В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Это согласование преобразований и объясняет наименование ковариантные ) координаты вектора, ') Ковариантный — согласованно изменяющийся. ОснОВные ОпеРлции нлд тензОРлми Рассмотрим теперь преобразование контравариантных координат вектора х. Подставляя в правую часть соотношения х' = (х, е' ) выражение для е' из формул (8.16), получим после преобразований (8.18) Мы видим, что при переходе к новому базису контравариаптные координаты вектора х преобразуются с помощью матриг1ы (6, ') обратного перехода от нового базиса к старому. Это несогласование преобразований и объясняет термин контравариантпые ') координаты вектора. 9 2.
Понятие тензора. Основные операции над тензорами 1. Понятие тензора. В этом параграфе мы рассматриваем произвольное (не обязательно евклидова) вещественное и-мерное линейное пространство Т,". Определение. Тензором А типа (р, у) (р раз коварнантны м и у раз контравариантным) называется геометрический объект, который: 1) в каждом базисе е, линейного пространства Ь" определяется пР+д координатами А, "; (индексы 1П ..., 1 „, йн ..., 6д независимо принийы йд 3 ! ... $ р мают значения 1, 2, ..., и); 2) обладает тем свойством, что его коордий,...й„ й, йд наты А,,"",," в базисе ее связаны с координатами А,.''", ' в базисе е, соотношенйями (8.19) в которых 6',, элементы матрицы (6',,) перехода от базиса е, к базису еи, а 6," — элементы матрицы обратного перехода от ее к е;. Число г = р + у называется рангом тензора. Замечание 1.
Формулы (8.19) называют формулами преобразования координат тензора при преобразовании базиса. Отметим, что ковариантные и контравариантные координаты вектора преобразуются по формулам (8.!9) (при р = 1 и у = О в первом случае и при р = О и у = ! во втором, см. П.З З 1 этой главы). Поэтомувектор представляет собой тепзор ранга 1 (! раз ковариантный либо 1 раз контравариантный — в зависимости от выбора координат этого вектора). Отметим, что рассматривают также тензоры ранга О.
Это тензоры, имеющие лишь одну координату, причем эта координата не снабжена индексами и имеет одно и то же значение во всех системах координат. Тензоры ранга О обычно называются инвариантами. 3 а м е ч а н и е 2. Индексы 1н..., (р называются ковариантными, а )дн ..., кд — контравариантными. Наименование объясняется тем, что ') Контравариантный — противоположно изменяющийся. (гл. 8 224 тензогы по каждому из упомянутых индексов преобразование координат тензора производится в полной аналогии с преобразованиями ковариантных и контравариантных координат вектора (см.
формулы (8.17) и (8.18)). Для того чтобы определение тензора было корректным, нужно убедиться, что последовательные переходы от базиса е; к базису еп, а затем от базиса еп к базису еч приводят к такому же преобразованию координат тензора, что и при непосредственном переходе от е; к е; . Пусть (Ь,',), (Ь,'„) и (Ь,'.„) — соответственно матрицы перехода от базиса е; к базису еп, от базиса еп к е,. и от базиса е; к е; Так как при последовательных переходах матрицы преобразований перемножаются, то очевидны соотношения Ь,'„= Ь,'„Ь,'.„Ь,'.
= 6',, Ь, '. (8.20) После сделанных замечаний убедимся в корректности определения тензора. Пусть А,'"',', А,,'"',,', А,,',";.„' — координаты тензора А в базисах е,, еи и е; соответственно. По формулам (8.19), переходя последовательно от е; к еп, а затем к е;, получим (8.21) а',...а'„б ''' а'„м ''' ьц п...ч, ' (8.22) Подставляя в правую часть (8.22) выражения координат А,' ",' из ю', г'„ (8.21) и учитывая соотношения (8.20), получим Аг .'Р' = (6,' Ьч)" (6,.96;") (Ь~~' Ь"„,')~" (Ьи'Ь~') А~,.;~' = 1 м Йц ч ~р Таким образом, последовательные переходы от базиса е; к базису е,, а затем к базису е, приводят к такому же преобразованию координат тензора, как и при непосредственном переходе от е, к еп .
Корректность определения тензора установлена. 3 а м е ч а н и е 3. Любая система и" гч чисел А.' "' " может раси ...ар сматриваться в данном базисе еч как координаты некоторого тензора А типа (р, г1). Чтобы убедиться в этом, определим в произвольном ь,(...ь; базисе еп с помощью формул (8.19) систему чисел А,,'";.,', которые будем рассматривать как координаты искомого тензора А в базисе еп.
Очевидно, что при переходе от базиса е, к базису е, эти координаты преобразуются по формулам (8.!9). Как и выше, легко убедиться, что последовательные переходы от базиса е; к базису еп, а затем к базису еп приводят к такому же преобразованию полученных координат, как и при непосредственном переходе от е; к е, . Следовательно, система чисел действительно представляет собой координаты некоторого тензора А типа (р, д).
225 основныв опррлции над твнзорйми А(х, у) = А(л'ен уте ) = А(е,, е )л'уа. Обозначим А(е„е,.) через а;,.: а, = А(е„е ). Тогда форма А(х, у) может быть записана следующим образом: (8.23) А(х, у) = аоа'уа. (8.24) Убедимся, что коэффициенты а;,. матрицы формы А(х, у) при переходе к новому базису преобразуются по закону (8.19) преобразования координат тензора типа (2, О), т.е. представляют собой тензор типа (2, О).
Рассмотрим произвольный базис егн егч ..., е„. Запишем в этом базисе форму А(х, у) в виде (8.24) А(х, у) = аеа ал у', причем ан = А(ен, е. ). (8.25) Перейдем от базиса еы еа, ..,, е„к новому базису е|, еач ..., е„. Обозначая матрицу перехода от базиса е; к базису ен через Ь;'„ получим ен = Ь,',е,, ез = Ьа,е . Подставляя эти выражения для е; и е в правую часть (8.25) и используя линейное свойство формы А(х, у) по каждому аргументу, найдем ан = А(Ь,',е;, Ь, 'е,.) = Ь,',Ь, 'А(е,, е,.). 8 Лапейааа алгебра 2. Примеры тензоров. 1'.
Нуль-тензор. Среди тензоров типа (р, д) следует выделить так называемый нуль-тензор. Это тензор, координаты которого в любом базисе равны нулю. Очевидно, соотношения (8.19) выполняются. Отметим, что если координаты тензора А равны нулю в каком- либо базисе, то, согласно (8.19), они равны нулю в любом базисе, и, следовательно, А — нуль-тензор. 2'. Силгвол Кронекера. Убедимся, что гензор А типа (1, 1), имеющий в базисе е, координаты б,", будет иметь в базисе ен координаты ба.
Итак, пусть А — тензор, имеющий в данном базисе е; координаты бь. Для того чтобы найти координаты этого тензора в базисе ен, надо воспользоваться формулами (8.19), т.е. координаты тензора А в базисе ен равны Ьуь Ь,',б,". Используя свойства символа Кронекера, Итак, в новом базисе е, координаты тензора А действительно равны б,", .
Поэтому символ Кронекера можно рассматривать как тензор типа (1, 1). 3'. Пусть А(х, у) — билинейная форма, заданная в конечномерном евклидовом пространстве Е", а ен ез,..., е„ какой-либо базис в этом пространстве. Тогда векторы х и у могут быть представлены в виде х = а'е„у = узе.. Используя линейное свойство формы А(х, у) по каждому аргументу, мы можем записать (гл. 8 226 тензОРы р р у'е, = х'й(е,), Разложим вектор Це;) по базису еы ез, ..., е„: Це)=а(е.
Подставляя полученное выражение для Це,) в (8.26) и используя единственность разложения по базису, получим уз = азх', у = 1, 2,..., а. (8.27) Напомним, что соотношения (8.27) можно рассматривать как координатный способ задания линейного оператора. При этом матрицу (а',.) коэффициентов а', называют матрипей линейного оператора.
Убедимся, что коэффициенты этой матрицы при переходе к новому базису преобразуются по закону (8.!9) преобразования координат тензора типа (1, !) и поэтому представляют собой тензор типа (1, !). Рассмотрим произвольный базис епо его ...,е„.. Запишем в этом базисе линейный оператор 7, в виде (8.27) (8.28) Перейдем теперь от базиса еы еа, ..., е„к базису еп, егп ..., е„. Обозначая матрицу перехода (Ь,',) (или, что то же самое, (6,',)), получим ') (см. и. 3 э 1 этой главы) х' = Ь;*,х*, у~ = Ь~~,у Подставим эти выражения для х' и у' в (8.27).
Получим следующие соотношения: у~ Ьзь, = азЬ;',х', у = 1, 2, ..., п. (8.29) Нам нужно получить из (8.29) выражение для у'. Для этой цели умножим обе части (8.29) на 6~ и просуммируем по у' от 1 до п. Учитывая, что Ьзь,Ь~ = б~~„получим у" У, = (6,',Ь'. аз)х'.
Заметим, ') В формуле для у' индекс суммирования мы обозначим через 6'. Согласно формуле (8.28) последнее соотношение можно переписать Следовательно, коэффициенты агу матрицы билинейной формы преобразуются по закону (8.19) преобразования координат тензора типа (2, 0), и поэтому могут рассматриваться как координаты тензора такого типа.
4'. Каждому линейному оператору, заданному в конечномерном пространстве Е" и действующему в то же пространство, можно поставить в соответствие некоторый тензор типа (1, 1), причем этот тензор будет вполне определять указанный оператор. Пусть у = йх — линейный оператор, заданный в Е" и еп еа, ... ..., е„— базис в Е". Так как х = х'е,, а у = у'е и й — линейный опе ато, то (8.26) Основные ОпеРлцни нлд тензОРлми 227 что уй б~~, = уз . Поэтому уз = (6,',6~ аз)х' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
