В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Кроме того, при решении такой задачи не используется информация о конкретном расположении собственных значений Л, на отрезке [ун уз), а учитываются лишь границы этого отрезка. Такой подход позволяет построить набор оптимальных параметров для матриц произвольной структуры. Перейдем к решению указанной огрубленной задачи оптимизации. Положим ь () П( ) и заметим, что полинам РЯ удовлетворяет условию нормировки Р[0) = 1. С помощью замены переменной 1=-[у1+ уз — БЬ вЂ” уз)) = ' [1 — д ) = 1 тзь и у та — т11 1 — дрв 2 2 [, ув+.у~) тв где .у. — у1 2 Ро= то= уз + 'у~ и + 'уз мы отобразим отрезок у~ < 1 < уз в отрезок — 1 < Я < 1, причем точка 1 = 0 пеРеходит в точкУ Я = Яо = 1УРо > 1.
При такой замене рассматриваемая задача оптимизации переходит в следующую задачу: среди всех полиномов Рь[Ь') степени к, удовлетворяюи1их условию нормировки РРя[1[рв) = 1, найти такой, для котороео шах [Р(Я)[ минимален. )Я<1 Таким полиномом, как известно, является полинам Чебышева Рь[Я) = ть[Я). [та[за))-', где р сов (й атосов Я) при [Я[ < 1, т,[з) = — [(д + ъУУ: 1)ь + [б' — ъУ~:1)") при [Я[ > 1. 2 Так как гпах [Ть(Я)[ = 1, то )в(<1 1 ппп пуах [РьЯ[ = — „, — —, 1,1 ъ<г<т~ 7'ь [Яв) 1 2р", т/та — ту т1 причем = аь =,„, где р1 = Для вычисления оптимального набора параметров будем исходить из равенства ь() П( ) Дь ь Ро МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ !7! Я =сов — — к (7=1,2,...,й), 2у — ! 2й ! — рва ! ! — ьрь то, учитывая, что ! = , получим — = ' (~ =1,2,...
ть т ть ..., и; Я, определены выше). Итак, оптимальными значениями итерационных параметров будут значения 22.- ! где Я = сов — — — к 2к ть т' = 1, 2,..., й. 1+ пью~ Итерационный процесс с указанным оптимальным набором параметров называется чебышевским. Мы приходим к следующей теореме.
Теорема 6.4. Если матрицгя А и В симметричны и положительно определенгл и если т!В < А < чзВ, то чебышевский итерационный процесс сходится и для погрешности Хь после выполнения й итераций справедлива оценка ~~~ь~~в < йь!~~о~~в, 2рь ~'ть — у'ъ где ць = — —,„при р! = —-- ! + р(ь ъ% + ~Ъ Если в качестве условия окончания процесса взять для заранее заданной е-точности требование !!Уь!!в < е!!Яо!!и, то из теоремы 6.4 получается для числа итераций й следующая оценка: к > кь(е) = = 1п(е/2)/1пр!. Сравнивая эту оценку с установленной выше оценкой числа итераций для метода простой итерации Й > Йо(е) = 1пе/ 1и рь, мы получим, при условии, что величина Е = тя/~! мала, что ко(е) ге = 1п(2/е)/(2Я), /со(е) — 1п(1/е)/(2Е).
Сравнение этих оценок указывает на преимущество чебышевского метода (в случае, когда величина Е = тз/т! мала). Описанный нами чебьнневгкнй метод известен еще с нача.ьа 50-х годов. Иногда его называют методом Ричардсона. Следует отметить, что мы изучили этот метод для идеального вычислительного процесса с бесконечным числом знаков, в то время как на ЭВМ вычисления ведутся с конечным числом знаков, в связи с чем имеются числа, являющиеся машинной бесконечностью М и машинным нулем.
Если в пропессе вычислений на ЭВМ появляется число М, превосходящее М, то происходит аварийный останов машины (авост). С точки зрения идеального вычислительного процесса значения итерационных параметров т: можно упорядочить как угодно (любым из к! способов). Любые две последовательности итерационных па- ( ! — Ть! Х мы учли, что В = 7!. Приравняем корни полиномов, стоящих Рь в левой и в правой частях этого равенства. Так как полинам Рь(!) имеет корни 1.
= 1(ту (~ = 1, 2,..., й), а поливом Ть(Я) имеет корни 172 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ (гл. 6 раметров (т,) с точки зрения идеального вычислительного процесса эквивалентны, ибо для них требуемая е-точность достигается за одно и то же число итераций. Но при вычислении на ЭВМ различные последовательности параметров (т ) не эквивалентны. Для одних последовательностей значений (т,(Т может произойти аварийный останов машины вследствие роста промежуточных значений.
Для других последовательностей значений (т,) аварийного останова машины не происходит, но в связи с немонотонным характером стремления к нулю погрешности 2ь, т.е. вследствие того, что норма матрицы Š— т С перехода от (т' — 1)-й итерации к уцй может быть больше единицы, для этой погрешности не справедлива установленная нами для идеальной ситуации оценка.
Вследствие указанных обстоятельств возникает теоретическая проблема указать такой наилучший закон упорядочения значений Ттз), при котором для чебышевского метода было бы наименьшим влияние ошибок округления. Исчерпывающее решение этой проблемы можно найти в книге Самарский А.А. Теория разностных схем. — Мл Наука, 1977. С.572 и далее. ф 2.
Решение полной проблемы собственных значений методом вращений Ради простоты сначала будем рассматривать вещественную симметричную матрицу А, определяемую равенством (6.2). Заметим, что отыскание всех собственных значений и собственных векторов этой матрицы сводится к отысканию такой ортогональной матрицы Т, для которой произведение Р = Т'АТ (б.29) представляет собой диагональную матрицу. В самом деле, если такая ортогональная матрица Т будет найдена, то диагональные элементы матрицы Р будут являться собственными значениями матрицы А, а столбцы матрицы Т будут являться соответствующими собственными векторами матрицы А ) . Введем в рассмотрение сферическую норму матрицы А: 'ЯА'б,ф = 2 1 а~ ') Для доказательства этого обозначим через Лц Лз,..., Ль диагональные элементы матрицы Р и положим еь = ) еь), где элементы е'„столбца еь удовлетворяют условию еь =- 0 при к А 1 и еь =- 1.
Тогда, очевидно, Рея =- = Льеь, т, е, '!чАТеь = Льеь, и так как Т' = Т ', то АТеь = ЛьТеь. Следовательно, Теь являются собственными векторами матрицы А. Ц2) !73 метод ВРАщениЙ Тогда, очевидно, для диагональных элементов матрицы А будет справедливо неравенство Еп" < ЦАЦ'. а=1 16.30) ! сов зг — в!и Эг т-я строка 16.31) яп |р у-я строка сов ~р 1 В целом метод вращений состоит в построении последовательности матриц А, А!, Ать ", А, А ч !, 16.32) каждая последующая из которых получается из предыдущей при помощи элементарного шага вида А,г! = Т,А,7',, Если для упрощения записи опустить индекс и и рассмотреть один такой шаг А = Т,' АТии осуществляемый с помощью матрицы (6.31), то для элементов й„ преобразованной матрицы А мы получим следу- ') В самом деле, если А = !7А77, а символ ФгС обозначает сумму всех элементов матрицы С, лежащих иа ее главной диагонали, то ЦАЦ = сг гА'А) = =- Е~ГКА'ТХ'17АК) =Гг (КА'АК) = ЦАК!/з~ — — Ц(АЯ)'//,.~ — — ! й'А'Ця —— = ге ГА7!г!'А') = гг(АА') = /!АЦ/,~ — — ЦА/1~~.
причем это неравенство переходит в точное равенство только в случае, когда матрица А является диагональной. Заметим теперь, что при ортогональном преобразовании лгатрицы А гт.е. при преобразовании вида А = 17АЯ, где 17 и )7 ортогональные матрицы) сферическая норма этой лгалгриг!ьг не изменяетвя '). Отсюда следует, что от всех ортогональных преобразований матрицы А преобразование 16.29) отличается тем, что это преобразование делает максимальной сумму квадратов диагональных элементов преобразованной матрицы и минимальной — сумму квадратов всех внедиагональных элементов этой матрицы. Методом вращения называется итерационный метод, при котором указанная выше матрица Т находится как предел бесконечного произведения элементарных матриц вращения, каждая из которых имеет вид 174 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ (гл.
6 ющие выражения через элементы аы матрицы А: аы=аы прий~1,2,1~1',~; ап = оп сов!2+ а 1яп!р при1 фт, 1; ау1 = — аа яп !р + аа! соз 52 при 1 р! 1, 22 ан' — он сов!р+ а!1 51п!р при 1 т- 2, 1; а! = — амяп 52+ аы сов!р при 1 ф1, 12 (6.33) а„= (ан соз !р + а ., яп !р) соз ~о + (аы соз !р + ауз яп !р) яп !р; й ., = ( — а„юп 52 + аги соз !Р) соз Р + ( — а „Яп !Р + ау соз 52) Яп !Р; а = — ( — аи Яп Р + а ч соз 52) 51П !Р + ( — а, Яп 52+ ауу соз !Р) соз !Р; йпз = — (а„СОЗ !Р + а 1 ЯП !Р) ЯП !Р + (а, СОЗ Р + а ... ЗШ !Р) СОЗ !Р. Из соотношений (6.33) и из условия симметричности матрицы А вытекает следующее легко проверяемое равенство: п и п п ~ ' ~ 'азь! — — ~ ' ~ а!21 — 2а', + — ((а .
— ан) яп2!р+ 2ам сов 2!р)2. в=11=1 Ь=!1=! Ь~! ЬИ! (6.34) Из этого равенства вытекает, что для максимального уменьшения суммы квадратов всех внедиагональных элементов необходимо матрицу (6.31) выбрать так, чтобы были выполнены два требования: !) номера 1 и 1 выбрать так, чтобы квадрат элемента ачн оыл наибольшим среди квадратов всех недиагональных элементов матрицы А, т.
е, выбор номеров 1 и у подчинить условию апу = 1иаХ аЫ,' 2 !<Ь<п, !<1<п, ьФ 2) угол поворота !р в матрице (6.31) выбрать так, чтобы было справедливо равенство (а — ап) яп2!р+ 2а1 соз2!р = О. (6.35) Равенство (6.35) однозначно определяет угол !р, удовлетворяющий условиям 1д2!р = '", 'рр~ < —. (6.36) Это равенство позволяет вычислять соз 52 и яп !р по формулам соз!р = ( — [1+(1+ р ) '~ ]) !/2 51п !Р = зкп Р ( — [1 — (1 + Р ) ] ) где Р = 2а1 2!(ан — ауу). 42) !75 метод ВРАщении а~А! — — 2 2 а~ы — 2а~3, Ь=!1=! Ь=!1=! Аф! ЬФ1 (6.37) в котором аб представляет собой наибольший по модулю внедиагональный элемент матрицы. Теперь мы можем более точно сказать, что метод вращений состоит в построении последовательности матриц (6.32), каждая последующая из которых получается из предыдущей посредством ортогонального преобразования А„+! = Т,'.А,Т1, в котором матрица Тьу = Тг (р) выбирается так, чтобы были выполнены указанные выше два требования ') .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
