В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Возникающие при этом наводящие соображения делают более прозрачным понятие тензора, вводимого в следующем параграфе. 1. Определители Грама ') . В этом пункте мы укажем способ, с помощью которого можно выяснить вопрос о линейной зависимости системы векторов еы еш..., ея в евклидовом пространстве. Введем для этого так называемый определитель Грама указанной системы векторов. Определителем Грама системы векторов ен ез,..., еь называется следующий определитель: (еь е1) (ен ез) .. (ен еь) (еа, е~) (ег, ег) ...
(ез, еь) (8.1) (ею е1) (ею е ) ... (ею еь) Справедливо утверждение. Теорема 8.1. Для того ипобы система векторов ен ез, ..., еь евклидова пространства Е" была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы определитель Грама (8.1) этой системы был равен нулю. ') Иорген Грал (1850 — 1916) — датский математик. (гл. 8 218 тензопы Доказательство.
1) Необходимость. Пусть векторы еы ез,..., еь линейно зависимы. Тогда один из них, например еь, является линейной комбинацией остальных: еь = опе~ + азеа + ." + аь-~еь Умножая написанное соотношение скалярно на е„., 1 = 1, 2, ..., к, мы получим, что последняя строка определителя Грама (8.1) является линейной комбинацией первых к — 1 строк. По теореме 1.7 этот определитель равен нулю. Необходимость условия доказана.
2) Достаточность. Предположим, что определитель Грама (8.1) равен нулю. Тогда его столбцы линейно зависимы, т.е. существуют не все равные нулю числа ды,Зз,..., дя такие, что для 1 = 1, 2,..., к выполняются соотношения 81 (е;, е|) + рз(е;, ез) + ... + Бь(е„еь) = О. Переписывая эти соотношения в виде (еа 81е1+ 13яеа+ ... + дьеь) = О, 1 = 1, 2, ..., к, убеждаемся, что вектор д|е1+ дает+ ...
+ дьеь ортогонален всем векторам еи еш ..., еь, т.е. ортогонален линейной оболочке Ь этих векторов. Так как этот вектор принадлежит Ь, то он равен нулю. Поскольку не все д, равны нулю, то это означает, что векторы еы ез,... ..., еь линейно зависимы. Теорема доказана. Следствие. Если векторы еы ез, ..., еь линейно нгзаеисимьп то определитель Грама этих векторов отличен от нуля. Докажем, что в указанном случае определитель Грама положителен. Пусть Ь вЂ” линейная оболочка векторов еы еш ..., еь. Очевидно, еы ею,.., еь — базис в 7. Рассмотрим билинейную симметричную форму А(х, у), представляющую собой скалярное произведение (х, у): А(х, у) = (х, у). Соответствующая квадратичная форма А(х,х) = (х,х) будет, очевидно, знакоопределенной, и поэтому, согласно теореме 7,6 (критерию Сильвестра), определитель г1ет(а; ) ее матРицы (агу) в базисе еы ез, ..., еь положителен. Но этот опРеделитель и представляет собой определитель Грама (8.1) системы еы ем...
..., еь, ибо ац = (е,, е ). 2. Взаимные базисы. Ковариантные и контравариантные координаты векторов. Пусть еи еш ..., е„— базис в евклидовом пространстве Е". Базис е', ез,..., е" называется взаимным для базиса ео 1 = 1, 2, ..., и, если выполняются соотношения 11 при1=1, (8.2) при1, т'=1,2,...,п. Символ 6~ называется символом Кронекера. Возникает вопрос о существовании и единственности взаимного базиса. Ответ на этот вопрос утвердительный: для любого данного базиса е', ез,..., е" существует единственный взаимньгй базис. 2!9 ИРеОБРАВОВАние БАзисОВ и кООРдинлт Для доказательства поступим следующим образом. Пусть х',, х', ..., х'„— координаты искомых векторов е' в базисе е,: ез = х1~е1+ х~~ез +...
+ х~ е„, т = 1, 2, ..., п. (8.3) Умножая скалярно обе части последних равенств на еь получим, используя (8.2), хз(еи е1) + хз1(е„ ез) + ... + х~(е1, е„) = 6~, г, у = 1, 2,..., п. (8.4) Соотношения (8.4) при фиксированном у можно рассматривать как квадратную систему линейных уравнений относительно неизвестных координат х',,х,'„ ..., х'„ вектора ев в базисе е,. Так как определитель системы (8.4) представляет собой определитель Грама базисных векторов е1,ею ..., е„, он, согласно следствию из теоремы 8.1, отличен от нуля, и поэтому система (8.4) имеет единственное решение х1, хз,...
..., хз, которое будет ненулевым, поскольку эта система неоднородная. Затем с помо1цью соотношений (8.3) строятся векторы е', которые, очевидно, удовлетворяют соотношениям (8.2). Мы должны еще убедиться, что векторы е', ез, ..., е" образуют базис. Пусть некоторая линейная комбинация этих векторов равна нулю: О1е' + озез + ... + О„е" = О. Умножая скалярно последнее равенство последовательно на е1, ев,..., е„и используя (8.2), получим а1 = О, аз = О, ..., о„= = О. Следовательно, векторы е', е~, ..., е" линейно независимы, т. е, образуют базис.
Итак, взаимный базис ез для базиса е; существует и определяется единственным образом. Замечание !. В силу симметрии соотношений (8.2) относительно е, и ез, взаимным базисом для базиса ев будет базис е1. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить о взаимных базисах е1, ез. 3 а м е ч а н и е 2. Если базис е1, ез,..., е„ортонормированный, то взаимный базис е' совпадает с данным базисом. Действительно, полагая в этом случае ез = ею мы убедимся, что соотношения (8.2) выполняются. Используя свойство единственности взаимно~о базиса, мы убедимся в справедливости замечания. Пусть е,, е' -- взаимные базисы, а х — произвольный вектор пространства.
Разлагая вектор х по базисным векторам е; и ез, получим х = х1е +хзе + ... +х„е 1, 2 и (8.5) х = х е1 + х ез + ... + х е„. 1 з п Координаты (х1, хш..., х„) вектора х в базисе е' называются ковариантнь1ми кооординатами вектора х, а координаты (х', хз,... ..., х,") этого вектора в базисе ег, называются контравариантными координатами вектора х. Эти наименования будут разъяснены в следующем пункте. (гл.
8 220 тензоны Для сокращения записи формул, в которых фигурируют однотипные слагаемые (примерами таких формул могут служить соотношения (8.5)), мы будем пользоваться в дальнейшем соглашением о суммировании. Это соглашение заключается в следующем. Пусть имеется выражение, составленное из сомножителей, которые снабжены конечным числом индексов, часть из которых нижние, а другая часть— верхние.
При этом договариваются все нижние индексы обозначать различными символами. Верхние индексы также договариваются обозначать различными символами. Если в этом выражении встречаются два одинаковых индекса, из которых один верхний, а другой нижний, то считают, что по этим индексам производится суммирование, т.е. индексам последовательно даются значения 1, 2, ..., п, а затем складываются полученные слагаемые. Например, х;е' = х~е' + хзе + ... + х„е", б,' = б,' + ба~+ ... + Б„", Кмх'ху = (Кцх хб) + (Кз х хз) + ... + (К„бх" ху) = = (Кнх х +Кшх х + ... +Кшх х") + + (Кз~х х +Каях х + ...
+ Кз„х х") + ... .+(Кшх х +Кпзх х + ° ° +Кппх х ) С помощью соглашения о суммировании формулы (8.5) записываются следующим компактным образом: х = хие', х = х'е;. (8.6) Замечание 3. Верхние и нижние одинаковые индексы, о которых говорилось в соглашении о суммировании, обычно называются индексами суммирования. Ясно, что индексы суммирования могут обозначаться любыми одинаковыми символами. При этом не изменятся выражения, в которых они фигурируют. Например, х;е' н хуе' представляют собой одно и то же выражение.
Получим теперь явное выражение для ковариантных и контравариантных координат вектора х. Для этого умножнм скалярно первое нз равенств (8.6) на е,, а второе — на е'. Учитывая затем соотношения (8.2), найдем (х, е ) = х,(е', е ) = х,б' = х ., (х, еу) = х'(е„ еб) = х'б~ = хз. Итак, х, = (х, е,), х' = (х, е'). (8. 7) С помощью соотношений (8.7) запишем формулы (8.6) в следующем виде: х = (х, е;)е', х = (х, е')е,. (8.
8) Соотношения (8.8) называются формулами Гиббса ') . ')Д. У. Гиббс (!839 — 1903) — американский физик — теоретик. 22! ИРеОБРАВОВАние БАзисОВ и кООРдинят Обратимся еще раз к вопросу о построении взаимных базисов. С помощью формул (8.8) имеем е' = (е', еу)ею е; = (еи еу)ез. (8.9) Введем обозначения д0 = (еи е,), уы = (е', е'). (8.
10) С помощью этих обозначений перепишем соотношения (8.9) следующим образом: (8.1 1) е'=8'е, е;=д., е ы Итак, для построения базиса е' по базису е; достаточно знать матрицу (длз), а для построения базиса е, по базису е' достаточно знать матрицу (д.). Докажем, что указанные матрицы взаимно обратны. Отметим, что так как элементы обратной матрицы могут быть вычислены через элементы данной матрицы, то ясно, что с помощью соотношений (8.11) решается вопрос о построении взаимных базисов.
Итак, установим, что матрицы (8лз) и (д,) взаимно обратнье Умножая первое из равенств (8.11) скалярно на еь, получим (е', еь) = у'У(езз еь). Из этого соотношения, учитывая (8.2) и (8.10), найдем ) 1 при ! = й, ! 0 при г у': 6. Таким образом, произведение матриц (д0) и (80) представляет собой единичную матрицу.
Следовательно, матрицы ( 0) и (у;.) взаимно обратны. 3. Преобразования базиса и координат. Пусть е; и е' — заданные взаимные базисы, а е, и е' некоторые новые взаимные базисы, элементы которых мы обозначим штрихованными индексами.Фактически это означает, что мы вводим новый натуральный ряд 1', 2', 3', ... ... и считаем, что индекс г' принимает значения 1', 2',...,и'. Таким образом, индексы ! и з' независимо принимают различные значения: 1=1,2,...,и, г'=!',2',...,и'.
Используя введенное в предыдущем пункте соглашение о суммировании, запишем формулы преобразования базисных векторов. В результате получим: !) формулы перехода от старого базиса е, к новому базису еа и формулы обратного перехода еа=6,'ео е;=6,'еа, 1=1,2,...,и, г'=!',2',...,и', (8.12) 2) формулы перехода от старого базиса е' к новому е' и формулы обратного перехода е' =6,'е', е'=6',,е', 1=1,2,...,и, г'=!',2',...,и'. (8.13) (гл.
8 222 тензОРы Так как преобразования (8.12) (равно как и преобразования (8.13)) взаимно обратны, то матрицы (Ь,',) и (Ь, ') (равно как и матрицы (Ь,',) н (Ь,'. )) взаимно обратны. Докажем, что матрицы (Ь',,) (6',,) тождественны.
Тем самым будет доказана тождественность и матриц (Ь, ') н (Ь,'. ). Для доказательства умножим скалярно первое из равенств (8.12) на е", а второе из равенств (8.13) — на еь . Учитывая соотношения (8.2), получим (еьч е") = Ь,',(е„еь) = 6,',бц = 6ь, (е', еь ) = 6,',(е', еь ) = Ь,',Я., = 6ь,. Из этих соотношений при 6 = 1, 6' = Р получим 6,',, = (ее, е'), (8.!4) Ь,', = (еи, е'). (8.!5) Поскольку правые части соотношений (8.14) и (8.15) равны, то равны и левые части. Иными словами, Ь,', = Ь,',„а это и означает тождественность матриц (Ь',,) и (Ь,',). Отметим, что элементы Ь,', матрицы (6,',) могут быть вычислены по формулам (8.14).
Итак, справедливо следующее утверждение. Для перехода от базиса е, (или е') к базису е, (или к е' ) достаточно знать лишь матрицу (Ь,',) перехода от базиса е, к базису еи (матрица (6', ) вычисляется по матрице (6,',)). Приведем полную сводку формул преобразований базисных векторов: е, = 6, 'е, (8.16) Перейдем к выводу формул преобразования координат вектора х при переходе к новому базису.
Пусть ха — ковариантные координаты х в базисе еи. Тогда, согласно (8.7), имеем хп = (х, е; ). Подставляя в правую часть этого соотношения выражение для е, нз формул (8.16), найдем щ, = (х, 6,',е;) = = Ь,',(х, е;) = Ь,',х,. Мы приходим к следующему выводу: формулы преобразования ковариантнгях координат вектора х при переходе к новому базису имеют вид (8.17) Следовательно, при переходе к новому базису ковариантные координаты вектора х преобразуются с помогцью матрицы (Ь,',) прямого перехода от старого базиса к новому.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
