В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 45
Текст из файла (страница 45)
1 в2 гл.5, формуле (5.!3), могУт быть найдены из Равенств Ае~ = 2 ' а рер. р=1 Умножим обе части последнего соотношения скалярно на ею Тогда, учитывая ортонормированность базиса(ее), получим (Ае, еь) = аул. Так как А(е,, еь) = (Аеьо еь), то а,ь = аую Утверждение замечания доказано. б. Инварианты общего уравнения гиперповерхности второго порядка.
Назовем инвариантом общего уравнения (7.62) (или (7.66)) гиперповерхности второго порядка относительно параллельных переносов и преобразований ортогональных базисов в ортогональные такую функцию 7(а~и ащ,..., а„„, Ьп Ьв, ..., Ь„, с) коэффициентов этого уравнения, значение которой не меняется при указанных преобразованиях пространства. Докажем следующее утверждение. Теорема 7.!1. Инвариантами общего уравнения (762) (или (7.66)) гиперповерлности второго порядка являются коэффициенты характеристического многочлена матрицы А квадратичной формы А(х, х) и определитель с!еь В матрицы В в соотношении (7.67).
В частности, инвариантами являются де! А и след а11+ аза + ... + а„„матрицы А. Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, инвариантность перечисленных в условии теоремы величин достаточно доказать отдельно для параллельного переноса и преобразования ортонормированного базиса в ортонормированный. Рассмотрим сначала параллельный перенос. В п.3 этого параграфа мы установили, что при этом преобразовании группа старших членов сохраняет свой вид (см.
формулу (7.79)). Поэтому не меняется матрица А, а следовательно, н характеристический многочлен этой матрицы. Докажем инвариантность де! В. (гл. 7 208 БилинеЙные и квлдРлтичные ФОРмы При параллельном переносе (7.68) (или (7.69)) матрица преобразуется в матрицу В', определитель которой, согласно (7.82), имеет вид Р оп ... а1„Ь~ (7.89) с1е1 В агп ... а„„Ь'„ Ь1 .. Ь'„с' где величины Ь'„и с' определяются по формулам (7.84) и (7.85). Вычтем из элементов последней (и. + 1)-й строки определителя (7.89) элементы первой строки, умноженные на лн затем элементы о второй строки, умноженные на ла и т.д., и, наконец, элементы и-й строки, умноженные на м„. Так как при таких преобразованиях определитель не меняется, то, используя (7.84) и (7.85), получим соотношение ь', а~~ ...
аы с)ет В' а„1 ... а Ь„ (7.90) Вычтем теперь из элементов последнего (и+ 1)-го столбца определителя (7.90) элементы первого столбца, умноженные на хн затем элементы второго столбца, умноженные на ма, и т.д., и, наконец, элемено ты п-го столбпа, умноженные на м„. Так как при таких преобразованиях определитель не меняется, то, используя соотношение а ь = аьч вытекающее из симметричности формы А(х, у), и формулу (7.84), мы получим в результате с)ет В. Итак, равенство с)ет В' = с)ет В доказано. Следовательно, с)е1 В инвариантен относительно параллельных переносов.
Рассмотрим теперь преобразование ортонормированного базиса в ортонормированный. Во-первых, убедимся, что коэффициенты характеристического многочлена матрицы А квадратичной формы являются инвариантами рассматриваемого преобразования. В предыдущем пункте мы установили, что при переходе к новому ортонормнрованному оазису матрипа А изменяется как матрица некоторого линейного оператора.
Но в таком случае, как следует из замечания 1 п.З 82 гл.5, коэффициенты характеристического многочлена этой матрицы не меняются прн переходе к другому базису. В частности, определитель с)е1 А и след а1~ + аза + ... + а„„ матрицы А, как коэффициенты характеристического многочлена, являются инвариантами. Нам остается доказать инвариантность определителя г)е$ В при преобразовании ортонормированного базиса в ортонормированный. Приступим к этому доказательству. Применим следующий прием. Введем обозначения Ьь = аь „Фн Ь = 1, 2,..., н, с = а„т1 „ен Тогда уравнение (7.66) гиперповерхности 97) 209 ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА можно записать следующим образом: а-Р ! и ах ха=О, у.
в=1 (7.91) где ха+1 —— 1. Рассмотрим преобразование переменных хи хш ..,, х„, х„е1 в переменные хи х~з,..., х'„, х'„„и при котором первые и переменных преобразуются по формулам (7.75), а переменная х„т1 преобразуется по ! формуле х„т~ = х„ты Ясно, что это преобразование переменных можно рассматривать как преобразование координат при преобразовании ортонормированного базиса еы ез,..., е„, е„т1 (и + !)-мерного евклидова пространства, причем матрица Р этого преобразования имеет вид О (7.92) Легко видеть, что матрица Р удовлетворяет условию Р' = Р ' и поэтому является ортогональной. Но тогда, согласно п. 2 этого параграфа, ортонормированный базис еы еш ..., е„, е„т~ преобразуется с помощью матрицы Р в ортонормированный базис. Выше было выяснено, что при таком преобразовании матрицы В квадратичной формы определитель а)ет В этой матрицы представляет собой инвариант.
Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Из рассуждений в доказательстве теоремы следует, что инвариантами общего уравнения гиперповерхности второго порядка будут также величины гвп8А и гап8 В. 6. Центр гиперповерхпости второго порядка. Попытаемся найти такой параллельный перенос, при котором общее уравнение (7.76) не содержало бы слагаемого 2В'(х') (или, если обратиться к уравнению (7,82), то слагаемых 2 2 Ь'„х~). в=1 Иными словами, будем искать параллельный перенос (т.е. коора динаты ти хз, ..., х„точки х), при котором обратятся в нуль все коэффициенты Ь' . Обращаясь к формулам (7.84), найдем, что искомые а координаты хи хш ..., х„точки х представляют собой решение следующей системы линейных уравнений.
азах +Ьь=О, Ь=1,2, ...,и (7. 93) 1=! Уравнения (793) называются урпвнеииями центра гиперповерхноа а сти второго порядка, а точка х с координатами (хы хш ..., х„), где а (хи ха, ..., х„) решение системы (7.93), называется центром этой поверхности. (гл. 7 210 БилинеЙные и квлдРлтичные ФОРмы Поясним наименование «центрь гиперповерхности. Пусть начало координат помещено в центр х, т.е.
произведен искомый' параллельный перенос. Тогда уравнение поверхности Я примет вид п аьх ха+с =О. (7.94) у. ь=! Пусть точка х с координатами хн х,', ..., х'„расположена на В. Это означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению (7.94). Очевидно, точка — х с координатами — хн — х,'„..., — х'„, симметричная точке х а относительно точки х, также расположена на Я, ибо ее координаты тоже удовлетворяют уравнению (7.94). Таким образом, если у гиперповерхности Я есть центр, то относительно центра точки Я располагаются симметрично парами. 3 а м е ч а н и е 1. Если гиперповерхность Я второго порядка имеет центр, то инварианты деС А, деС В и свободный член с' в уравнении (7.94) связаны соотношением с1еС В = с' деС А.
(7.95) Действительно, для уравнения (7.94) получим а!! ... а! 0 т(еС В = а„! ... а„„О 0 ... 0 с' Из последней формулы и вытекает (7.95). Наличие центра у гиперповерхности второго порядка связано с разрешимостью уравнений центра (7.93). Если уравнения центра имеют единственное реи!ение, то гиперповерхность Я будем назьгвать центральной. Так как определитель системы (7.93) равен г(еС А, а необходимым и достаточным условием существования единственного решения этой системы является отличие от нуля ее определителя, то мы можем сделать следующий вывод: для того чтобы гипгрповгрхность Я бь!ла центральной, необходимо и достатоСно, чтобы ССеС А Е': О.
3 а м е ч а н и е 2. Если начало координат перенесено в центр центральной гиперповерхности Я, то уравнение этой гиперповерхности будет иметь вид а ьх ха+ =О. г1еС В (7.96) г$еС А ха=! Действительно, после переноса начала в центр уравнение гиперповерхности примет вид (7.94). Так как для центральной гиперповерхности г)еС А у': О, то из формулы (7.95) найдем с' = деС В/ с(еС А. Подставляя это выражение для с' в формулу (7.94), мы и получим уравнение (7.96). 7. Стандартное упрощение любого уравнения гиперповерхности второго порядка путем преобразования ортонормированного базиса.
По теореме 7.8 существует такой ортонормированный базис, 97) 211 ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА в котором квадратичная форма А(х,х) записывается в виде суммы квадратов. Обозначим этот базис через (еь), а координаты точки х в этом базисе обозначим через я'!,л',...,л'„. Кроме того, буквами Л1, Лз,..., Л„ обозначим собственные значения самосопряженного оператора А,матрица которого в ортонормированном базисе совпадает с матрицей квадратичной формы А(х,х) (см. замечание в п.4 этого параграфа).
Используя теперь выводы теоремы 7.8, запишем квадратичную форму А(х, х) в координатах (л!, я!1, ..., л'„) точки х в базисе следующим образом: А(х, х) = 2 Льх'ь . (7.97) Итак, перейдем от базиса (еь) к базису (еД. Так как формулы преобразования координат точек при таком преобразовании линейны и однородны (см. замечание п.2 этого параграфа, формулы (7.75)), то группа старших членов и линейная часть уравнения гиперповерхности Я преобразуются автономно, На основании этого и в силу (7.97) уравнение гиперповерхности Я в базисе ~е'„) будет иметь следующий вид '): п и Ляль + 2 ~ 6'„х'ь + с = О. ь=! ь=! (7.98) Приведение любого уравнения гиперповерхности Я второго порядка к виду (7.98) будем называть стандартным упрогчением этого уравнения (путем преобразования ортонормированного базиса). 8. Упрощение уравнения центральной гиперповерхности второго порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
