В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Пусть А(е) = (а;,) н А(7) = (6,,) — матрицы данной билинейной формы в указанных базисах. Выясним вопрос о связи этих матриц, т.е. выясним вопрос о преобразовании матрицы аи билинейной формы при переходе от базиса е к новому базису 7". Справедливо следующее утверждение. !8! ВИЛИНЕИНЫЕ ФОРМЫ Теорема 7.2. Матрицы А(е) и А(7) билинейной формы А(х, у) в базисах е = (е!, еэ, ..., е„) и 7" = (Г!, Гэ,..., Г„) свЯзаны соотношением А(г') = С'А(е) С, (7.
7) где С = (ср») — матрица перехода от базиса е к базису г", а С'— транспонированная матрица С. Доказательство. Элементы Г» нового базиса г' выражаются через элементы ер старого базиса е с помощью матрицы С = (ср ) по формулам Г» —— ~ ср»ер. р=! (7.8) Так как Ьт = А(т!, гь), то, согласно (7.8), получим п и Ьн, = А(г!, ть) = А ~ 2 сиен ~ сзьеу »=! 1=! п и А(е„е )с,цс ь = ~ а, сас ю (7.9) г,у=! ьэ=! Напомним, что элементы с'„транспонированной матрицы С' связаны с элементами си матрицы С соотношениями си = с', Подставляя эти соотношения в правую часть (7.9), получим для Ь|ь следующее выражение: В!ь = ~ агус!»суь = ~ с~г»( ~ амс.ь . (7.10) ь»=! »=! к»=! Сумма 2 'агусуь (по определению произведения матриц) представ1=! лает собой элемент матрицы А(е) С.
Отсюда следует, что выраже- ние в правой части (7,10) является элементом матрицы С'А(е) С. Но в левой части (7.10) стоит элемент матрицы А(7). Поэтому А(Г) = = С'А(е) С. Теорема доказана. Следствие. Ранг матрицы А(7) равен рангу матрица! А(е). Это сразу вытекает из соотношения (7.7), из того, что матрица С и, стало быть, матрица С' являются невырожденными, и из теоремы о том, что ранг матрицы не изменяется при умножении ее на невырож- денную матрицу. Это следствие позволяет ввести важный числовой инвариант били- нейной формы — так называемый ранг билинейной формы.
Определение 1. Рангом билинейной формы, заданной в конеч- номерном линейном пространстве То называется ранг матрицы этой формы в произвольном базисе пространства Б, Определение 2. Билинейная форма А(х, у), заданная в конечно- мерном линейном пространстве То называется невырожденной (вы- рожденной), если ее ранг равен (меньше) размерности пространства ! . (гл. 7 182 БилинеЙные и кВАДРАтичные ФОРмы ф 2. Квадратичные формы Пусть А(х, у) — симметричная билинейная форма, заданная на линейном пространстве Г. Определение 1.
Квадратичной формой называется числовая функция А(х,х) одного векторного аргумента х, которая получается из билинейной формы А(х, у) при х = у. Симметричная билинейная форма А(х, у) называется полярной к квадратичной форме А(х, х). Полярная билинейная форма А(х, у) и квадратичная форма А(х, х) связаны следующим соотношением: А(х, у) = — (А(х + у, х + у) — А(х, х) — А(у, у)), 1 2 которое вытекает из очевидного равенства А(х+ у, х+ у) = А(х, х) + А(х, у) + А(у, х) + А(у, у) и свойства симметрии формы А(х, у). Пусть в конечномерном линейном пространстве Г, задана симметричная билинейная форма А(х, у), полярная к квадратичной форме А(х,х). Пусть, кроме того, в Ь указан базис е = (ен ею ..., еи). Согласно теореме 7.1 форму А(х, у) можно представить в виде (7.3) и А(х, у) = 2 а;,.~гп,, с э=1 где б, и и координаты в базисе е векторов х и у соответственно.
При этом, в силу симметрии А(х, у), (7. 11) а, =а, и А(х, х) = 2 а,,б,б,. С!=1 (7.! 2) Матрица ач называется матрицей квадратичной формы А(х, х) в заданном базисе е. Согласно (7.11) матрица (а; ) является симметричной. Очевидно, каждой симметричной матрице (аи) отвечает с помощью соотношения (7.12) квадратичная форма А(х,х), причем (7.12) будет представлением А(х,х) в пространстве й с заданным базисом е (см. также замечание 3 и.
2 предыдущего параграфа), Отметим, что матрица квадратичной формы при переходе к новому базису преобразуется по формуле (7.7). Поэтому ранг этой матрицы не меняется при переходе к новому базису. (см. замечание 2 п.2 предыдущего параграфа). полагая в (7.3) х = у (т.е. пз = с.), мы получим следующее представление для квадратичной формы А(х, х) в конечномерном пространстве Г, с заданным базисом е: пРиВедение квлдРАтичной ФОРмы !83 Обычно ранг матрицы квадратичной формы А(х, х) называется рангом квадратичной формы.
Если ранг матрицы квадратичной формы равен размерности пространства Е, то форма называется невырожденной, а в противном случае — вырожденной. В дальнейшем мы будем использовать следующую терминологию. Определение 2. Квадратичная форма А(х, х) называется: 1) положительно (отрицательно) определенной, если для любого ненулевого х выполняется неравенство А(х,х) > 0 (А(х,х) < О) (такие формы называются также знакоопределенными); 2)знакопеременной, если существуют такие х и у, что А(х, х) > О, А(у, у) < 0; 3) квазизнакоопределенной, если для всех х Л(х, х) > 0 или А(х, х) < О, но имеется отличный от нуля вектор х, для которого А(х,х) = О.
В дальнейшем мы укажем признаки, по которым можно судить о принадлежности формы А(х, х) к одному из указанных типов. Отметим следующее важное утверждение. Если А(х, у) представляет собой билинейную форму, полярную положительно определенной квадратичной форме А(х, х), то А(х, у) удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения векторов в евклидовом пространстве. Обратимся к четырем аксиомам скалярного произведения (см. и. 1 8 1 гл. 4). Если число, называемое скалярным произведением векторов х и у, обозначить символом А(х, у), то эти аксиомы запишутся следующим образом: 1'. А(х, у) = А(у, х). 2 .
А(х + я, у) = А(х, у) + А(к, у). 3'. А(ЛХ, у) = ЛА(х, у). 4'. А(х, х) > 0 и А(х, х) > 0 при х ф О. Так как билинейная форма А(х, у), полярная квадратичной форме А(х,х) симметрична, то аксиома 1' выполняется. Аксиомы 2' и 3' в сочетании с требованием симметрии выполнены в силу определения билинейной формы (см.
и. 1 8 1 этой главы). Аксиома 4' выполняется, так как квадратичная форма А(х,х) положительно определена. 3 а м е ч а н и е, Очевидно, аксиомы скалярного произведения можно рассматривать как совокупность требований, определяющих билинейную форму, полярную положительно определенной квадратичной форме. Поэтому скалярное произведение в линейных пространствах может быть задано с помощью такого вида билинейной формы. (гл. 7 184 БилинеЙные и квлдРлтичные ФОРмы ф 3.
Приведение квадратичной формы к сумме квадратов В этом параграфе указаны различные методы приведения квадратичной формы к сумме квадратов, т.е. будут указаны методы выбора такого базиса г = (Гн Гз,..., Г„) в линейном пространстве Ь, по отношению к которому квадратичная форма представляется в следующем каноническом виде: А(х,х) = Л~Н1~ + Лзг1з + ...
+ Л„т1~, (7. 13) (т1И т1ш ..., гм) — координаты х в базисе 7, Коэффициенты (Лн Лш..., Л„) в выражении (7.13) называются каноническими коэффициентами. Подчеркнем, что мы рассматриваем квадратичные формы в произвольном вещественном линейном пространстве. В 36 будут изучены квадратичные формы в евклидовом пространстве и будет доказана возможность приведения каждой квадратичной формы к каноническому виду даже в ортонормированном базисе. Исходя из результатов гл. 5, в том же 3 6 настоящей главы будет получено новое доказательство теоремы о приведении квадратичной формы к каноническому виду в произвольном (не обязательно евклидовом) вещественном линейном пространстве.
Настоящий же параграф посвящен не только доказательству возможности приведения квадратичной формы к каноническому виду, но и описанию двух методов такого приведения, имеющих большую практическую ценность и широко встречающихся в приложениях. Так как каждому преобразованию базиса отвечает невырожденное линейное преобразование координат, а невырожденному преобразованию координат — преобразование базиса, то вопрос о приведении формы к каноническому виду можно решать путем выбора соответствующего невырожденного преобразования координат. 1.
Метод Лагранжа. Докажем следующую теорему. Теорема 7.3. Любая квадратичная форма А(х, х), заданная в п-мерном линеином пространстве Ь, с помощью невырожденного линейного преобразования координат может быть приведена к каноническому виду (7.13). Доказательство. Проведем доказательство теоремы методом Лагранжа. Основная идея этого метода заключается в последовательном дополнении квадратного трехчлена по каждому аргументу до полного квадрата.
Будем считать, что А(х, х) ф О ') и в данном базисе е = (ен еа,..., е„) имеет вид А(х, х) = ~ а,,с,су (7. 14) ьу=! ') Если форма А(х, х) = =О, то ее матрица в любом базисе состоит из нулевых элементов, и поэтому такая форма по определению имеет канонический вид. !85 пРиВедение квядРАтичной ФОРмы Убедимся, во-первых, что с помощью невырожденного преобразования координат форму А(х, х) можно преобразовать так, что коэффициент при квадрате первой координаты вектора х будет отличен от нуля. Если в данном базисе этот коэффициент отличен от нуля, то нужное невырожденное преобразование является тождественным. В случае, если а11 = О, но отличен от нуля коэффициент при квадрате какой-либо другой координаты, то с помощью перенумерации базисных векторов можно добиться требуемого результата. Ясно, что перенумерация является невырожденным преобразованием.
Если же все коэффициенты при квадратах координат равны нулю, то нужное преобразование можно получить следующим способом. Пусть, например, агд ф О ') . Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат 2): ье! = ье! ье2 ьез = ье! + бз б1 = ч'„2' = 3, 4, ..., и. После этого преобразования коэффициент при б! будет равен 2аю и поэтому отличен от нуля. Итак, будем считать, что в соотношении (7.14) аи у': О. Выделим в выражении (7.14) ту группу слагаемых, которые содержат б!. Получим А(х, х) = анС!~+2адзб!82+... +2а!„б!бп+ 2' а, (зб .
(7.15) Преобразуем выделенную группу слагаемых следующим образом: а!!б~!+ 2а!28!82+ ... +2а!„б!б„= ан ((! + ' 82+ ... + ' Е„)— ап а~~ 2 2 аы 2 а,„2 аыа|з а! — ~а1 — — бз —" — — "бя — 2 Ыз — .. — 2 ап ап " ап а|! Очевидно, выражение (7.15) можно теперь переписать так: з2 п А(х, х) = а!! (С! + -'-- 42 + ... + †'-"- С„) + 2 а,* С!чу, (7.1б) ап ап где а,'у — коэффициенты при б;(,, полученные после преобразования. Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат: 22! 41 + 42 + ° ° + сп 222 42 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
