В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Сравнивая это выражение для уз с выражением для уз по формуле (8.28), получим следующее тождество, справедливое для любых векторов х (для любых координат х' ): азах' = (Ь„',Ь~ аз)х' . Отсюда и из произвольности х' следует, что коэффициенты а', матрицы линейного оператора преобразуются по закону а,', = (Ь,',Ь' а',). Итак, коэффициенты аз преобразуются по закону (8.19) преобразования координат тензора типа (1, 1) и поэтому представляют такой тензор. 3. Основные операции над тензорвми. Основными операциями над тензорами называются операции сложения и вычитания тензоров, операция умножения тензора на число, операция умножения тензоров, операция свертывания гпензоров, операция перестановки индексов, операции симметрировония и альтернировония тензоров. Перейдем к определению этих операций. !'.
Сложение и вычитание те из оров. Операции сложения и вычитания определяются для тензоров одинакового типа. Пусть А и  — два тензора типа (р, д), А,.'"; ' и В,'"; ' одноименные координаты этих тензоров в базисе е,. Суммой А+ В (разностью А — В) этих тензоров называется тензор, имеющий в базисе е, координаты А '"' '+ В,.'"' ' (А " ' — В '"', ') . гг гр и...гр 1 г...гр г~ .. р / Чтобы данное определение операций сложения и вычитания тензоров было корректным, необходимо проверить, преобразуются ли координаты суммы (разности) тензоров по закону (8.!9) преобразования координат тензора.
Для этого представим себе, что наряду с формулами (8.19) преобразования координат тензора А записаны аналогичные формулы преобразования координат тензора В. Тогда путем сложения (вычитания) таких двух формул преобразования координат тензоров А и В мы убедимся, что координаты суммы (разности) преобразуются по закону преобразования координат тензора. 2'.
Умножение те изара на число. Пусть А — тензор тий(...й па (р, г!), имеющий в базисе е, координаты А,. ";. ', и о — произвольное вещественное число. Произведением ОА тензора А на число о называется тензор, й, ...йг имеющий в базисе е; координаты ОА, "", '. г~...ы й~ ...йг То, что координаты ОАП "', ' преобразуются по тензорному закону, непосредственно следует из формул (8.!9). 3'.
Умножение те из оров. Операция умножения тензоров определяется для тензоров произвольного типа. Пусть А тензор типа (р, г!), имеющий в данном базисе е, кой~ ...йг ординаты А„'", ', а  — тензор типа (т, з), имеюгдий в этом же (гл. 8 228 тензОРЫ базисе координаты В, '; '. Для определения произведения Р = АВ тензоров А и В составляются всевозможные произведения координат тензора А на координаты тензора В.
В каждом таком произведении индексы 1ы,,., 1, и ты ..., т, у координат тензора В заменяются новыми индексами. Именно, полагают 1~ = урги ..., 1„= г„ч, и т~ = 'сыч-1 ''' ™В 'сч-гб' Произведением Р = АВ тензоров А и В называется тензор типа (р+ г, о+ з), имеющий в базисе е; координаты Ры- ~Ам ."ч+ 1"пзмВ~~;-~ ."~+ П.. „0-,-~..0-г П. 0 В-гь..Ь-г. (8.30) Чтобы убедиться, что координаты Р,,'",;. '+,',: "+", определенные соотношением (8.30), преобразуются при переходе к другому базису по закону преобразования координат тензора, т.е. действительно представляют собой координаты тензора, достаточно записать формулы преобразования (8.19) для координат А,,'"; ' и В,",'",.
'+' тензоров А и В и перемножить правые и левые части этих формул. В результате, обращаясь к соотношению (8.30), легко получить нужные формулы преобразования для координат Р,',; '~', ' '. 3 а м е ч а н и е. Операция умножения тензоров не обладает свойством перестановочности: вообще говоря, АВ ~ ВА. Это объясняется тем, что порядок следования индексов у координат тензора определяет «номера этой координаты. Таким образом, хотя численные значения выражений А '"' 'В,.'+'"з '+' П .
ы *'~ы -.2Р-г и Вь' "";""+' А,.' ". ' г>ы,, ч '~ ..г, А'"'": '. п...г ...Йр Произведем суммирование (свертывание) координат теизора с одинаковымн выделенными индексами. Эта операция и дает следующие координаты тензора, полученного свертыванием по верхнему и нижне- одинаковы, порядок следования индексов у этих выражений различен, и поэтому они отвечают координатам с различными «номерами». Это и означает, что АВ ~ ВА.
4'. Свертывание те н вор а. Операция свертывания применяется к тензору типа (р, 4), у которого р у1 0 и 4 ф 0 (т.е. к тензору, у которого имеется по крайней мере один верхний и один нижний индекс). Пусть А — тензор указанного выше типа. Перейдем к описанию операции свертывания. Свертывание тензора А производится по каким-либо отмеченным верхнему и нижнему индексам. При этом в результате свертывания получается тензор типа (р — 1, 4 — 1). Пусть, например, у каждой координаты тензора А отмечен верхний индекс с номером т и нижний индекс с номером пз 229 основныя опгглции нлд твнзоглми му индексам с номерами т и и: А"" '"' н ..
а...»р (8.31) (в выражении (8.31) мы использовали соглашение о суммировании). Проверим, что величины (8.31) действительно образуют координаты тензора типа (р — 1, д — !). Для этого обратимся к формулам (8.19). Перепишем эти формулы в следующем виде, выделив интересующие нас индексы (эти индексы мы подчеркнем): Произведем теперь суммирование в правой и левой частях (8.32) по выделенным индексам й' и 1',. Для этого достаточно положить эти индексы равными о' и воспользоваться соглашением о суммировании. В результате мы получим некоторое равенство. Найдем выражения в левой и правой частях этого равенства.
В левой части мы получим, очевидно, выражение (8.33) В правой же части произведение Ь„ на Ь'", равно Ь„'", т.е. равно единице при !с = 1„ = о и равно нулю при к ~ 1„. Таким образом, в правой части мы получим следующее выражение: Ь ' ...6 '" 'Ь ' ...Ь;Ь'.1 ..,6'.у 'Ь'.у" ...61",А '"' "' '. (8.34) л»»>''' »' >»'»>''' «' »ь..а..» Сравнив выражения (8.33) и (8.34), мы убедимся, что величины А, '"„'", преобразуются при переходе к новому базису по закону ь~ -'«-.ь» преобразования координат тензора. Очевидно, этот тензор будет типа (р — 1, д — !). Замечание.
Термин «свертывание тензоров«употребляется еще и в следующем смысле. Рассмотрим два тензора А и В, у координат первого из которых имеется по крайней мере один верхний индекс к, а у координат второго — по крайней мере один нижний индекс»,'. Составим произведение АВ этих тензоров и затем проведем операцию свертывания тензора АВ по верхнему индексу 6 и нижнему индексу 1. Для этой операции обычно употребляется терминология: »свертывание тензоров А и В по индексам 6 и 1». 5'. Перестановка индексов. Эта операция заключается в том, что в любом базисе индексы у каждой координаты тензора подвергаются одной и той же перестановке. Это означает, что мы иным образом »нумеруем» координаты данного тензора. Читателю предлагается проверить, что в результате получается тензор, отличный, вообще говоря, от данного.
б'. Симметри рован ие и альтерни рова ние. Предварительно введем понятия симметричного и кососимметричного тензоров, (гл. 8 230 тензОРы Тензор А с координатами и...Ф ...3 ...ы (8.35) называется симметричньгм по нижним индексам т' и („, если при перестановке этих индексов ') координаты тензора А не меняют своего значения, т.е. (8.36) Соотношение (8.36) называется условием симмеглрии тензора А по нижним индексам с номерами т и п. Тензор А называется кососимметричньсм по нижним индексам г и г„, если при перестановке зтих индексов справедливо соотношение А '"' ' = — А '"'.' а 1 ...
т , . т .. л р г 1 ... г ,.и , т р ' (8.37) Соотношение (8.37) называется условием косооилсиетрии тензора А по нижним индексам с номерами ги и п. Аналогично вводится понятие симметрии и кососимметрии тензора по двум верхним индексам. 3 а м е ч а н и е. Если условие симметрии (кососимметрии) по нижним индексам г' и т'„выполняется для тензора А в данной системе координат, то оно выполняется и в любой другой системе координат. Перейдем теперь к описанию операции си ялгегприроваяия. Пусть А тензор типа (р, о) с координатами (8.35). Переставим у каждой координаты нижние индексы с номерами пг и и н затем построим тензор А~ „~ с координатами () ~-.
а + ~м.. ч ) (8.38) Операция построения тензора А~ „~ называется операцией симлгетрирования тензора А по нижним индексам с номерами т и и. Отметим, что координаты (8.38) тензора А~ „0 обычно обозначаются символами А,' <,' (8.39) Очевидно, для теизора А~ „~ выполняется условие симметрии (8.36) по нижним индексам с номерами пг и и, Операция симметрирования тензора по верхним индексам с номерами т и п определяется аналогично. Построенный тензор обозначается символом А(™ и).
Для координат тензора А~™ и) используется обозначение, аналогичное обозначению (8.39) координат тензора А< Операция альтеряирования тензора А по нижним индексам с номерами т и и производится следующим образом. ') Напомним, что при перестановке индексов у координат теизора, мы получаем координаты, вообще говоря, другого теизора. йз) 23! ОПЕРАЦИИ В ТЕНЗОРНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ У каждой координаты тензора А переставляются нижние индексы с номерами тп и п и затем строится тензор А! „! с координатами — (А,'"'г',, — А,'";',, ) . (8.40) Операция построения тензора А! „! называется операцией альтернирования тензора А по нижним индексам с номерами т и п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
