В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 52
Текст из файла (страница 52)
В первом слагаемом 6»дыаьг(' в правой части (8.63) заменим Ь' на 6" б' ') и индекс суммирования 1 заменим на и. Во втором слагаемом в правой части (8.63) положим аи = г)"б„' и индекс суммирования 1 заменим на т. После этих преобразований формула (8.63) примет вид (сыс~„„)а Ьл»г)" = (дь„б'„, — дь„,б'„)а" Ь~т)". (8.64) Так как соотногпение (8.64) справедливо для любых векторов а, Ь и с1, то оно представляет собой тождество относительно координат а", 6 и б" этих векторов, и поэтому для любых индексов », й, т, п имеет место равенство с'„,с~ „= дь„б' — дь б,',. (8.65) Обозначим через з' координаты двойного векторного произведения (а(ЬсЦ). Тогда, согласно (8.63), з' = с,'„с'„ а»Ь г(".
Отсюда и из (8.65) получаем следующее выражение для координат з» двойного векторного произведения (а(ЬЩ: з' = (дв„б' — дь б'„)а" 6 г(". (8.66) Формула (8.66) удобна для различных приложений. В 4. Метрический тензор псевдоевклидова пространства 1. Понятие псевдоевклидова пространства и метрического тензора псевдоевклидова пространства. Рассмотрим п-мерное линейное пространство Т,, в котором задана невырожденная симметричная билинейная форма А(х, у), полярная знакопеременной квадратичной форме.
Будем называть скалярным произведением (х, у) векторов х и у значение А(х, у) билинейной формы. Наименование «скалярное произведение» условно, поскольку в рассматриваемом случае не выполняется четвертая аксиома скалярного произведения. Именно, в случае, когда билинейная форма А(х, у) полярна знакопеременной квадратичной форме, выражение А(х,х) в зависимости от выбора х может иметь как положительное, так и отрицательное значение и обращаться в нуль для ненулевых векторов х. Все же мы будем пользоваться термином «скалярное произведение», так как это общепринято.
Сформулируем определение псевдоевклидова пространства. Определение. Псевдоевклидовым просглранстпвом называется и-мерное линейное пространство Ь, в котором задано скалярное произведение посредством невырожденной симметричной билинейной формы А(х, у), полярной знакопеременной квадратичной форме. Число и называется размерностью псевдоевклидова пространства.
Выделим в линейном пространстве Ь базис еи ез,..., е„ и обозначим через (дн) матрицу билинейной формы А(х, у) в этом базисе ') Соотношение Ь' = 6 б' следует из свойств символа Кронекера. (гл. 8 240 тензогы (напомним, что ~,з = А(е„ еу)). Если х' и уз — контравариантные координаты векторов х и у, то А(х, у) = бмх'у'. (8.67) в (х) = я; х*х~, (8.68) то, очевидно (поскольку форма А(х, х) знакопеременная), можно указать ненулевые векторы с положительным квадратом длины, с отрицательным квадратом длины и с нулевым квадратом длины.
Поэтому, чтобы получить в качестве меры длины векторов лишь действительные числа, обычно за длину вектора принимают а(х) = (зяп в (х))угв (х)~ . (8.69) В дальнейшем мы будем использовать следующую терминологию, заимствованную из специальной теории относительности:мы будем называть ненулевой вектор х времениподобным, если для этого вектора о(х) > О, пространственноподобным, если о(х) < О, и изотропным, если а(х) = О.
Справедливо следующее утверждение. Множество концов всех врвмвниподобнык (пространственноподобныл, изотропных) векторов, начала которых совпадают с произвольной фиксированной точкой М псввдоевклидова пространства, образует конус. Для определенности докажем утверждение, рассматривая времениподобные векторы. Очевидно, достаточно доказать, что если х— В полной аналогии с рассуждениями п.2 ~2 этой главы доказывается, что йм представляют собой координаты тензора С типа (2, 0). Этот тензор мы будем в дальнейшем называть метрическим твнзором псевдоввклидова пространства. Так как скалярное произведение (х, у) равно А(х, у), то, согласно (8.67), имеем: (х, у) = б„х'у'. Известно, что матрицу (8.;у) билинейной формы А(х, у) можно привести к диагональному виду.
При этом в силу невырожденности формы А(х, у) координаты кб метрического тензора после приведения к диагональному виду будут равны нулю при 4 ~ з и единице или минус единице при 4 = ~. Число р положительных и число о отрицательных диагональных элементов не зависит от способа приведения к диагональному виду, причем, в силу невырожденности формы А(х, у), р+о=п. Приведенные рассуждения поясняют обозначение Е" для п-мерного псевдоевклидова пространства. Естественно поставить вопрос об измерении длин векторов в псевдоевклидовом пространстве.
В евклидовом пространстве с метрическим тензором б14 квадрат длины вектора х с координатами х' считается равным 8мх'хз. Если определить квадрат длины зз(х) вектора х с помощью соотношения 24! метРическии тензОР времениподобный вектор, то при любом вещественном Л ф 0 вектор Лх также времениподобен. Так как координаты вектора Лх равны Лх', то, согласно (8.68), в2(Лх) = Лзвз(х), т. е. здп в2(Лх) = здп в2 (х).
Отсюда и из (8.69) следует, что вектор Лх будет времениподобным. Для случая времениподобных векторов утверждение доказано. Рассуждая аналогично, убедимся в справедливости утверждения для случая пространственноподобных и изотропных векторов. Конус времениподобных векторов обозначается часто символом Т (от англ. Шпе — время), а конус пространственноподобных векторов— символом Я (от англ. зрасе — пространство). 2.
Галилеевы координаты. Преобразования Лоренца '). В теории псевдоевклидовых пространств важную роль играют те системы координат, в которых квадрат интервала (так обычно называют квадрат длины вектора в2(х)) имеет вид р . к в (х) = 2 (хг) — ~ (хг) . (8.70) а=! г=р-!-! По терминологии, заимствованной из физики, такие системы координат называются галилеевыми. Преобразования координат, которые сохраняют для в2(х) выражение (8.70), называются преобразованиями Лоренца.
В следующем пункте мы рассмотрим вопрос о преобразованиях Лоренца пространства Е4,, называемого пространством Минковского 2) . Это пространство представляет особый интерес для физики, ибо является пространством событий специальной теории относительности. Отметим, что обычно в пространстве Минковского нумерация координат вектора начинается с нуля. Таким образом, согласно (8.70), квадрат в2(х) интервала в пространстве Е4,, записывается следующим образом: в (х) = (х ) — (х') — (х ) — (х! )". (8. 71) Для удобства в физике координата х" отождествляется с выражением с1, где с — скорость света, а ! — временная переменная; х, х, ! 2 хз называются пространственными переменными.
В пространстве Минковского конус Т времениподобных векторов распадается на две различные связные открытые компоненты Тч (конус будущего) н Т (конус прошлого); конус Я пространственно подобных векторов образует связное множество. Поясним структуру связных компонент Тт и Т . Для этого обратимся к физической интерпретации вектора х с координатами х', 4 = О, 1, 2, 3, в пространстве Е4, ; этот вектор характеризуется величиной гл г = хо/с и вектором ' г = (х', хз,хз). Таким образом, ') Гвндрик-Антон Лоренц (1853-1928) — нидерландский математик. 2) Герман Минковский (!864-!909) — немецкий математик и физик.
(гл. 8 242 тензОРЫ 1 ΠΠΠΠ— 1 О О 7=(8 )= ~о О -1 О/ ΠΠΠ— 1 (8.72) Перейдем к новой галилеевой системе координат с базисом еп и выясним условия, которым должны удовлетворять коэффициенты Ь,', матрицы В преобразования базисных векторов. Так как (8.73) и так как матрица (яд,. ) метрического тензора в базисе еп также имеет вид (8.72), то, используя формулы япу = Ь,',Ь',,8ду преобразо- вания координат метрического теизора, получим следующую систему уравнений для определения коэффициентов 6,',, матрицы В преобразо- вания базисных векторов (см.(8.73); при этом индексы д и д' пробегают значения О, 1, 2, 3 (см.
(8.71)): (Ьз ~)- — У Ьз" Ьзб = 1, Ьэ~,ьз — 2 Ьзбьз. — — О, (8.74) г 1 ~ л~ 0 при '~ 3', т Соотношения (8.74) можно записать в матричной форме. Для этой цели рассмотрим наряду с матрицей В матрицу В; которая получается из В путем изменения знака у элементов последних трех столбцов и последующего транспонирования. Очевидно, что соотношения (8.74) можно записать в следующей форме: (8.75) РассматРиваЯ х как пеРемещение в Вд, з, можно считать, что это перемещение характеризуется временным да 1 и пространственным ддг перемещениями. Времениподобные векторы х определяются условием зз(х) > 0 (или п(х) > 0).
В этом случае, очевидно,~Ь г~~1Ы~ < с. Если при этом Ы > О, то для перемещения х получим неравенство 0 < )дат~()Ы! < < с. Такое перемещение х принадлежит по определению Т~ и может рассматриваться как перемещение материальной частицы «в будущее». Если Ы < О, то перемещение х принадлежит Т и может рассматриваться как перемещение частицы зв прошлое> (в физике так интерпретируется движение античастиц). Очевидно, Тэ и Т представляют собой две связные открытые компоненты конуса Т. Проведенные рассуждения поясняют их наименования конус будущего и конус прошлого.
3. Преобразования Лоренца пространства К(д з . Рассмотрим в псевдоевклидовом пространстве Е~, галилееву систему координат с базисом е;. В такой системе координат квадрат интервала зз(х) имеет вид (8.71), а матрица (яд.) метрического тензора имеет вид 243 метоическии тензоР где матрица 1 определяется соотношением (8.72) (для сравнения напомним, что матрица С ортогональных преобразований евклидова пространства удовлетворяет соотношению С'С = 1, где 1 единичная матрица).
Так как дег В* = — дет В, а дог,У = — 1, то из соотношения (8.75) следует, что дет В* В = дог В* дег В = †(дет В)2 = — 1, т.е. (8.7б) деФ В = х1. Обозначим через Е совокупность всех об|цих преобразований Лоренца пространства Минковского. Из этих общих преобразований выделим те преобразования, которые переводят каждый вектор из Т+ в вектор, также принадлежащий Тт.
Совокупность таких преобразований обычно называется преобразованиями Лоренца пространства Ел! и обозначается символом Ет. Общие преобразования Лоренца, для которых дет В = +1, образуют класс 1э так называемых собственных преобразований Лоренца. Класс Е несобственных преобразований Лоренца характеризуется соотношением дес В = — !. Примером такого преобразования может служить отражение относительно трех пространственных осей: х|! — х! Х2' — Х2 ХЗ' — ХЗ Пусть  — матрица произвольного несобственного преобразования Лоренца, а Р— матрица только что рассмотренного отражения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
