 160 с.26Коробейник Ю. Ф. Аналитические решения операторных уравнений бесконечного порядка. –Дисс. . . . д.ф.-м.н. – Ростов-на-Дону: Ростовский гос. ун-т, 1965.27Коробейник Ю. Ф. Нормально-разрешимые операторы и дифференциальные уравнения бесконечного порядка // Литовский матем. сб. – 1971. – Т. XI, № 3. – С. 569-596.20Универсальной шкалы роста целых функций, конечно, не существует,но возможность использовать достаточно узкий класс эталонных функций, с которыми можно сравнивать в том или ином смысле рост произвольной целой функции, имеет большое значение.

Такие классы называются плотными классами функций сравнения роста во множестве всехцелых функций. Аналогично определяются и плотные классы функцийсравнения роста для заданных подмножеств целых функций.В статье28 Дж. П. Эрл и В. К. Хейман доказали, что во множествецелых функций бесконечного порядка плотным классом функций сравнения роста является класс функций, удовлетворяющих условию′′h(x)h (x)= 1.limx→+∞ [h′ (x)]2В работах29, 30 В.

А. Осколков установил такой результат. Классы Hγ ,состоящие из возрастающих на R+ , дважды непрерывно дифференциру′′емых функций h(x) с h (x) > 0, удовлетворяющих условию′′h(x)h (x)lim6 γx→+∞ [h′ (x)]2с константой γ > 1, являются плотными классами функций сравненияроста во множестве всех целых функций, а классы Hγ с константой γ < 1таковыми не являются.Узкие плотные классы функций сравнения роста, состоящие из целыхфункций сравнения, коэффициенты которых обладают тем свойством,что их обратные величины являются моментами положительной меры,аналитической на (0, +∞), нашел А. Ю.

Попов31.Проблему Адамара (или, возможно точнее, Бореля–Адамара) на современном математическом языке можно сформулировать как проблемунахождения таких узких плотных классов функций, с помощью которых можно описывать как рост всех целых функций (или специальных28Earl J. P., Hayman W. K. Smooth majorants for functions of arbitrarily rapid growth // Math.Proc. Camb. Phil. Soc. – 1991. – V. 109, № 3. – P. 565-569.29Осколков В. А. О некоторых вопросах теории целых функций // Матем. сборник. – 1993. –Т.

184, № 1. –С. 129-148.30Осколков В. А. Свойства функций, заданных значениями их линейных функционалов. – Дисс.. . . д.ф.-м.н. – М.: МГУ, 1994.31Попов А. Ю. Об обращении обобщенного преобразования Бореля //Фундаментальная и прикладная математика. – 1999. – Т. 5, № 3. – С.

817-841.21подмножеств целых функций), так и скорость стремления к нулю ихтейлоровских коэффициентов. Из вышесказанного видно, что решениезадач, связанных с проблемой Адамара, возникшей более ста лет назад,остается актуальным и в настоящее время. Условие (0.7) дает точнуюасимптотическую оценку логарифма максимума модуля целой функциисверху, но во многих вопросах современного анализа важное значениеприобрели и нижние оценки целых функций. Поэтому мы расширяемзадачу Адамара, понимая под ее решением нахождение возможно болееузких классов функций H таких, что для любой целой функции f (z)дополнительно к (0.7) найдется h1 (x) ∈ H с условиемσ f := limr→+∞ln Mf (r)∈ (0, ∞)h1 (r)(0.9)и с возможностью вычисления и этой величины по коэффициентам рядаТейлора функции f (z). Такие классы функций мы называем плотными классами двустороннего сравнения роста (верхнего и нижнего) вомножестве всех целых функций.

Более того, оценки относительного роста максимума модуля целой функции, определяемые формулами (0.7)и (0.9), можно уточнять и находить такие классы эталонных функций,в которых для любой целой функции f (z) нашлись бы функции h̄(x) иh̄1 (x) со следующими условиями:lim (ln Mf (r) − h̄(r)) = 0,(0.10)lim (ln Mf (r) − h̄1 (r)) = 0.(0.11)r→+∞r→+∞Таким образом, под обобщенной проблемой Адамара мы понимаемотыскание возможно более узких классов функций, в которых для любойцелой функции f (z) нашлись бы функции, дающие точные двусторонниеасимптотические оценки ln Mf (r) и тейлоровских коэффициентов f (z),удовлетворяющих таким оценкам.В силу известной теоремы Адамара для трансцендентной целой функции f (z) функция ϕ(x) = ln Mf (ex ) является выпуклой и удовлетворяетусловиюlimx→+∞ϕ(x)= +∞.x22(0.12)Проблема Адамара оказалась связанной с регуляризацией и двусторонней аппроксимацией выпуклых функций и последовательностей, и дляее решения использовались результаты работ автора32, 33, 34.Обозначим через lnk = ln(lnk−1) k-тую итерацию логарифма, а через(k)Hγ— класс положительных, возрастающих, бесконечно дифференци-руемых строго выпуклых на R+ функций, удовлетворяющих условиюΦ(x)Φ′′(x)lim lnk Φ(x) .

. . ln Φ(x)− 1 − 1 . . . − 1 6 γ.x→+∞[Φ′(x)]2В пункте 2.1.1 параграфа 2.1 изучены основные свойства функций(k)из классов Hγ . Результаты этого пункта применяются в п. 2.1.2 дляустановления формул, связывающих поведение максимума модуля целой функции с ростом максимального члена ее ряда Тейлора. В следующих разделах 2.1.3, 2.1.4 выводятся формулы для вычисления верхних инижних характеристик роста целых функций в терминах функций сравнения и тейлоровских коэффициентов. Введем необходимые обозначенияи сформулируем один из результатов.∞Pfn z n — целая функция. Регуляризация Ньютона–Пусть f (z) =n=0Адамара коэффициентов fn (обозначим ее Fn ) строится следующим образом. Пусть y = G(x), x > 0, — уравнение границы выпуклой оболочкиточек (n, − ln |fn |).

Тогда Fn = e−G(n) , n > 0. Для всех целых n > 0выполняется неравенство fn 6 Fn со знаком равенства для бесконечноH(x)H ′ (x)го множества индексов. Обозначим через H0 (x) = x −функцию,ассоциированная по Ньютону с H(x).(k)Теорема 2.5 Пусть функция h(ex ) = H(x) ∈ H1рого k ∈для некото-N, β(t) — обратная функция к H ′ (x), H0(x) — функция,ассоциированная по Ньютону с H(x), а ω(t) — функция, обратная к32Брайчев Г. Г. О сглаживании выпуклых функций.

Обобщенная проблема Адамара // Актуальные проблемы математики, информатики, физики и математического образования. Юбилейныйсборник к 70-летию кафедры математического анализа МПГУ. –М.: МПГУ, 2004. –С. 147-156.33Брайчев Г. Г. О сглаживании выпуклых функций // Матем. вестник педвузов и университетовВолго-Вятского региона.

– 2004. – Вып. 6. – С. 38-47.34Брайчев Г. Г. Об одной проблеме Адамара и сглаживании выпуклых функций // Владикавказский математический журнал. – 2005. – Т. 7, № 3. – С. 11-25.23exp {H0(β(x))}. Тогда справедливы формулыσf = limr→∞ln Mf (r)nn = lim ,= lim−1/nn→∞ ω |fn |−1/nn→∞h(r)ω Fnσ f = limr→∞ln Mf (r)n.= lim h(r)n→∞ ω Fn−1/nРазличные формы решения проблемы Адамара содержатся в п. 2.1.5.Приведем, например, такой результат.Теорема 2.9 Пусть m ∈ N. Для любой целой трансцендентной∞P(m)fn z n существуют функции Ψi (x) ∈ H1 , i = 1, 2,функции f (z) =n=0такие, что выполняются равенстваlim (ln Mf (ex ) − Ψ1(x)) = 0 ,lim (ln Mf (ex ) − Ψ2(x)) = 0 ,x→+∞x→+∞а для коэффициентов fn верны соотношенияlimn→∞ln Fn + Ψ̃1 (n)ln |fn| + Ψ̃2 (n)ln Fn + Ψ̃2 (n)= lim= 0, lim> 0.n→∞nnnn→∞Здесь Ψ̃i (y) = sup {yx − Ψi (x)} — сопряженная по Юнгу с Ψi (y) функция, i = 1, 2.x>0Заключительный параграф главы 2 посвящен исследованию зависимости роста целой функции нулевого порядка от роста ее нулей.Пусть f (z) — целая функция нулевого порядка и f (0) = 1.

Считаем, что последовательность ее нулей Λf = {λn }∞n=0 выписана с учетомкратностей и расположена в порядке возрастания модулей. Пусть далееRr n(t)dt — считающая и усредненnf (r) = max {n : |λn | 6 r} и Nf (r) =t0ная считающая функции этой последовательности соответственно. Построим новую целую функцию по правилуF (z) :=∞Xn=0zn.λ0 λ1 · · · λnСогласно известной формуле Валирона логарифм максимального члена µF (r) этой функции совпадает с усредненной считающей функцией24нулей f (z), т.

Характеристики

Список файлов диссертации

Экстремальные задачи в теории относительного роста выпуклых и целых функций
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее