Главная » Просмотр файлов » В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра

В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 42

Файл №1152751 В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра) 42 страницаВ.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751) страница 422019-08-03СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

форма А(х, х) положительно определенная. Если же знаки Ь! чередуются и Ь! < О, то из соотношений (7.27) следует, что форма А(х, х) отрицательно определенная. Теорема доказана. ф 5. Полилинейные формы Определение. Полилинейной формой А(х!, ха,..., хр) р векторных аргументов называется числовая функция, определенная на всевозможных векторах х!, хш ..., хр линейного пространства Т, и линейная по каждому из аргументов, прн фиксированных значениях остальных аргументов. Простейшим примером полилинейной формы может служить произведение линейных форм А(х!) А(хз)...

А(хр). Полилинейная форма А(х!, хз,..., х ) называется симметричной (кососимметричной), если для каждых двух ее аргументов хь и х! и для любых значений этих аргументов выполняется соотношение А(х!, ..., хь,..., х!, ..., хр) = А(х!,..., х!, ..., хги ..., хр) (А(х!,..., хю ..., х!,..., хр) = — А(х!, ..., х!, ..., хю..., хр)). Пусть полилинейная форма А(х!, ха,..., х„) задана в конечномернол! линейном пространстве Ти и пусть е!, еа,,.., еи — базис в !..

Обратимся к разложению каждого вектора х! по базисным векторам е!, ея, ..., еи: х, = б,!е! + б!зев + ... + б,„е„= 2 ' с! е, ! = 1, 2, ..., р. (7 37) з=! Подставляя выражения для х, по формулам (7.37) в полилинейную форму А(х!, хш ..., хр) и используя свойство линейности этой формы по каждому аргументу, получим и и и А(х!, хя,..., х„) = А~ 2 (!Ие„, 2' бз,,еан ..., 2' бр,.„е,„ л=! ар — — ! б!Фсз, ... бр А(е,, его ..., е. ). (7.38) зин,—.,з',=! !95 96) ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Таким образом, значения полилинейной формы А(х1,хз,...,хр) в конечномерном пространстве с выделенным базисом е1, ез,..., е„ определяются всевозможными значениями А(ез,, е,,„.,., е,„) этой формы на векторах ез,, е „..., е Докажем следующее утверждение.

Теорема 7.7. Любая полилинейная кососимметринная форма А(х1, хз,..., х„), заданная в и-мерном линейном пространстве 7, с выделенным базисом е1, ез, ..., е„, может быть представле- на в виде бп 412 " 41 й21 й22 ° ° С2 А(х1, хз,..., х„) = а (7.39) 41 42 где а = А(ен ез,..., еи), а (411, 412,..., 41„) — кооРдинаты вектора х, в базисе е1, ез, ..., е„. Доказательство. Так как форма А(х1, хз,..., х„) является кососимметричной, то для произвольной перестановки (~1, 72, ..., 7„) индексов (1, 2,..., п) имеем А(е,, е.„..., е, ) = ( — !)~!2и2""'2" 2А(е1, ез,..., е„) = = ( — 1)н12'22" "2" 1а, (7.40) где Х(~1, уз,..., уи) — число беспорядков в перестановке (ун уз, ...

зи). В силу кососимметричности формы для двух одинаковых индексов ув и 11 (йв = у1) значение А(ез, ..., е „,..., е „..., е „) равно нулю. Отсюда и из соотношения (7.40) следует, что для рассматриваемого случая соотношение (7.38) примет вид п А(х1, хщ..,, х„) = а 2 ( — 1) ВЛ 21""2"1б12.,~223 С„,:„. (741) 21,22-"2 =1 Сравнивая формулу (7.41) с формулой (1.28) гл. 1 для определителя порядка п, мы убедимся в справедливости соотношения (7.39). Теорема доказана. 96. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве В предыдущих параграфах мы изучали билинейные и квадратичные формы в произвольном (не обязательно евклидовом) вещественном линейном пространстве Г.. В этом параграфе мы получим ряд сведений о билинейных и квадратичных формах, заданных в вещественном евклидовом пространстве. При этом мы будем широко пользоваться результатами 99 гл. 5, посвященного линейным операторам.

В п.3 настоящего параграфа будет показано, каким образом теория евклидовых пространств может быть применена для получения (гл. 7 196 БилинеЙные и квлдРлтичные ФОРмы (Ах, у) = (х, А'у). (7.42) Оператор А называется самосопряженным, если А = А*, т.е. для всех х 6 'г' и у 6 $' (Ах, у) = (х, Ау). (7.43) Рассмотрим билинейную форму В(х, у), заданную в евклидовом пространстве Р'. В гл.5 было установлено, что каждой такой форме В(х, у) однозначно соответствует линейный оператор такой, что справедливо равенство В(х, у) = (Ах, у).

(7.44) Кроме того, в теореме 5.33 было доказано, что билинейная форма В(х, у) является симметричной тогда и только тогда, когда оператор А, фигурирующий в (7.44), является самосопряженным. Напомним также, что в теореме 5.35 для любого самосопряженного оператора А было доказано существование ортонормированного базиса из собственных векторов.

Это означает, что существуют ортонормированная система ен еа,..., е„и вещественные числа Лн Ла,..., Л„ такие, что (7.45) Аеь = Льеь. Отметим, что в базисе (ел) матрица оператора А имеет диагональный вид. 2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов в ортогональном базисе. Пусть В(х, у) — симметричная билинейная форма, заданная в вещественном евклидовом пространстве Р', а В(х, х)— определяемая ею квадратичная форма. Докажем следующую теорему о приведении квадратичной формы В(х, х) к сумме квадратов.

Теорема 7.8. Пусть В(х, у) — симметричная билинейнал форма, заданная в евклидовом пространстве Р'. Тогда в пространстве 1l существует такой ортонормированный базис (еь) и можно указать такие вещественные числа Ль, что для любого х Е 'Р' квадратичная форма В(х, х) может быть представлена в виде следующей суммгя квадратов координат бь вектора х в базисе (еь): В(х, х) = 2 ' Льбл~. я=1 (7.46) содержательных результатов в произвольных линейных пространствах.

В частности, нами будет получено независимое доказательство теоремы о том, что каждая квадратичная форма в линейном пространстве может быть приведена к каноническому виду. 1. Предварительные замечания. В этом пункте мы напомним некоторые понятия теории линейных операторов. Пусть 1' — и;мерное вещественное евклидова пространство и А— линейный оператор, действующий из Р' в Р'. Оператор А* называется сопряженным к А, если для всех х 6 'Р' и у 6 'Р' выполняется равенство 96) !97 ФОРмы В еВклидОВОм пРООТРйнстве Доказательство. Так как В(х, у) — симметричная билинейная форма, то существует самосопряженный оператор А такой, что В(х, у) = (Ах, у).

(?.47) По теореме 5.35 для оператора А можно указать ортонормированный базис (ей) из собственных векторов этого оператора; пусть Лй— собственные значения, отвечающие ей. Пусть вектор х имеет в базисе ей координаты сй! и х = 2 бйей. й=! (7.48) Тогда, очевидно, поскольку ей -- собственные векторы оператора А: и Ах = 2 Лйсйей. й=! (7.49) Из соотношений (7.48) и (7.49) вследствие ортонормированности базиса (ей) получаем следующее выражение для скалярного произведения А(х, х): А(х, х) = 2 Лйб~~. (7.50) й=! и А(х, х) = 2 ' Лй(йз, й=! В(х, х) = 2' ей~, й=! (7.51) (7.52) где бй — координаты вектора х в базисе (ей).

Доказательство. Согласно замечанию в конце 92 этой главы скалярное произведение в конечномерном вещественном пространстве может быть задано с помощью билинейной формы В(х, у), полярной к положительно определенной квадратичной форме В(х,х). Отсюда и из соотношения (7.47) получаем (7.46). Теорема доказана. 3. Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов в линейном пространстве.

Докажем теперь важную теорему об одновременном приведении двух квадратичных форм к сумме квадратов в произвольном (не обязательно евклидовом) вещественном линейном пространстве. Теорема 7.9. Пусть А(х, у) и В(х, у) — симметричнь!е билинейные формы, определенные в веи!ественном линейном пространстве Р'. Допустим далее, что для всех х я И, х ~ О, справедливо неравенство В(х, х) > 0 (т, е. квадратичная форма В(х, х) — положительно определенная). Тогда в пространстве !' можно указать базис (ей) такой, что квадратичнь!е формы А(х, х) и В(х, х) могут быть представлены в виде (гл.

7 198 БилинеЙные и квлдРлтичные ФОРмы Поэтому мы можем ввести в линейном пространстве !г скалярное произведение (х, у) векторов х и у, полагая (х, у) = В(х, у). (7.53) Таким образом, !г представляет собой евклидово пространство со скалярным произведением (7.53). По теореме 7.11 можно указать такой ортонормированный базис (еь7 и такие вещественные числа Ль, что в этом базисе квадратичная форма А(х, х) представляется в виде (7.5!). С другой стороны, в любом ортонормированном базисе скалярное произведение (х, х), равное, согласно (7.53), В(х, х), представляется в виде суммы квадратов координат вектора х. Таким образом, представление В(х,х) в виде (7.52) в базисе (еь) также обоснованно.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
20,4 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее