В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 40
Текст из файла (страница 40)
2!я = ся. а1~ ан С помощью этого преобразования и представления (7.1) для А(х, х) получим А(х, х) = аиуз!+ 2' а,* 22,22.. (7.17) ЕУ=2 ') Напомним, что А(х, х) ~ О, н поэтому хотя бы один коэффициент а„ отличен от нуля. ) Определитель матрицы этого преобразования равен 2, н поэтому зто преобразование незырожденное. (гл. 7 186 БилинеЙные и квлдРлтичные ФОРмы А(х, х) = Лгцг| + Лзцз + ... + Льць. (7.
18) Ясно, что к < и,. Так как ранг квадратичной формы по определению равен рангу ее матрицы в любом базисе, то из (7.18) и условия Л, у'= 0 при 1 = 1, 2, ..., к вытекает, что ранг формы равен й. Таким образом, число отличн2ях от нуля канонических коэффициентов равно рангу квадратичной формы. 2. Метод Якоби. При некоторых дополнительных предположениях о квадратичной форме А(х, х) можно указать явные формулы перехода от данного базиса е = (ен ег,..., ев) к каноническому базису =- (тн 22, ..., Г„) и формулы двя канонических коэффициентов Л,. Предварительно мы введем понятие треугольного преобразования базисных векторов. Преобразование базисных векторов ен ет, ..., е„называется треугольным, если оно имеет следующий вид: Г~ =ен 62 = а21е1 + е2, Гз = аз|е| + азте2 + ез, (7.
19) 1„= атме~ + а„зе2+... +е„. Итак, если форма А(х, х) ф- О, то с помощью невырожденного преобразования координат эту форму можно привести к виду (7.17). Обратимся теперь к квадратичной форме 2' аццьт17. Если эта 2.1=2 форма тождественно равна нулю, то вопрос о приведении А(х, х) и к каноническому виду решен. Если же форма 2 а,*.ц;цт ф- О, то 2,1=2 мы можем повторить рассуждения, рассматривая преобразования координат цн ..,, ц„, аналогичные описанным выше, и не меняя при этом координату цн Очевидно, такого типа преобразования координат цн ц2,..., ц„будут невырожденными. Ясно, что за конечное число шагов мы приведем квадратичную форму А(х,х) к каноническому виду (7.13).
Отметим, что нужное преобразование исходных координат бн С2,... можно получить путем перемножения найденных в процессе рассуждений невырожденных преобразований. Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется каноническим. Отметим, что канонический базис определен неоднозначно. Замечание 2. Если форма А(х, х) приведена к каноническому виду (7.13), то, вообще говоря, не все канонические коэффициенты Л; отличны от нуля. Оставляя в (7.13) лишь отличные от нуля Л; и перенумеровывая их заново, получим следующее выражение для А(х, х); !87 пРиВедение квлдРлтичнои ФОРмы Замечание. Так как определитель матрицы треугольного преобразования (7.19) отличен от нуля (равен !), то векторы Гн Кз,..., Г„ образуют базис. Введем в рассмотрение угловые миноры матрицы А(е) = (а; ) коэффициентов формы А(х, х) в базисе е, обозначив их символа- МИ съы ЬЗ,..., Ь~ — !.
а~1 ... ае„ а — 11 а — Š— ! (7.20) Справедливо следующее утверждение. Теорема 7.4. Пусть миноры Ьп гзз,..., гл„матрицы (а0) квадратичной формы А(х, х) отличны от нуля. Тогда существует единственное треугольное преобразование базисных векторов еи ез, ... ..., е„, с помощью которого форму А(х, х) можно привести к каконическому виду. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Напомним, что коэффициенты Ь; формы А(х, х) в базисе тп Гз, ..., Гь вычисляются по формулам ЬН = = А(Г„Г,). Если форма А(х, х) в базисе гы гз,..., Г„имеет канонический вид, то ЬО = 0 при ! ф уй Поэтому для доказательства теоремы достаточно построить с помощью треугольного преобразования (7.!9) такой базис тп тз, ..., Г„, в котором будут выполняться соотношения А(гг, Гу) = 0 при г ф у', или, что то же, при ! < у (7.2!) (при этом, конечно, надо убедиться, что искомое преобразование единственно).
Если обратиться к формулам (7.!9) для га то, используя линейное свойство квадратичной формы А(х,х) по каждому аргументу, легко заметить, что соотношения (7.2!) будут выполнены, если будут выполнены соотношения ') А(ен Ху) = О, А(ез, Гу) = О, ..., А(е н Гу) = О, у = 2, 3, ..., и. (7.22) Запишем формулы (7.22) в развернутом виде. Для этого подставим в левые части этих формул выражение Г =а !е1+а зез+...+а |е !+е (7.23) для Г из соотношений (7,19).
Используя далее свойство линейности А(х, х) по каждому аргументу и обозначение А(ее е ) = аен получим в результате следующую линейную систему уравнений для неизвест- ') Нетрудно убедиться, что из соотношений (7.2!) следуют соотношения (7.22). (гл. 7 !88 БилинеЙные и кВАДРАтичные ФОРмы ных коэффициентов а,еы гьэч а11 + о уз а ш + ...
+ о |а1 1 + вы — — О (7.24) а ~а ~ !+апа. ~з+...+а 1а ~ 1+а, 1 — — О. Определитель этой системы равен Ь, ы По условию Ьз 1 ф О. Следовательно, система (7.24) имеет единственное решение. Таким образом, можно построить единственное треугольное преобразование базисных векторов, с помогцью которого форма А(х,х) приводится к каноническому виду. Теорема доказана. Приведем формулы, по которым можно вычислить коэффициенты а, искомого треугольного преобразования, и формулы для канонических коэффициентов Л .
Обозначим символом Ьз !, минор матрицы (аб), расположенный на пересечении строк этой матрицы с номерами 1, 2,..., у — 1 и столбцов с номерами 1, 2, ..., ! — 1, 1+ 1,..., ~. Тогда, обращаясь к системе (7.24) и используя формулы Крамера, получим следующее выражение для гты.' он = ( — 1)УФ! (7.25) тх, ) Займемся вычислением канонических коэффициентов Л .. Так как Л = 6..
= А(Г., Г.), то из выражения (7.23) для Г. и формул (7.22) получаем Л, = А(У,, Е,) = А (сг,че1 + аузез + ... + ОФ, 1е, 1+ е,, Гу) = = А(еги Гу) = А (еги ст,че1+ а зев+.,. + а,, ~е, ~ + е ) = =а !аО+оуааа +...+а 1а 1 +а,, Подставляя выражение (7.25) для а,ч в правую часть последнего соот- ношения, найдем Л = (( — 1)У+'аОЬу 11+ ( — !)'+ аг,тЛу 1 а+ ..
..+( — !) у а 1эЬ ~ у 1+аттЬу !)тх Числитель последнего соотношения представляет собой сумму произведений элементов строки с номером у' в определителе Ьу на алгебраические дополнения этих элементов в указанном определителе. Следовательно, этот числитель равен Ь,. Поэтому Л, = ' , у = 2, 3, ..., и. Так как Л1 = А(тн т1) = А(ен е1) = ан = тЛИ то отсюда и из (726) получаем следующие формулы для канонических коэффициентов: Л|=ЬИ Лз= — ', ..., Л„= " . (7.27) и !89 злкон инеРции квлдРлтичных ФОРМ ф 4.
Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм А(х, х) = 2 а,,~Ду, ч. 1=1 (7.28) где сн са, ..., с„— координаты вектора х в базисе е. Допустим, что эта форма с помощью невырожденного преобразования координат приведена к каноническому виду А(х, х) = Л~!ь, + Лз1ь;+ ... + Ля!ьь, (7.29) причем Лн Лз,..., Ль — отличные от нуля канонические коэффициен- ты, занумерованные так, что первые 9 из этих коэффициентов положи- тельные, а следующие коэффициенты — отрицательные: л,>о, л,>о, ..., л,>о, л,,<о, ..., л,<о. Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат р; '): 1 1 л, рн '!а =,,л„ 1 ч1ч-Р~ = г — — !зч~-1 лг -л,.„ 1 1ьа ..
г!ч = — !ьч 1 г!ь = — !ьь, (7.30) Чь 1 = рье1 Чь = рь. В результате этого преобразования форма А(х, х) примет вид А(х, х) = ч1з~ + г!за + ... + г1~ ~— ч1~~ 1 — ... — пь, (7.31) называемый нормальным видом квадратичной формы. ') Легко видеть, что определитель этого преобразования отличен от нуля. 1. Закон инерции квадратичных форм. Мы уже отмечали (см.
замечание 2 п. 1 предыдущего параграфа), что ранг квадратичной формы равен числу отличных от нуля канонических коэффициентов. Таким образом, число отличных от нуля канонических коэффициентов не зависит от выбора невырожденного преобразования, с помощью которого форма А(х, х) приводится к каноническому виду. На самом деле при любом способе приведения формы А(х, х) к каноническому виду не меняется число положительных и отрицательных канонических коэффициентов. Это свойство называется законом инерции квадратичных форм.
Прежде чем перейти к обоснованию закона инерции, сделаем некоторые замечания. Пусть форма А(х,х) в базисе е = (е!, еа,..., е„) определяется матрицей А(е) = (вч ): (гл. 7 190 БилинеЙные и квлдРлтичные ФОРмы Итак, с помощью некоторого невырожденного преобразования координат Сн ба,..., б„вектора х в базисе е = (ен еэ, ..., е„) Чг = стг1б1 + сггачсз + ° + огггрп 1 = 1, 2,..., п, с(е$ (оы) г'= 0 (7.32) (это преобразование представляет собой произведение преобразований б в р и р в г1 по формулам (7.30)) квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду (7.31).
Локажем следующее утверждение. Теорема 7.5 (закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами в нормальном виде квадратичной формьч не зависит от способа приведения формы к этому виду. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть форма А(х, х) с помощью невырожденного преобразования координат (7.32) приведена к нормальному виду (7.31) и с помощью другого невырожденного преобразования координат приведена к нормальному виду А(х, х) = ~1~ + (~~ +... + ~~~ — ~~~ „1 — ...
— (ь~. (7.33) Очевидно, для доказательства теоремы достаточно убедиться в справедливости равенства р = у. Пусть р > у. Убедимся, что в этом случае имеется ненулевой вектор х такой, что по отношению к базисам, в которых форма А(х,х) имеет вид (7.31) и (7.33), координаты г1Ы г1з, ..., т1ч и ~рэн..., г,„этого вектора равны нулю: г1г =О, г1а =О, ..., пд — — О, ~рш =О, ..., ~„=0.
(7.34) Так как координаты пн получены путем невырожденного преобразования (7.32) координат (н ..., С„, а координаты ~, с помощью аналогичного невырожденного преобразования этих же координат ~н..., ~п, то соотношения (7.34) можно рассматривать как систему линейных однородных уравнений относительно координат бг, ..., б„искомого вектора х в базисе е = (ен ею ..., е„) (например, в развернутом виде соотношение пл = 0 имеет, согласно (7.32), вид о~|(~ + о~зба + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
