Автореферат (1154388), страница 4
Текст из файла (страница 4)
– T. 5. – P. 117257.1719В этой формуле k(n) — обратная функция к t = rρ(r) , а валироновскийуточненный порядок ρ(r), r > 0, обладает по определению свойствами:1) lim ρ(r) = ρ > 0;20r→+∞2) в каждой точке r > 0 существуют односторонние производные, удовлетворяющие условию lim r ln rρ′ (r) = 0.r→+∞Накладывая дополнительные требования (такие, как монотонность,дифференцируемость достаточное число раз или бесконечная дифференцируемость, аналитичность в некотором угле и др.), классы уточненныхпорядков, применяемых для изучения роста целых функций, постоянносужали (см., например,14,21,22,23).
Многие авторы решали задачу коэффициентного описания роста целых функций, определяя логарифмические,экспоненциальные, (p, q)-порядки и типы и некоторые другие характеристики (см., например, работу М. Н. Шереметы24).Еще один способ характеризации роста целой функции — сравнениеего с ростом эталонных целых функций, которые называются функциями сравнения (см.25). Эти функции имеют положительные, логарифмически выпуклые тейлоровские коэффициенты, и связь с коэффициентами сравниваемых функций весьма просто описывается.Коэффициентная характеризация роста аналитических функцийважна во многих вопросах анализа.
Например, она с успехом применялась в работах Ю. Ф. Коробейника (см., например,26,27) и его учениковк исследованию разрешимости дифференциальных уравнений бесконечного порядка.20первоначально требовалось, чтобы 0 < λ = lim ρ(r) 6 lim ρ(r) = ρ < ∞.r→+∞21r→+∞Шеремета М. Н. О связи между ростом максимума модуля целой функции и модулями коэффициентов ее степенного разложения // Известия вузов. Математика. – 1967. – № 2. – C. 100-108.22Таров В. А. Гладко меняющиеся функции и совершенные уточненные порядки // Матем.заметки. – 2004.– Т. 76, вып. 2. – С.
258-264.23Маергойз Л. С. Индикаторная диаграмма целой функции уточненного порядка и ее обобщенныепреобразования Бореля–Лапласа// Алгебра и анализ.—2000.—Т. 12, выпуск 2.— C. 1—63.24Шеремета М. Н. О связи между ростом целых или аналитических в круге функций нулевогопорядка и коэффициентами их степенных разложений // Известия вузов. Математика. – 1968. –№ 6. – C. 115-121.25Казьмин Ю. А. Сравнения функции // Математическая энциклопедия. Т.
5. – М.: Советскаяэнциклопедия, 1985. – 160 с.26Коробейник Ю. Ф. Аналитические решения операторных уравнений бесконечного порядка. –Дисс. . . . д.ф.-м.н. – Ростов-на-Дону: Ростовский гос. ун-т, 1965.27Коробейник Ю. Ф. Нормально-разрешимые операторы и дифференциальные уравнения бесконечного порядка // Литовский матем. сб. – 1971. – Т. XI, № 3. – С. 569-596.20Универсальной шкалы роста целых функций, конечно, не существует,но возможность использовать достаточно узкий класс эталонных функций, с которыми можно сравнивать в том или ином смысле рост произвольной целой функции, имеет большое значение.
Такие классы называются плотными классами функций сравнения роста во множестве всехцелых функций. Аналогично определяются и плотные классы функцийсравнения роста для заданных подмножеств целых функций.В статье28 Дж. П. Эрл и В. К. Хейман доказали, что во множествецелых функций бесконечного порядка плотным классом функций сравнения роста является класс функций, удовлетворяющих условию′′h(x)h (x)= 1.limx→+∞ [h′ (x)]2В работах29, 30 В.
А. Осколков установил такой результат. Классы Hγ ,состоящие из возрастающих на R+ , дважды непрерывно дифференциру′′емых функций h(x) с h (x) > 0, удовлетворяющих условию′′h(x)h (x)lim6 γx→+∞ [h′ (x)]2с константой γ > 1, являются плотными классами функций сравненияроста во множестве всех целых функций, а классы Hγ с константой γ < 1таковыми не являются.Узкие плотные классы функций сравнения роста, состоящие из целыхфункций сравнения, коэффициенты которых обладают тем свойством,что их обратные величины являются моментами положительной меры,аналитической на (0, +∞), нашел А. Ю.
Попов31.Проблему Адамара (или, возможно точнее, Бореля–Адамара) на современном математическом языке можно сформулировать как проблемунахождения таких узких плотных классов функций, с помощью которых можно описывать как рост всех целых функций (или специальных28Earl J. P., Hayman W. K. Smooth majorants for functions of arbitrarily rapid growth // Math.Proc. Camb. Phil. Soc. – 1991. – V. 109, № 3. – P. 565-569.29Осколков В. А. О некоторых вопросах теории целых функций // Матем. сборник. – 1993. –Т.
184, № 1. –С. 129-148.30Осколков В. А. Свойства функций, заданных значениями их линейных функционалов. – Дисс.. . . д.ф.-м.н. – М.: МГУ, 1994.31Попов А. Ю. Об обращении обобщенного преобразования Бореля //Фундаментальная и прикладная математика. – 1999. – Т. 5, № 3. – С.
817-841.21подмножеств целых функций), так и скорость стремления к нулю ихтейлоровских коэффициентов. Из вышесказанного видно, что решениезадач, связанных с проблемой Адамара, возникшей более ста лет назад,остается актуальным и в настоящее время. Условие (0.7) дает точнуюасимптотическую оценку логарифма максимума модуля целой функциисверху, но во многих вопросах современного анализа важное значениеприобрели и нижние оценки целых функций. Поэтому мы расширяемзадачу Адамара, понимая под ее решением нахождение возможно болееузких классов функций H таких, что для любой целой функции f (z)дополнительно к (0.7) найдется h1 (x) ∈ H с условиемσ f := limr→+∞ln Mf (r)∈ (0, ∞)h1 (r)(0.9)и с возможностью вычисления и этой величины по коэффициентам рядаТейлора функции f (z). Такие классы функций мы называем плотными классами двустороннего сравнения роста (верхнего и нижнего) вомножестве всех целых функций.
Более того, оценки относительного роста максимума модуля целой функции, определяемые формулами (0.7)и (0.9), можно уточнять и находить такие классы эталонных функций,в которых для любой целой функции f (z) нашлись бы функции h̄(x) иh̄1 (x) со следующими условиями:lim (ln Mf (r) − h̄(r)) = 0,(0.10)lim (ln Mf (r) − h̄1 (r)) = 0.(0.11)r→+∞r→+∞Таким образом, под обобщенной проблемой Адамара мы понимаемотыскание возможно более узких классов функций, в которых для любойцелой функции f (z) нашлись бы функции, дающие точные двусторонниеасимптотические оценки ln Mf (r) и тейлоровских коэффициентов f (z),удовлетворяющих таким оценкам.В силу известной теоремы Адамара для трансцендентной целой функции f (z) функция ϕ(x) = ln Mf (ex ) является выпуклой и удовлетворяетусловиюlimx→+∞ϕ(x)= +∞.x22(0.12)Проблема Адамара оказалась связанной с регуляризацией и двусторонней аппроксимацией выпуклых функций и последовательностей, и дляее решения использовались результаты работ автора32, 33, 34.Обозначим через lnk = ln(lnk−1) k-тую итерацию логарифма, а через(k)Hγ— класс положительных, возрастающих, бесконечно дифференци-руемых строго выпуклых на R+ функций, удовлетворяющих условиюΦ(x)Φ′′(x)lim lnk Φ(x) .
. . ln Φ(x)− 1 − 1 . . . − 1 6 γ.x→+∞[Φ′(x)]2В пункте 2.1.1 параграфа 2.1 изучены основные свойства функций(k)из классов Hγ . Результаты этого пункта применяются в п. 2.1.2 дляустановления формул, связывающих поведение максимума модуля целой функции с ростом максимального члена ее ряда Тейлора. В следующих разделах 2.1.3, 2.1.4 выводятся формулы для вычисления верхних инижних характеристик роста целых функций в терминах функций сравнения и тейлоровских коэффициентов. Введем необходимые обозначенияи сформулируем один из результатов.∞Pfn z n — целая функция. Регуляризация Ньютона–Пусть f (z) =n=0Адамара коэффициентов fn (обозначим ее Fn ) строится следующим образом. Пусть y = G(x), x > 0, — уравнение границы выпуклой оболочкиточек (n, − ln |fn |).
Тогда Fn = e−G(n) , n > 0. Для всех целых n > 0выполняется неравенство fn 6 Fn со знаком равенства для бесконечноH(x)H ′ (x)го множества индексов. Обозначим через H0 (x) = x −функцию,ассоциированная по Ньютону с H(x).(k)Теорема 2.5 Пусть функция h(ex ) = H(x) ∈ H1рого k ∈для некото-N, β(t) — обратная функция к H ′ (x), H0(x) — функция,ассоциированная по Ньютону с H(x), а ω(t) — функция, обратная к32Брайчев Г. Г. О сглаживании выпуклых функций.
Обобщенная проблема Адамара // Актуальные проблемы математики, информатики, физики и математического образования. Юбилейныйсборник к 70-летию кафедры математического анализа МПГУ. –М.: МПГУ, 2004. –С. 147-156.33Брайчев Г. Г. О сглаживании выпуклых функций // Матем. вестник педвузов и университетовВолго-Вятского региона.
– 2004. – Вып. 6. – С. 38-47.34Брайчев Г. Г. Об одной проблеме Адамара и сглаживании выпуклых функций // Владикавказский математический журнал. – 2005. – Т. 7, № 3. – С. 11-25.23exp {H0(β(x))}. Тогда справедливы формулыσf = limr→∞ln Mf (r)nn = lim ,= lim−1/nn→∞ ω |fn |−1/nn→∞h(r)ω Fnσ f = limr→∞ln Mf (r)n.= lim h(r)n→∞ ω Fn−1/nРазличные формы решения проблемы Адамара содержатся в п. 2.1.5.Приведем, например, такой результат.Теорема 2.9 Пусть m ∈ N. Для любой целой трансцендентной∞P(m)fn z n существуют функции Ψi (x) ∈ H1 , i = 1, 2,функции f (z) =n=0такие, что выполняются равенстваlim (ln Mf (ex ) − Ψ1(x)) = 0 ,lim (ln Mf (ex ) − Ψ2(x)) = 0 ,x→+∞x→+∞а для коэффициентов fn верны соотношенияlimn→∞ln Fn + Ψ̃1 (n)ln |fn| + Ψ̃2 (n)ln Fn + Ψ̃2 (n)= lim= 0, lim> 0.n→∞nnnn→∞Здесь Ψ̃i (y) = sup {yx − Ψi (x)} — сопряженная по Юнгу с Ψi (y) функция, i = 1, 2.x>0Заключительный параграф главы 2 посвящен исследованию зависимости роста целой функции нулевого порядка от роста ее нулей.Пусть f (z) — целая функция нулевого порядка и f (0) = 1.
Считаем, что последовательность ее нулей Λf = {λn }∞n=0 выписана с учетомкратностей и расположена в порядке возрастания модулей. Пусть далееRr n(t)dt — считающая и усредненnf (r) = max {n : |λn | 6 r} и Nf (r) =t0ная считающая функции этой последовательности соответственно. Построим новую целую функцию по правилуF (z) :=∞Xn=0zn.λ0 λ1 · · · λnСогласно известной формуле Валирона логарифм максимального члена µF (r) этой функции совпадает с усредненной считающей функцией24нулей f (z), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
