В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Координаты (8.40) тензора А! „1 обычно обозначаются символами (8.41) Очевидно, для тензора А! „! выполняется условие кососимметрии (8.37) по нижним индексам т и 1„. Операция альтернирования тензора по верхним индексам 1 и 1„ определяется аналогично. Построенный тензор обозначается символом А1™ и!. Для координат тензора А' й используется обозначение, аналогичное обозначению (8.41) координат тензора А! В заключение отметим очевидное равенство '4!т, и! + '1!т, и! В 3. Метрический тензор.
Основные операции векторной алгебры в тензорных обозначениях 1. Понятие метрического теизора в евклидовом пространстве. В 3 2 гл.7 говорилось о том, что скалярное произведение в конечномерном линейном пространстве может быть задано с помощью билинейной формы, полярной некоторой положительно определенной квадратичной форме. В этом параграфе мы будем считать, что в рассматриваемом КОНЕЧНОМЕрНОМ ЕВКЛИдОВОМ ПрОСтраНСтВЕ Гчи СКаЛярНОЕ ПрОИЗВЕЛЕНИЕ задано такого типа билинейной формой А(х, у). В п.2 предыдущего параграфа (пример 3) мы убедились, что коэффициенты матрицы билинейной формы могут рассматриваться как координаты тензора. Эти коэффициенты для билинейной формы А(х, у), с помощью которой задается скалярное умножение в гд", мы обозначим через 8ч,.
Таким образом, е! — координаты некоторого тензора С в базисе е!,ез,...,е„. Этот тензор типа (2, О) называется метрическим тензором пространства ед". Напомним, что координаты К;, тензора С определяются соотношениями ео = А(е;, е,) (8.42) (см. формулу (8.23)). Заметим также, что так как форма А(х, у) симметрична (А(х, у) = = А(у, х)), то, согласно (8.42), еч = 8,О т. е.
метрический тензор С симметричен по нижним индексам т и у. Пусть х и у — произвольные векторы в Е", х' и уз — координаты этих векторов в базисе е!, ез,..., е„. Скалярное произведение (х, у) векторов х и у равно А(х, у). Обра!цаясь к выражению (8.24) для билинейной формы в данном базисе (гл. 8 232 тензОРЫ и используя равенство (х, у) = А(х, у), получим следующую формулу для скалярного произведения (х, у) векторов х и у: (х, У) = 8;Зл'У~. (8.43) В частности, скалярные произведения (е,,е.) базисных векторов е, и е анны Обозначая д'~ = А(е', ез), получим следующее выражение для (х, у): (8.45) (х, у) = д'ы л;у . (8.46) Как и в п.2 предыдущего параграфа (см.
пример 3), легко убедиться, что уы представляют собой координаты тензора типа (О, 2), симметричного по индексам г и ~. Этот тензор типа (О, 2) также называется метрическим тензором пространства Е". Мы будем обозначать его тем же символом С, что и введенный выше метрический тензор типа (2, 0): в следующем пункте мы выясним, что координаты д, и ды можно рассматривать как ковариантные и контравариантные координаты одного и того же тензора.
В дальнейшем эти координаты у; и уы мы так и будем называть ковариантными и контравариантными координатами тензора С. В конце п.2 э 1 этой главы, исследуя вопрос о построении взаимных базисов, мы ввели величины 8,3 и уы по формулам (8.10). Сравнивая эти формулы с формулами (8.42) и (8.45), мы приходим к выводу, что этн величины представляют собой ковариантные и контравариантные координаты метрического тензора С. В этом же п.2 э1 мы доказали, что матрицы, элементами которых являются координаты д,.
и 8", взаимно обратные. Это означает, что справедливо соотношение 8" ууь = б„'. (8.47) Таким образом, координаты 8"У тензора С могут быть построены по координатам я;, и наоборот (для этого надо обратиться к известному способу построения элементов обратной матрицы). 2. Операция поднятия н опускания индексов с помощью метрического тензора. Метрический тензор С используется для операции поднятия и опускания ичдексое у координат данного тензора А. Эта операция заключается в следующем.
(еь еу) = я.ы (8.44) (это следует из равенства (е,, е,) = А(еь е,) и из формулы (8.42); впрочем, формулу (8.44) легко получить и непосредственно из (8.43)). Рассмотрим теперь, наряду с базисом ен ез,...,е„, взаимный базис е', е,..., е". Пусть х = л,е' и у = у,е' — разложения векторов х и у по векторам взаимного базиса. Тогда для скалярного произведения (х, у) получим следующую формулу: (х, у) = А(х, у) = А(л,е', у,ез) = А(е', е')ану,. 43) 233 ОПЕРАЦИИ В ТЕНЗОРНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ Пусть А — тензор типа (р, д) с координатами А,, ";. '. Для приме- М ьгзвр ра покажем, каким образом проводится операция поднятия индекса гы Свернем тензоры С и А по верхнему индексу у у первого тензора и по нижнему индексу 11 у второго тензора, т.е. построим тензор гп Мер ым с координатами ~г"А ,.';: ' и у координат полученного тензора индекс г обозначим через г1. Затем эти координаты обозначим символами А,", ', '"' '.
Таким образом, 1нмь звр Ирг ~егьг..ер гг ..гр 8 ьи..гр (8.48) Замечание 1. Так как порядок расположения индексов у координат тензора определяет «нумерациюр его координат, то, вообще говоря, при поднятии индекса нужно отмечать место среди верхних индексов, на которое будет поднят данный нижний индекс.
Иногда в ряду нижних индексов нужно отметить место поднимаемого нижнего индекса. Это делается с помощью точки, которая ставится на место поднятого индекса. Поэтому координаты тензора в левой части (8.48) г ~ "' "г -.Ьр следовало бы записать следующим образом: А ', ','" '. К примеру, если первый нижний индекс поднимается на второе место среди верхних индексов, то в результате мы получим тензор с координатами А,, "~ гч ~".. Ер Замечание 2.
Операция опускания индекса с помощью метрического тензора С определяется аналогично. Например, координаты тензора, полученного путем опускания у тензора А индекса кч на последнее место в ряду нижних индексов, имеют следующий вид: А' " '=я А.'" " '". рг..грвр — р гг...г, яь рг 3 а м е ч а н и е 3. Операцию поднятия или опускания индекса можно применять несколько раз, причем каждый раз по отношению к различным индексам данного тензора. Рассмотрим примеры поднятия и опускания индексов у тензоров.
Пусть х — вектор, л; и л" — соответственно его ковариантные и контравариантные координаты (напомним, что вектор представляет собой тензор ранга 1). Поднимем у координат л, индекс г с помощью метрического тензора С. В результате получим тензор с координатами 8Я л„. Так как л„ = (х, е ), то д' м„ = я' (х, е„) = (х, ф' е ). Согласно (8.11) ~г е„= е', а (х, е') = л'. Поэтому ф'"х = х'. Таким образом, контравариантные координаты л' вектора х можно получить как результат операции поднятия индекса у ковариантных координат л, этого вектора.
Ковариантные координаты л, могут быть получены как результат операции опускания индекса у контравариантных координат л( Выясним результат двукратного применения операции поднятия индекса у ковариантных координат я:г, метрического тензора С с по- (гл. 8 234 тензогы мощью контравариантных координат К" этого же тензора. Иными словами, выясним, что представляет собой тензор с координатами (8.49) Используя симметрию тензора С по нижним индексам и соотношение (8.47), найдем КздК д = КэдКд = б'„. Подставляя найденное выражение для КтдК,чз в (8.49) и используя свойства символа Кронекера д~, получим Совершенно аналогично можно убедиться в справедливости равенства К~оК1ЗК = К0. с а (х, у) = К, х'ут.
Известно, что с помощью преобразования базиса матрицу билинейной формы Кмл'ут можно привести к диагональному виду. При этом, в силу положительной определенности матрицы, после приведения матрицы (К0) к диагональному виду координаты метрического тензора будут равны нулю при г ф у' и единице при 1 = ~.
Обозначая эти координаты прежним символом К0, получим (О при гфу, (1 при г = з. (8.50) Базис е„ в котором координаты К„ метрического тензора удовле- творяют условию (8.50), является ортонормнрованным. Действительно, так как (о,, о~) = Км (см. (8.44)), то, согласно (8.50), ~ 0 при г ~ т, 1! при г = т, а это и означает, что е, — ортонормированный базис. В гл.4 мы выяснили, что в ортонормированном базисе скалярное произведение (х, у) векторов х и у с координатами л' и уз может быть вычислено по формуле (х, у) = ~ х'у, а=! (8.51) Последние две фоРмУлы еще Раз подчеРкивают, что Км и К" естественно рассматривать как коварнантные и контравариантные координаты метрического тензора С. 3. Ортоиормнрованиые базисы в Е".
Мы уже выяснили, что скалярное произведение (х, у) в Е" может быть задано с помощью метрического тензора С, координаты К0 которого представляют собой элементы симметричной положительно определенной матрицы (К,.). Именно, согласно (8.43), ОПЕРАЦИИ В ТЕНЗОРНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ 235 а квадрат длины (х, х) вектора х — по формуле И (х, х) = 2 '(х') . (8.52) г=1 Обратимся к так называемым ортогональным линейнгям преобразованиям, т.е. к таким линейным преобразованиям, при которых ортонормированный базис переходит в ортонормированный. Иными словами, если Š— ортогональное преобразование и е; — ортонормированный базис, то Ее, также образует ортонормированный базис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
