В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Докажем сходимость метода вращений. Обозначим символом Яа сумму квадратов всех внедиагональных элементов матрицы А, а символом аг 1 наибольший по модулю внедиагональный элемент этой (и) матрицы. Тогда в силу (6,37) справедливо равенство Я~ ! — — Я~ — 2 ~а!")1 ~ (6.38) Далее, поскольку общее число внедиагональных элементов матрицы А равно п(п — 1), а а1 1 — наибольший по модулю из этих ( ) элементов, то справедливо неравенство ~()~ ) эз (6.39) Из (6.38) и (6.39) вытекает неравенство п(п — 1)) (6.40) Последовательно используя неравенство (6.40), записанное для номеров О, 1,..., и, и обозначая через Яо = Яо(А) сумму квадратов всех внедиагональных элементов основной матрицы А, мы получим, что (6.41) ') Номера 1 и У на каждом шаге выбираются такими, чтобы наибольшим по модулю являлся внедиагональный элемент матрицы А с этими номерами.
Заметим, что если матрица (6.31) выбрана так, что выполнены указанные выше требования 1) и 2), то равенство (6.34) переходит в следующее соотношение: 176 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ (гл. 6 Из неравенства (6.41) сразу же следует, что !Ип Язэ, = О, что и дар — рьр казывает сходимость метода вращений. В качестве приближенных значений собственных чисел матрицы А берутся диагональные элементы матрицы А„, а в качестве приближенных собственных векторов матрицы А берутся столбцы матрицы 761, Тбу,...
Т;„у . Более точные результаты получены В.В. Воеводиным ') . Для случая, когда произвольная (не обязательно симметричная) матрица А не имеет жордановых клеток и все ее внедиагональные элементы являются величинами порядка е и малы по сравнению с числом р = = ппп ~Л; — Л ~, В.В. Воеводин получил следующие оценки: л,~л, а) для собственных значений оценку Л, =;, + ~ -'-'-"-' — "* -+ О( з) 1а* арр Н О, если Л;=Л, + О(ез), если Л; ф Л, Если А комплексная эрмитова матрица, то вместо матрицы (6.31) следует взять унитарную матрицу 1-я строка — 81 зр ею соз Зр 1 Т (~ Ф)= (6.42) у-я строка Мп!р е сов у 1 ') Воеводин В.В. Численные методы алгебры.
Теория и алгорифмы. — Мс Наука, ! 966. (из указанной суммы исключаются значения р, принадлежащие множеству Н~ тех чисел у = 1, 2,..., и, для которых Л, = Л;); б) если Т вЂ” матрица, столбцы которой являются собственными векторами матрицы А и Т = Е+ Н, где Е -- единичная матрица, то для элементов Ьг матрицы Н справедливы оценки гз2) 177 МЕТОД ВРАЩЕНИИ При этом вместо равенства (6.34) мы придем к равенству и и П и ) ' ) ~аы(~ = и2 ' иг'~аь1~~ — 2~а, ~~ + А=11=1 А=11=! АФ ЬМ1 2 +2~а11~ соз222 е'" — В1п222 ед2" "1+(а — ам)соз1рейпэ2е"" в котором через сг обозначен аргумент комплексного числа а;,. Для максимального уменьшения суммы квадратов модулей внедиагональных элементов следует у матрицы (6.42) выбрать такие номера 1 и ~, чтобы элемент аау был наибольшим по модулю внедиагональным элементом матрицы А, а выбор углов р и ф подчинить условию ~аг ~(сов2 ЗР ег — ейп ~р еда~ ~ + (аеу — аы) сов 22 вш 1р его) = О. Последнее условие приводит к соотношениям ф = вся об, 1д212 = ", (~р( К вЂ”.
21а,1 ! 11 Доказательство сходимости метода вращений проводится точно так же, как и для случая вещественной матрицы. Глава 7 БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ В этой главе изучаются билинейные формы, определенные в вещественном линейном пространстве, т.е. числовые функции двух векторных аргументов, линейные по каждому из этих аргументов. Подробно исследуются так называемые квадратичные формьг, представляющие собой билинейные формы, определенные для совпадающих значений их аргументов. Рассматриваются также некоторые приложения теории билинейных и квадратичных форм.
ф 1. Билинейные формы А(х+ в, у) = А(х, у) + А(я, у), А(х, у + и) = А(х, у) + А(х, я), А(Лх, у) = ЛА(х, у), А(х, Лу) = ЛА(х, у). (7. 1) Иными словами, билинейная форма представляет собой числовую функцию А(х, у) двух векторных аргументов х и у, определенную на всевозможных векторах х и у вещественного линейного пространства 1, и линейную по каждому из этих аргументов ') . Простейшим примером билинейной формы может служить произведение двух линейных форм 1(х) и д(у), определенных на векторах х и у линейного пространства 1 .
') При этом часто говорят, что билинейная форма А(х, у) задана на линейном пространстве !.. 1. Понятие билинейной формы. Понятие билинейной формы в произвольном линейном пространстве было введено нами ранее в гл.5. Однако для удобства изложения в этом пункте мы напомним некоторые определения и простейшие утверждения. Определение 1. Числовая функция А(х, у), аргументами которой являются всевозможные векторы х и у вещественного линейного пространства 1,, называется билинейной формой, если для любых векторов х, у и в из 1 и любого вещественного числа Л выполняются следующие соотношения: !79 вилинеиные ФОРмы Определение 2. Билинейная форма А(х, у) называется симметричной (кососимметричной), если для любых векторов х и у линейного пространства Б выполняются соотношения А(х, у) = А(у, х) (А(х, у) = — А(у, х)).
(7.2) и В(х, у) = 2 Ь!1~!цу, Я у=! (7.3) где Ь;, = В(е„е ), (7.4) а С! и г! — координаты в базисе е векторов х и у соответственно. и и Доказательство. Пусть х = 2 с!е! и у = 2 ц е~ — разложег=! у=! ние векторов х и у по базису е. Так как форма В(х, у) линейна по каждому из аргументов х и у (см. (7.1)), то и и и В(х, У) = В ~ 2 С!е,„2 тЬ.е,) = 2 В(ео еу)СьЦ1 1=! 1=! и 1=! Таким образом, для формы В(х, у) справедливо представление (7.3) с выражениями (7.4) для коэффициентов Ьгу. Чтобы доказать однозначность этого представления, предположим, что для В(х, у) справедливо представление (7.3) с некоторыми коэффициентами Ь;,.
Беря в (7.3) х=е„у=еу мы сразу же получим выражения (7.4) для коэффициентов Ьны Теорема доказана. Определение. Матрица Ь Ь ... Ь В(е) = (Ьм) = Ь!Ьз...Ь (7.5) элементы Ь, которой определены с помощью соотношений (7.4), называется матрицей билинейной формы В(х, у) в данном базисе е. Замечание 1. Обратимся к вопросу о построении всех билинейных форм в данном конечномерном вещественном пространстве !..
Справедливо следующее утверждение: любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной билинейных форм (см. п. 1 99 гл.5). 2. Представление билинейной формы в конечномерном линейном пространстве. Пусть в и-мерном линейном пространстве 1, задана билинейная форма В(х, у). Выясним вопрос о представлении формы В(х, у) в случае, когда в 1 задан определенный базис е = = (е!, егь ..., еи). Справедливо следующее утверждение. Теорема 7.1. Билинейная форма В(х, у) при заданном в и-мерном линейном пространстве Б базисе е = (е!, ем..., еи) может быть однозначно представлена в следующем виде: (гл. 7 180 БилинеЙные и квлдРлтичные ФОРмы Ответ на этот вопрос следующий: любая квадратная матрица (6„) является в данном базисе е = (е!, ещ ..., е„) матрицвй некоторой билинейной формы. Убедимся в справедливости этого утверждения. Определим в линейном пространстве 5 с данным базисом е = = (е!, ез,..., е„) с помощью матрицы (Ь;,:) числовую функцию В(х, у) и и двух векторных аргументов х = 2 '5!е! н у = х ~' и;е, вида г=! з=! В(х, у) = 2 Ьггб!гй.
~.э=! Легко видеть, что эта функция удовлетворяет всем условиям определения билинейной формы. Но тогда, согласно теореме 7.1, элементы Ь;: заданной матрицы равны В(е„ е.), а написанная выше формула есть представление этой формы в виде (7.3). Согласно сделанному замечанию естественно называть представление (7.3) билинейной формы В(х, у) об!цим видом билинейной формы в и-мерном линейном пространстве. Замечание 2. Если В(х, у) — симметричная (кососимметричная) билинейная форма, то матрица (7.5) этой формы в базисе е является симметричной (кососимметричной). Справедливо и обратное — если матрица (7.5) билинейной формы В(х, у) симметрична (кососимметрична), то и билинейная форма является симметричной (кососимметричной).
Убедимся в справедливости этого замечания. Пусть В(х, у) — симметричная (кососимметричиая) билинейная форма. Полагая в соотношениях (7.2) х = еи у = е, получим, согласно (7А), (7.6) (Ьг, = — Ь,;), Ьг, =6,! т.е. матрица (7.5) является симметричной (кососимметричной).
Пусть теперь матрица (7.5) билинейной формы В(х, у) симметрична (кососимметрична), т.е. ее элементы удовлетворяют соотношениям (7.6). Тогда из соотношения (7.3) и соотношения В(х, у) = Ьыб!пи следует, что В(х, у) = В(у, х) (В(х, у) = — В(у, х)), ~.3=! т. е. форма В(х, у) является симметричной (кососимметричной), 3. Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы. Рассмотрим в линейном пространстве Т два базиса: е = (е!, ещ .,., е„) и 7 = (Т!, Тв,..., Г„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
