Главная » Просмотр файлов » В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра

В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 52

Файл №1152751 В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра) 52 страницаВ.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751) страница 522019-08-03СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 52)

В первом слагаемом 6»дыаьг(' в правой части (8.63) заменим Ь' на 6" б' ') и индекс суммирования 1 заменим на и. Во втором слагаемом в правой части (8.63) положим аи = г)"б„' и индекс суммирования 1 заменим на т. После этих преобразований формула (8.63) примет вид (сыс~„„)а Ьл»г)" = (дь„б'„, — дь„,б'„)а" Ь~т)". (8.64) Так как соотногпение (8.64) справедливо для любых векторов а, Ь и с1, то оно представляет собой тождество относительно координат а", 6 и б" этих векторов, и поэтому для любых индексов », й, т, п имеет место равенство с'„,с~ „= дь„б' — дь б,',. (8.65) Обозначим через з' координаты двойного векторного произведения (а(ЬсЦ). Тогда, согласно (8.63), з' = с,'„с'„ а»Ь г(".

Отсюда и из (8.65) получаем следующее выражение для координат з» двойного векторного произведения (а(ЬЩ: з' = (дв„б' — дь б'„)а" 6 г(". (8.66) Формула (8.66) удобна для различных приложений. В 4. Метрический тензор псевдоевклидова пространства 1. Понятие псевдоевклидова пространства и метрического тензора псевдоевклидова пространства. Рассмотрим п-мерное линейное пространство Т,, в котором задана невырожденная симметричная билинейная форма А(х, у), полярная знакопеременной квадратичной форме.

Будем называть скалярным произведением (х, у) векторов х и у значение А(х, у) билинейной формы. Наименование «скалярное произведение» условно, поскольку в рассматриваемом случае не выполняется четвертая аксиома скалярного произведения. Именно, в случае, когда билинейная форма А(х, у) полярна знакопеременной квадратичной форме, выражение А(х,х) в зависимости от выбора х может иметь как положительное, так и отрицательное значение и обращаться в нуль для ненулевых векторов х. Все же мы будем пользоваться термином «скалярное произведение», так как это общепринято.

Сформулируем определение псевдоевклидова пространства. Определение. Псевдоевклидовым просглранстпвом называется и-мерное линейное пространство Ь, в котором задано скалярное произведение посредством невырожденной симметричной билинейной формы А(х, у), полярной знакопеременной квадратичной форме. Число и называется размерностью псевдоевклидова пространства.

Выделим в линейном пространстве Ь базис еи ез,..., е„ и обозначим через (дн) матрицу билинейной формы А(х, у) в этом базисе ') Соотношение Ь' = 6 б' следует из свойств символа Кронекера. (гл. 8 240 тензогы (напомним, что ~,з = А(е„ еу)). Если х' и уз — контравариантные координаты векторов х и у, то А(х, у) = бмх'у'. (8.67) в (х) = я; х*х~, (8.68) то, очевидно (поскольку форма А(х, х) знакопеременная), можно указать ненулевые векторы с положительным квадратом длины, с отрицательным квадратом длины и с нулевым квадратом длины.

Поэтому, чтобы получить в качестве меры длины векторов лишь действительные числа, обычно за длину вектора принимают а(х) = (зяп в (х))угв (х)~ . (8.69) В дальнейшем мы будем использовать следующую терминологию, заимствованную из специальной теории относительности:мы будем называть ненулевой вектор х времениподобным, если для этого вектора о(х) > О, пространственноподобным, если о(х) < О, и изотропным, если а(х) = О.

Справедливо следующее утверждение. Множество концов всех врвмвниподобнык (пространственноподобныл, изотропных) векторов, начала которых совпадают с произвольной фиксированной точкой М псввдоевклидова пространства, образует конус. Для определенности докажем утверждение, рассматривая времениподобные векторы. Очевидно, достаточно доказать, что если х— В полной аналогии с рассуждениями п.2 ~2 этой главы доказывается, что йм представляют собой координаты тензора С типа (2, 0). Этот тензор мы будем в дальнейшем называть метрическим твнзором псевдоввклидова пространства. Так как скалярное произведение (х, у) равно А(х, у), то, согласно (8.67), имеем: (х, у) = б„х'у'. Известно, что матрицу (8.;у) билинейной формы А(х, у) можно привести к диагональному виду.

При этом в силу невырожденности формы А(х, у) координаты кб метрического тензора после приведения к диагональному виду будут равны нулю при 4 ~ з и единице или минус единице при 4 = ~. Число р положительных и число о отрицательных диагональных элементов не зависит от способа приведения к диагональному виду, причем, в силу невырожденности формы А(х, у), р+о=п. Приведенные рассуждения поясняют обозначение Е" для п-мерного псевдоевклидова пространства. Естественно поставить вопрос об измерении длин векторов в псевдоевклидовом пространстве.

В евклидовом пространстве с метрическим тензором б14 квадрат длины вектора х с координатами х' считается равным 8мх'хз. Если определить квадрат длины зз(х) вектора х с помощью соотношения 24! метРическии тензОР времениподобный вектор, то при любом вещественном Л ф 0 вектор Лх также времениподобен. Так как координаты вектора Лх равны Лх', то, согласно (8.68), в2(Лх) = Лзвз(х), т. е. здп в2(Лх) = здп в2 (х).

Отсюда и из (8.69) следует, что вектор Лх будет времениподобным. Для случая времениподобных векторов утверждение доказано. Рассуждая аналогично, убедимся в справедливости утверждения для случая пространственноподобных и изотропных векторов. Конус времениподобных векторов обозначается часто символом Т (от англ. Шпе — время), а конус пространственноподобных векторов— символом Я (от англ. зрасе — пространство). 2.

Галилеевы координаты. Преобразования Лоренца '). В теории псевдоевклидовых пространств важную роль играют те системы координат, в которых квадрат интервала (так обычно называют квадрат длины вектора в2(х)) имеет вид р . к в (х) = 2 (хг) — ~ (хг) . (8.70) а=! г=р-!-! По терминологии, заимствованной из физики, такие системы координат называются галилеевыми. Преобразования координат, которые сохраняют для в2(х) выражение (8.70), называются преобразованиями Лоренца.

В следующем пункте мы рассмотрим вопрос о преобразованиях Лоренца пространства Е4,, называемого пространством Минковского 2) . Это пространство представляет особый интерес для физики, ибо является пространством событий специальной теории относительности. Отметим, что обычно в пространстве Минковского нумерация координат вектора начинается с нуля. Таким образом, согласно (8.70), квадрат в2(х) интервала в пространстве Е4,, записывается следующим образом: в (х) = (х ) — (х') — (х ) — (х! )". (8. 71) Для удобства в физике координата х" отождествляется с выражением с1, где с — скорость света, а ! — временная переменная; х, х, ! 2 хз называются пространственными переменными.

В пространстве Минковского конус Т времениподобных векторов распадается на две различные связные открытые компоненты Тч (конус будущего) н Т (конус прошлого); конус Я пространственно подобных векторов образует связное множество. Поясним структуру связных компонент Тт и Т . Для этого обратимся к физической интерпретации вектора х с координатами х', 4 = О, 1, 2, 3, в пространстве Е4, ; этот вектор характеризуется величиной гл г = хо/с и вектором ' г = (х', хз,хз). Таким образом, ') Гвндрик-Антон Лоренц (1853-1928) — нидерландский математик. 2) Герман Минковский (!864-!909) — немецкий математик и физик.

(гл. 8 242 тензОРЫ 1 ΠΠΠΠ— 1 О О 7=(8 )= ~о О -1 О/ ΠΠΠ— 1 (8.72) Перейдем к новой галилеевой системе координат с базисом еп и выясним условия, которым должны удовлетворять коэффициенты Ь,', матрицы В преобразования базисных векторов. Так как (8.73) и так как матрица (яд,. ) метрического тензора в базисе еп также имеет вид (8.72), то, используя формулы япу = Ь,',Ь',,8ду преобразо- вания координат метрического теизора, получим следующую систему уравнений для определения коэффициентов 6,',, матрицы В преобразо- вания базисных векторов (см.(8.73); при этом индексы д и д' пробегают значения О, 1, 2, 3 (см.

(8.71)): (Ьз ~)- — У Ьз" Ьзб = 1, Ьэ~,ьз — 2 Ьзбьз. — — О, (8.74) г 1 ~ л~ 0 при '~ 3', т Соотношения (8.74) можно записать в матричной форме. Для этой цели рассмотрим наряду с матрицей В матрицу В; которая получается из В путем изменения знака у элементов последних трех столбцов и последующего транспонирования. Очевидно, что соотношения (8.74) можно записать в следующей форме: (8.75) РассматРиваЯ х как пеРемещение в Вд, з, можно считать, что это перемещение характеризуется временным да 1 и пространственным ддг перемещениями. Времениподобные векторы х определяются условием зз(х) > 0 (или п(х) > 0).

В этом случае, очевидно,~Ь г~~1Ы~ < с. Если при этом Ы > О, то для перемещения х получим неравенство 0 < )дат~()Ы! < < с. Такое перемещение х принадлежит по определению Т~ и может рассматриваться как перемещение материальной частицы «в будущее». Если Ы < О, то перемещение х принадлежит Т и может рассматриваться как перемещение частицы зв прошлое> (в физике так интерпретируется движение античастиц). Очевидно, Тэ и Т представляют собой две связные открытые компоненты конуса Т. Проведенные рассуждения поясняют их наименования конус будущего и конус прошлого.

3. Преобразования Лоренца пространства К(д з . Рассмотрим в псевдоевклидовом пространстве Е~, галилееву систему координат с базисом е;. В такой системе координат квадрат интервала зз(х) имеет вид (8.71), а матрица (яд.) метрического тензора имеет вид 243 метоическии тензоР где матрица 1 определяется соотношением (8.72) (для сравнения напомним, что матрица С ортогональных преобразований евклидова пространства удовлетворяет соотношению С'С = 1, где 1 единичная матрица).

Так как дег В* = — дет В, а дог,У = — 1, то из соотношения (8.75) следует, что дет В* В = дог В* дег В = †(дет В)2 = — 1, т.е. (8.7б) деФ В = х1. Обозначим через Е совокупность всех об|цих преобразований Лоренца пространства Минковского. Из этих общих преобразований выделим те преобразования, которые переводят каждый вектор из Т+ в вектор, также принадлежащий Тт.

Совокупность таких преобразований обычно называется преобразованиями Лоренца пространства Ел! и обозначается символом Ет. Общие преобразования Лоренца, для которых дет В = +1, образуют класс 1э так называемых собственных преобразований Лоренца. Класс Е несобственных преобразований Лоренца характеризуется соотношением дес В = — !. Примером такого преобразования может служить отражение относительно трех пространственных осей: х|! — х! Х2' — Х2 ХЗ' — ХЗ Пусть  — матрица произвольного несобственного преобразования Лоренца, а Р— матрица только что рассмотренного отражения.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
20,4 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее