Главная » Просмотр файлов » В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра

В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 45

Файл №1152751 В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра) 45 страницаВ.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751) страница 452019-08-03СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 45)

1 в2 гл.5, формуле (5.!3), могУт быть найдены из Равенств Ае~ = 2 ' а рер. р=1 Умножим обе части последнего соотношения скалярно на ею Тогда, учитывая ортонормированность базиса(ее), получим (Ае, еь) = аул. Так как А(е,, еь) = (Аеьо еь), то а,ь = аую Утверждение замечания доказано. б. Инварианты общего уравнения гиперповерхности второго порядка.

Назовем инвариантом общего уравнения (7.62) (или (7.66)) гиперповерхности второго порядка относительно параллельных переносов и преобразований ортогональных базисов в ортогональные такую функцию 7(а~и ащ,..., а„„, Ьп Ьв, ..., Ь„, с) коэффициентов этого уравнения, значение которой не меняется при указанных преобразованиях пространства. Докажем следующее утверждение. Теорема 7.!1. Инвариантами общего уравнения (762) (или (7.66)) гиперповерлности второго порядка являются коэффициенты характеристического многочлена матрицы А квадратичной формы А(х, х) и определитель с!еь В матрицы В в соотношении (7.67).

В частности, инвариантами являются де! А и след а11+ аза + ... + а„„матрицы А. Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, инвариантность перечисленных в условии теоремы величин достаточно доказать отдельно для параллельного переноса и преобразования ортонормированного базиса в ортонормированный. Рассмотрим сначала параллельный перенос. В п.3 этого параграфа мы установили, что при этом преобразовании группа старших членов сохраняет свой вид (см.

формулу (7.79)). Поэтому не меняется матрица А, а следовательно, н характеристический многочлен этой матрицы. Докажем инвариантность де! В. (гл. 7 208 БилинеЙные и квлдРлтичные ФОРмы При параллельном переносе (7.68) (или (7.69)) матрица преобразуется в матрицу В', определитель которой, согласно (7.82), имеет вид Р оп ... а1„Ь~ (7.89) с1е1 В агп ... а„„Ь'„ Ь1 .. Ь'„с' где величины Ь'„и с' определяются по формулам (7.84) и (7.85). Вычтем из элементов последней (и. + 1)-й строки определителя (7.89) элементы первой строки, умноженные на лн затем элементы о второй строки, умноженные на ла и т.д., и, наконец, элементы и-й строки, умноженные на м„. Так как при таких преобразованиях определитель не меняется, то, используя (7.84) и (7.85), получим соотношение ь', а~~ ...

аы с)ет В' а„1 ... а Ь„ (7.90) Вычтем теперь из элементов последнего (и+ 1)-го столбца определителя (7.90) элементы первого столбца, умноженные на хн затем элементы второго столбца, умноженные на ма, и т.д., и, наконец, элемено ты п-го столбпа, умноженные на м„. Так как при таких преобразованиях определитель не меняется, то, используя соотношение а ь = аьч вытекающее из симметричности формы А(х, у), и формулу (7.84), мы получим в результате с)ет В. Итак, равенство с)ет В' = с)ет В доказано. Следовательно, с)е1 В инвариантен относительно параллельных переносов.

Рассмотрим теперь преобразование ортонормированного базиса в ортонормированный. Во-первых, убедимся, что коэффициенты характеристического многочлена матрицы А квадратичной формы являются инвариантами рассматриваемого преобразования. В предыдущем пункте мы установили, что при переходе к новому ортонормнрованному оазису матрипа А изменяется как матрица некоторого линейного оператора.

Но в таком случае, как следует из замечания 1 п.З 82 гл.5, коэффициенты характеристического многочлена этой матрицы не меняются прн переходе к другому базису. В частности, определитель с)е1 А и след а1~ + аза + ... + а„„ матрицы А, как коэффициенты характеристического многочлена, являются инвариантами. Нам остается доказать инвариантность определителя г)е$ В при преобразовании ортонормированного базиса в ортонормированный. Приступим к этому доказательству. Применим следующий прием. Введем обозначения Ьь = аь „Фн Ь = 1, 2,..., н, с = а„т1 „ен Тогда уравнение (7.66) гиперповерхности 97) 209 ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА можно записать следующим образом: а-Р ! и ах ха=О, у.

в=1 (7.91) где ха+1 —— 1. Рассмотрим преобразование переменных хи хш ..,, х„, х„е1 в переменные хи х~з,..., х'„, х'„„и при котором первые и переменных преобразуются по формулам (7.75), а переменная х„т1 преобразуется по ! формуле х„т~ = х„ты Ясно, что это преобразование переменных можно рассматривать как преобразование координат при преобразовании ортонормированного базиса еы ез,..., е„, е„т1 (и + !)-мерного евклидова пространства, причем матрица Р этого преобразования имеет вид О (7.92) Легко видеть, что матрица Р удовлетворяет условию Р' = Р ' и поэтому является ортогональной. Но тогда, согласно п. 2 этого параграфа, ортонормированный базис еы еш ..., е„, е„т~ преобразуется с помощью матрицы Р в ортонормированный базис. Выше было выяснено, что при таком преобразовании матрицы В квадратичной формы определитель а)ет В этой матрицы представляет собой инвариант.

Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Из рассуждений в доказательстве теоремы следует, что инвариантами общего уравнения гиперповерхности второго порядка будут также величины гвп8А и гап8 В. 6. Центр гиперповерхпости второго порядка. Попытаемся найти такой параллельный перенос, при котором общее уравнение (7.76) не содержало бы слагаемого 2В'(х') (или, если обратиться к уравнению (7,82), то слагаемых 2 2 Ь'„х~). в=1 Иными словами, будем искать параллельный перенос (т.е. коора динаты ти хз, ..., х„точки х), при котором обратятся в нуль все коэффициенты Ь' . Обращаясь к формулам (7.84), найдем, что искомые а координаты хи хш ..., х„точки х представляют собой решение следующей системы линейных уравнений.

азах +Ьь=О, Ь=1,2, ...,и (7. 93) 1=! Уравнения (793) называются урпвнеииями центра гиперповерхноа а сти второго порядка, а точка х с координатами (хы хш ..., х„), где а (хи ха, ..., х„) решение системы (7.93), называется центром этой поверхности. (гл. 7 210 БилинеЙные и квлдРлтичные ФОРмы Поясним наименование «центрь гиперповерхности. Пусть начало координат помещено в центр х, т.е.

произведен искомый' параллельный перенос. Тогда уравнение поверхности Я примет вид п аьх ха+с =О. (7.94) у. ь=! Пусть точка х с координатами хн х,', ..., х'„расположена на В. Это означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению (7.94). Очевидно, точка — х с координатами — хн — х,'„..., — х'„, симметричная точке х а относительно точки х, также расположена на Я, ибо ее координаты тоже удовлетворяют уравнению (7.94). Таким образом, если у гиперповерхности Я есть центр, то относительно центра точки Я располагаются симметрично парами. 3 а м е ч а н и е 1. Если гиперповерхность Я второго порядка имеет центр, то инварианты деС А, деС В и свободный член с' в уравнении (7.94) связаны соотношением с1еС В = с' деС А.

(7.95) Действительно, для уравнения (7.94) получим а!! ... а! 0 т(еС В = а„! ... а„„О 0 ... 0 с' Из последней формулы и вытекает (7.95). Наличие центра у гиперповерхности второго порядка связано с разрешимостью уравнений центра (7.93). Если уравнения центра имеют единственное реи!ение, то гиперповерхность Я будем назьгвать центральной. Так как определитель системы (7.93) равен г(еС А, а необходимым и достаточным условием существования единственного решения этой системы является отличие от нуля ее определителя, то мы можем сделать следующий вывод: для того чтобы гипгрповгрхность Я бь!ла центральной, необходимо и достатоСно, чтобы ССеС А Е': О.

3 а м е ч а н и е 2. Если начало координат перенесено в центр центральной гиперповерхности Я, то уравнение этой гиперповерхности будет иметь вид а ьх ха+ =О. г1еС В (7.96) г$еС А ха=! Действительно, после переноса начала в центр уравнение гиперповерхности примет вид (7.94). Так как для центральной гиперповерхности г)еС А у': О, то из формулы (7.95) найдем с' = деС В/ с(еС А. Подставляя это выражение для с' в формулу (7.94), мы и получим уравнение (7.96). 7. Стандартное упрощение любого уравнения гиперповерхности второго порядка путем преобразования ортонормированного базиса.

По теореме 7.8 существует такой ортонормированный базис, 97) 211 ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА в котором квадратичная форма А(х,х) записывается в виде суммы квадратов. Обозначим этот базис через (еь), а координаты точки х в этом базисе обозначим через я'!,л',...,л'„. Кроме того, буквами Л1, Лз,..., Л„ обозначим собственные значения самосопряженного оператора А,матрица которого в ортонормированном базисе совпадает с матрицей квадратичной формы А(х,х) (см. замечание в п.4 этого параграфа).

Используя теперь выводы теоремы 7.8, запишем квадратичную форму А(х, х) в координатах (л!, я!1, ..., л'„) точки х в базисе следующим образом: А(х, х) = 2 Льх'ь . (7.97) Итак, перейдем от базиса (еь) к базису (еД. Так как формулы преобразования координат точек при таком преобразовании линейны и однородны (см. замечание п.2 этого параграфа, формулы (7.75)), то группа старших членов и линейная часть уравнения гиперповерхности Я преобразуются автономно, На основании этого и в силу (7.97) уравнение гиперповерхности Я в базисе ~е'„) будет иметь следующий вид '): п и Ляль + 2 ~ 6'„х'ь + с = О. ь=! ь=! (7.98) Приведение любого уравнения гиперповерхности Я второго порядка к виду (7.98) будем называть стандартным упрогчением этого уравнения (путем преобразования ортонормированного базиса). 8. Упрощение уравнения центральной гиперповерхности второго порядка.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
20,4 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее