В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Исследуем действие преобразования ! на произвольный вектор х = х'е,. Обозначим через Х результат действия Е на х; Х=!х. Используя свойство линейности Т,, найдем Х = Ех'е, = х'Т,ео Так как Ее; базис, то из последнего соотношения вытекает, что вектор Х имеет в базисе Ее, такие же координаты, как и вектор х в базисе ен т.е. при ортогональном преобразовании сохраняют свое значение координаты вектора. Поскольку Ье, ортонормированный базис, то скалярное произведение (Х, Ъ') векторов Х = Ех и Ъ' = Т,у может быть найдено по формуле (8.51), а квадрат длины (Х, Х) вектора Х = 1х — по формуле (8.52).
Мы выяснили, что при ортогональных преобразованиях сохраняют свое значение координаты векторов. Отсюда и из соотношений (8.51) и (8.52) получаем (Х, Ъ ) = (х, у), (Х, Х) = (х, х). Таким образом, при ортогональнелх преобразованиях не меняются длины векторов и их скалярньге произведения. Как известно, ортогональные преобразования Е могут быть заданы с помощью ортогональной матрицы.
Определитель г1е1 Е такой матрицы удовлетворяет условию Йет Ь = х 1. Выберем один из ортонормированных базисов и договоримся называть этот базис правым. В этом случае будем говорить, что евклидова пространство Е" ориентировано. Все базисы в Е", получающиеся из данного ортогональными преобразованиями с определителем, равным +1, назовем правыми, а все базисы, которые получаются из данного ортогональными преобразованиями с определителем, равным — 1, — левыми. Легко убедиться, что преобразование правого базиса в правый характеризуется равенством +1 определителя преобразования, а левого в левый — равенством -1 этого определителя. Обозначим через 0(п) множество всех ортогональных преобразований в Е", а через Оэ(п) — множество ортогональных преобразований правых базисов. Эти множества будут рассмотрены в следующей главе.
3 а м е ч а н и е. В дальнейшем мы будем называть произвольный базис еи еш.,,, е„правым (левым), если определитель матрицы пе- (гл. 8 236 тензоРЫ рехода от выбранного правого ортонормированного базиса к базису еы ез,,,., е„ положителен (отрицателен). 4. Дискриминантншй тензор. Рассмотрим так называемый вполне кооосимметрический тензор еи„п .. типа (р, О), т.е. такой тензор, который кососимметричен по любым двум нижним индексам. Для того чтобы этот тензор не был нулевым, необходимо, чтобы число р не превышало и, т.е. удовлетворяло условию р ( и, ибо, если р > и, то любая координата будет иметь по меньшей мере два одинаковых индекса, при перестановке которых эта координата одновременно должна и изменить знак, и остаться неизменной. Это может быть лишь в том случае, когда указанная координата равна нулю.
Следовательно, при р > и любая координата тензора равна нулю, т.е. тензор является нулевым. Особый интерес представляет вполне кососимметрический тензор, ранг р которого равен размерности и пространства. Любая координата зип , такого тензора может быть найдена по формуле е;, з О, если среди индексов эы 1з,..., 1„ хотя бы два совпадают, пц...й ( — 1)"к' еш „, если все индексы различны. (8.53) (8.54) зш „=1. С помощью соотношения (8.53) в данной системе координат определяются все координаты зп„ы„вполне кососимметрического тензора, а следовательно и сам тензор, который в дальнейшем мы будем называть дискриминантнььи тензором. Координаты этого тензора в произвольном базисе ец ез, ..., е„обозначим через с,„,,„.
Обозначим символом В матрицу перехода от выбранного правого ортонормированного базиса к некоторому базису еп, ем,..., е„, а через Ь,', — элементы этой матрицы. Согласно (8.53) для вычисления координат с;, , дискриминантного тензора в базисе еп, ез,..., е„ достаточно зйать значение координаты с~ з Используя формулу (8.19) преобразования координат тензора и соотношение (8.54), получим, переходя от выбранного ортонормированного базиса к базису еп, еж,...,е„, ю=!н.п....,г ! = г(еС (6,',) = с(е! В.
(8.55) В формуле (8.53) з!дп и равно 0 или +1 в зависимости от четности или нечетности перестановки а = (зы 1з,..., 1„) (э!пни называют также знаком этой перестановки). Рассмотрим какую-либо правую ортонормированную систему координат и положим в ней ОПЕРАЦИИ В ТЕНЗОРНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ 237 Пусть яп, — координаты метрического тензора в базисе е|, есо ... ..., е„, Так как матрица С = (я.пу ) есть матрица билинейной формы ЕР л' у', представляющей собой скалярное произведение векторов х и у с координатами х' и у', то при переходе от данного ортонормированного базиса (в котором матрица Е рассматриваемой билинейной формы является единичной) к базису ер, еач ..., е„справедлива формула С = В'ЕВ. Отсюда следует, что с(ет С = с1ет В'с1ес Ег(ет В = = (с1еС В)з. Обозначая с(еьС через д, получим из последнего соотношения дет В = х ф. Обращаясь к соотношениям (8.55), мы получим, что срж „= х Я.
Таким образом, в произвольном базисе еи еш..., е„ выражение для координаты сгв „дискриминантного тензора имеет вид см „= ~АЯ, (8.56) где д. — определитель матрицы (я,,) метрического тензора в базисе еи ев,,,., е„. Отметим, что в формуле (8.56) знак плюс соответствует правому базису, а знак минус — левому. 5. Ориентированный объем. Введем в ориентированном евклидовом пространстве Е" так называемую аффинную систему координат, определив ее как совокупность фиксированной точки О с координатами (О, О,..., О) и базиса еи ем ..., е„. Координаты любой точки М в Е" определяются в этом случае как координаты в базисе еи ев, ... ..., е„вектора ОМ. Рассмотрим в Е" занумерованную систему из и векторов (8.57) и рассмотрим всевозможные векторы ОМ, определяемые соотношениями ОМ = онх+ авх+,,.
+ а„х, (8.58) при всевозможных ан удовлетворяющих неравенствам 0 < он < 1, т= 1,2,..., н. Множество всех точек М пространства Е", определяемое соотношениями (8.58), образует так называемый и-мерный параллелепипед в Е", натянутый на векторы (8.57). Ориентированным обьемом $' (х, х,..., х) этого параллелепипеда называется число (8.59) При этом счн,„— координаты дискриминантного тензора в базисе еи ев,...,е„, а л", л'-',..., л'" -- контравариантные координаты з п, векторов х, х,..., х в этом же базисе.
Термин лориентированный объем» объясняется тем, что в случае, если векторы (8.57) образуют правый базис, ориентированный объем положителен (Г > О), а в случае левого базиса — отрицателен ( Р' < О). (гл. 8 238 тензОРЫ Отметим, что при и = 3 ориентированный объем, вычисляемый для и = 3 по формуле (8.59), представляет собой обычный объем паралг з лелепипеда, натянутого на векторы х, х, х, взятый со знаком +, если 2 3 тройка х,х,х правая, и со знаком †, если эта тройка левая.
6. Векторное произведение. С помощью дискриминантного тензора можно записать в трехмерном пространстве Ез в тензорном виде векторное произведение, Такая запись широко используется при различных вычислениях в так называемых криволинейных координатах. Пусть сс,ь -- координаты дискриминантного тензора в данном базисе е1,ег, ез пРостРанства Ез. Поднимем У этого тензоРа пеР- вый индекс с с помощью метрического тензора 82 , т.е. рассмотрим тензор с,'„.
Тогда координаты 2! вектора а = ]ху] (т.е. векторного пРоизведениЯ вектоРов х и У) в базисе е1, ег, ез имеют вид з" = с'ьлгу . (8.60) Так как с,'ь вг!уь представляет собой тензор типа (О, 1), то 2! можно рассматривать как контравариантные координаты вектора. Поэтому, чтобы убедиться, что з' действительно представляют собой координаты векторного произведения, достаточно обратиться к какой-либо определенной системе координат и непосредственно провести проверку. Эта проверка элементарна для ортонормированного базиса и предоставляется читателю. Соотношение (8.60) может служить основой для введения векторного произведения и — 1 вектора в Е".
1 2 и — 1 Пусть х, х,..., х — какие-либо и — 1 вектор в Е". Определим 1 2 и — 1 координаты зс векторного произведения в = [хх... х ] с помощью соотношений 1 '21 (8.61) В соотношениях (8.61) с;'„,; — координаты дискриминантиого 1! 21 и — 1 тензора с поднятым первым индексом, а л", л", ..., лс"-' — контрава- 1 2 и — 1 риантные координаты векторов х,х,..., х . 7. Двойное векторное произведение.
Из векторной алгебры известна следующая формула для двойного векторного произведения ]а]Ьс1]] векторов а, Ь и с( [а[Ьс(]] = Ь(ас1) — с((аЬ). (8.62) Используя соотношение (8.60) и формулу (8.43) для скалярного произведения векторов, перепишем (8.62) следующим образом: (8.63) С помощью (8.63) мы получим формулу, связывающую тензоры сь, и усь, которую в свою очередь используем для записи координат двойного векторного произведения. 239 метгическии тензОР Проведем следующие преобразования в формуле (8.63).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
