В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Теорема доказана. Замечание. Из доказанной нами теоремы непосредственно следует, что любую квадратичную форму в произвольном вещественном линейном пространстве можно привести к каноническому виду. Однако способ такого приведения является, вообще говоря, более сложным, чем способы, изложенные выше в 9 3, поскольку он требует нахождения всех собственных векторов некоторого самосопряженного оператора (см. по этому поводу гл.б). 4.
Экстремальные свойства квадратичной формы. Рассмотрим произвольную дифференцируемую функцию 7, определенную на некоторой гладкой поверхности Я (см. определение гладкой поверхности в гл.5 части !1 «Основ математического анализаь). Будем говорить, что точка хо поверхности Я является стационарной точкой функции 7', если в точке хо производная функции 7 по любому направлению на поверхности В равна нулю. В частности, точки экстремума функции г являются ее стационарными точками. Значение г"(хо) функции 7 в стационарной точке хо называется стационарным значением.
Иногда стационарную точку хо функции 1' называют ее критической точкой, а величину 7(хо) — критическим значением. В этом пункте мы исследуем вопрос о стационарных и, в частности, экстремальных значениях квадратичной формы В(х, х) на сфере единичного радиуса в евклидовом пространстве !г и о связи этих значений с собственными значениями самосопряженного оператора А, с помощью которого симметричная билинейная форма В(х, у), полярная квадратичной форме В(х, х), представляется в виде В(х, у) = (Ах, у). (7.54) При этом единичнои сферой в Р' мы будем называть множество тех векторов х Е !г, которые удовлетворяют уравнению (7.55) (х, х) = ! или 11х11 = 1.
Для упрощения рассуждений мы воспользуемся выводами предыдущего пункта о приведении квадратичной формы к сумме квадратов. 66) !99 ФОРмы В еВклидОВОм пРООТРлнстве Итак, пусть В(х,х) — квадратичная форма, В(х, у) — полярная этой форме билинейная форма, А — самосопряженный оператор, связанный с В(х, у) соотношением (7.54). По теореме 7.8 в ортонормированном базисе (еь), состоящем из собственных векторов оператора А, квадратичная форма В(х,х) имеет вид В(х, х) = 2 Лье~я, ь=! (7.56) где сь — координаты вектора х в базисе (еь), Ле — собственные значения оператора А.
Мы договоримся нумеровать эти собственные значения в порядке убывания: (7.57) Л, >Лз»...Л„. Заметим, что в выбранном базисе единичная сфера, определяемая уравнением (7.55), в координатах вектора х задается уравнением Е 1ь г- 1 = О. ь=! (7.58) и / п Р= ~ Л,х„' — Л~~-~-'ь — 1, ь=! ь=! (7.59) где Л неопределенный множитель Лагранжа. Напомним, что если Л в (7.59) выбрано так, что при условии (7.58) выполняются соотношения дФ =О, к=1,2,...,п, (7.60) дбь то в точках сферы (7.58), отвечающих этим значениям Л, функция В(х, х) (квадратичная форма В(х, х)) имеет стационарное значение.
Таким образом, вопрос о стационарных значениях В(х,х) на сфере (х, х) = 1 редуцируется к исследованию системы уравнений относительно неизвестных Л и координат с!, сз,..., с„ вектора х. Отметим, Докажем следующую теорему. Теорема 7.10. Стационарнь!е значения квадратичной формы В(х, х) на единичной сфере (7,55) равны собственнь!м значениям Ль оператора А. Эти стационарные значения достигаются, в частности, на единичных собственных векторах еь оператора А.
Доказательство. Так как речь идет о стационарных значениях функции В(х, х) при условии (х, х) = 1, т.е. об условном экстремуме этой функции, то мы можем воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа (см. «Основы математического анализах часть 1, п.2 95 гл. 15). Составим для функции В(х, х), используя ее выражение (7.56) в данном базисе (еь), функцию Лагранжа !р(С!, Сз, ..., С„), учитывая при этом, что уравнение связи имеет вид (7.58). Получим (гл. 7 БилинеЙные и кВАДРАтичные ФОРмы что при этом с!, сз, ..., с„будут координатами того вектора х, на котором В(х, х) будет иметь стационарное значение. Так как = 2(ЛА — Л)СЫ то интересующая нас система (7.58), (7.60) примет вид и 2' ~~з = 1, (ЛА — Л)СА = О, к = 1, 2, ..., и. (761) ь=! Пусть система (7.61) имеет решение Л=Л, х=(6,Ь...,1 ).
Умножая каждое из соотношений (Ль — Л)еь = 0 на (~, суммируя и затем полученные соотношения и учитывая, что 2 ~~ = 1, получим, ь=! согласно (7.56), следующее значение для Л: Л = 2 ЛЕСА~ = В(х, х). ь=! Таким образом, если Л и х = ф, Сш ..., С„) — решение системы (7.61), то Л равно значению квадратичной формь! В(х, х) на векторе х = ф, Ею ..., („), на котором эта форма имеет стационарное значение. Легко видеть, что решениями системы (7.61) служат следующие значения неизвестных Л и с!: Л=ЛА, ч! =О, ..., чь ! =О, чь —— 1, чье! =О, ..., ь„=0, к=1,2,..., п. Очевидно, эти решения являются собственными значениями Ль и координатами соответствующих собственных векторов еь.
Теорема доказана. Замечание. Мы только что выяснили, что собственные значения Ль являются стационарными значениями квадратичной формы В(х, х) на сфере (х, х) = 1. Оказывается, числа Л! и Ли (при условии (?.57)) являются соответственно наибольшим и наименьшим значениями В(х, х) на сфере (х, х) = 1 (то, что эти значения достигаются, установлено выше). Чтобы убедиться в справедливости замечания, достаточно заменить в (7.56) все Ль сначала на Ли, а затем на Л! и воспользоваться соотношениями (7.57) и (7.58). Очевидно, получим неравенства Ли < В(х, х) < Л!.
й7) 20! ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ф 7. Гиперповерхности второго порядка В этом параграфе мы познакомимся с понятием и основными типами гиперповерхностей второго порядка. Кроме того, будут указаны способы исследования таких поверхностей. 1. Понятие гнперповерхностн второго порядка. Пусть и-мерное вещественное евклидово пространство. Ради геометрической наглядности будем называть векторы х этого пространства точками. Гиперповерхностью В второго порядка будем называть геометрическое место точек х, удовлетворяющих уравнению вида А(х, х) + 2В(х) + с = О, (7.62) где А(х, х) — не равная тождественно нулю квадратичная форма, В(х) линейная форма, а с — вещественное число. Уравнение (7.62) будем называть оби!им уравнением гиперповерхности второго порядка. Выделим в пространстве )г какой-либо ортонормированный базис (еь).
Координаты вектора х (точки х) в этом базисе обозначим через (х!,хз,...,х„). Тогда (см. п.2 Э 1 этой главы) квадратичная форма А(х,х) может быть представлена в виде А(х, х) = 2 а.ьх хь, у, ь=! (7.63) где а,ь = А(еги еь) (7.64) и А(е ч еь) — значение на векторах ез и еь симметричной билинейной формы А(х, у), полярной квадратичной форме А(х, х).
Линейная форма В(х) в указанном базисе (еь) представляется в виде ') п В(х) = 2 ' 6ьхь. ь=! (7.65) а ьх ха+2~ баха+с=О. 1, ь=! ь=! (7.66) Договоримся о следующей терминологии. ') Согласно лемме п ! 44 гл 5 линейная форма В(х) может быть представлена в виде В(х) = (х, Ь), где Ь вЂ” постоянный вектор. Обозначая 6|, 6м.,, ..., 6„координаты вектора Ь и учитывая ортонормированность базиса (еь), мы получим представление В(х) в виде (7.65). Таким образом, общее уравнение гиперповерхности второго порядка в евгглидовом пространстве Ъ' с выделенным базисом (еь) может быть представлено в следующей форме: (гл.
7 202 БилинеЙные и квлдРлтичные ФОРмы Слагаемое А(х, х) = 2' ауьхэхь будем называть группой старя л=! шил членов уравнения (7.62) или (7.66). ГРУппУ слагаемых В(х) + с = 2 ' бьхь + с бУдем называть линейь=! ной частью уравнения (7.62) или (7.66). Мы будем рассматривать в дальнейшем матрицы А= ............ и В= ''''''''''''''л' (?67) и определители г)еС А и де$ В этих матриц. Исследование гиперповерхностей второго порядка мы будем проводить с помощью метода, сходного с методом, применяемым в аналитической геометрии при исследовании кривых и поверхностей второго порядка, заданных общими уравнениями.
Идея этого метода заключается в том, что путем выоора специальной декартовой системы координат на плоскости (для кривых второго порядка) или в пространстве (для поверхностей второго порядка) достигается максимальное упрощение уравнения кривой или поверхности. Затем путем исследования этого уравнения выясняются геометрические свойства кривой или поверхности.
Кроме того, перечисление всех возможных типов простейших (канонических) уравнений кривых или поверхностей второго порядка позволяет дать их классификацию. Чтобы использовать этот метод в многомерном случае, мы сначала должны изучить такие преобразования (отображения) п-мерного евклидова пространства, которые представляют собой аналоги преобразований декартовых прямоугольных координат в случае двух и трех измерений. Такими преобразованиями в и-мерном случае будут параллельные переносы и такие преобразования базисов, при которых ортонормированный базис переходит в новый ортонормированый базис. Точные определения этих преобразований будут даны в следующем пункте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
