В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 41
Текст из файла (страница 41)
... + ощР„= 0). Так как р > д, то число однородных уравнений (7.34) меньше и, и поэтому система (7.34) имеет ненулевое решение относительно координат бн..., б„искомого вектора х. Следовательно, если р > г1, то существует ненулевой вектор х, для которого выполняются соотношения (7.34). Подсчитаем значение формы А(х, х) для этого вектора х. Обращаясь к соотношениям (7.31) и (7.33), получим А(х, ) = — ~~~~, — ... — ~~~ — — ~~~+(~а+ ... + ~~~.
Последнее равенство может иметь место лишь в случае г1чэ1 = ... = г1Л = 0 и (( = чэ = ... = чр — О. Таким образом, в некотором базисе все координаты ~н ~ю..., ~„ ненулевого вектора х равны нулю (см. последние равенства н соотношения (7.34)), т.е. вектор х равен нулю. Следовательно, предположе- !9! злкон инеРции квлдРлтичных ФОРМ ние р > д ведет к противоречию. По аналогичным соображениям ведет к противоречию и предположение р < д. Итак, р = д.
Теорема доказана. 2. Классификация квадратичных форм. В п. 1 92 этой главы (см. определение 2) были введены понятия положительно определенной, отрицательно определенной, знакопеременной н квазизнакоопределенной квадратичных форм. В этом пункте с помощью понятий индекса инерции, положительного и отрицательного индексов инерции квадрата формы мы укажем, каким образом можно выяснить принадлежность квадратичной формы к тому или иному из перечисленных выше типов.
При этом индексом инерции квадратичной формы будем называть число отличных от нуля канонических коэффициентов этой формы (т. е. ее ранг), положительным индексом инерции — число положительных канонических коэффициетов, отрицательным индексом инерции — число отрицательных канонических коэффициентов. Ясно, что сумма положительного и отрицательного индексов инерции равна индексу инерции.
Итак, пусть индекс инерции, положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы А(х, х) соответственно равны 1с, р и д (к = р+ д). В предыдущем пункте было доказано, что в любом каноническом базисе 7 = (Т!, Гю ..., Г„) эта форма может быть приведена к следующему нормальному виду: А(х, х) = п~! + г1~~ + ... + П~~ — г1~~ ! — ... — ггьь, (7.35) где г!!, г!ю..., г1„координаты вектора х в базисе 7 1'. 1геобходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы. Справедливо следующее утверждение. Для того члпобы квадратичная форма А(х, х), заданная в п-мерном линейном пространстве Т,, была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы либо положительнгяй индекс инерции р, либо отрицательный индекс инерции у бгял равен размерности п пространства Т.
При этом, если р = и, то форма положительно определенная, если же д = п, то форма отрицательно определенная. Доказательство. Так как случаи положительно определенной формы н отрицательно определенной формы рассматриваются аналогично, то доказательство утверждения проведем для положительно определенных форм. 1) Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть форма А(х, х) положительно определена. Тогда выражение (7.35) примет вид А(х, х) = г!! -!- цгз + ... + ц~. Если при этом р < и, то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами пл =О, па=О, ..., п„=О, и„+, ~О, ..., И„~О (гл.
7 192 БилинеЙные и квлдРлтичные ФОРмы форма А(х, х) обращается в нуль, а это противоречит определе- нию положительно определенной квадратичной формы. Следовательно, р = и. 2) Достаточность. Пусть р = п. Тогда соотношение (7.35) имеет вид А(х, х) = г!~~ + г!з~ + ... + г!р. Ясно, что А(х, х) > О, причем, если А = О, то гп = цз = ... = уп = О, т. е. вектор х нулевой.
Следовательно, А(х, х) — положительно определенная форма. 3 а м е ч а н и е. Для выяснения вопроса о знакоопределенности квад- ратичной формы с помощью указанного признака мы должны привести эту форму к каноническому виду. В следующем пункте мы докажем критерий Сильвестра знако- определенности квадратичной формы, с помощью которого можно вы- яснить вопрос о знакоопределенности формы, заданной в любом базисе без приведения к каноническому виду. 2'.
Необходимое и достаточное условие знакопеременноети квадратичной формы. Докажем следующее утверждение. Для того чтобы квадрати тая форма была зчакопеременной, необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и от- рицательньш' индексы инерции этой формы бгяли отличньг от нуля. Доказательство. !) Необходимость. Так как знакопере- менная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, то ее представление (7.35) в нормальном виде должно со- держать как положительные, так и отрицательные слагаемые (в про- тивном случае эта форма принимала бы либо неотрицательные, либо неположительные значения). Следовательно, как положительный, так и отрицательный индексы инерции отличны от нуля.
2) Достаточность. Пусть р у': О и у ~ О. Тогда для векто- Ра хн с кооРдинатами г!1 У: О, ..., Ор ф О, г!РФ1 = О, ..., г!„= О имеем А(хн х|) > О, а для вектора хз с координатами г11 = О,... ..., г!р — — О, г!Рч1 ф О, ..., г!„~ О имеем А(хэ, ха) < О. Следовательно, форма А(х, х) является знакопеременной. 3'. Необходимое и достаточное условие квазизнакоопределен- ности квадратичной формы. Справедливо следующее утверждение. Для того чтобы форма А(х, х) была квазизнакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы вьтолнялись соотношения: либо р<п, 9=0,либор=О, д<п.
Доказательство. Мы рассмотрим случай положительно ква- зизнакоопределенной формы. Случай отрицательно квазизнакоопреде- ленной формы рассматривается аналогично. !) Необходимость. Пусть форма А(х, х) положительно ква- зизнакоопределенная. Тогда, очевидно, д = О и р < и (если бы р = и, то форма была бы положительно определенной), 2) Дос таточ ность. Если р < и, у = О, то А(х, х) > О и для ненулевого вектора х с координатами г!1 = О, т!э = О, ..., г!р = О, г!рч1 т= = О, ..., г!„у'= О имеем А(х, х) = О, т.е.
А(х, х) — положительно квазизнакоопределенная форма. !93 злкон инеРции квлдРлтичных ФОРМ 3. Критерий Сильвестра ') знакоопределенности квадратичной формы. Пусть форма А(х, х) в базисе е = (ег, ег,..., е„) определяется матрицей А(е) = (а0): А(х, х) = 2 аеа6Дач су=! ап ... а! и пусть а."а! = агг, саг = " '-, ..., гз„= ............ — угловые аа! аг! а„! ... а„ миноры и определитель матрицы (а,.).
Справедливо следующее утверждение. Теорема 7.6 (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма А(х, х) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнень! неравенства дг! > О, саг > О, ..., йг„ > О. Для того чтобы квадратичная форма бьгла отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем Ь! < О. Дока з а т е л ь с т в о. ! ) Н е о б х о д и м о с т ь. Докажем сначала, что из условия знакоопределенности квадратичной формы А(х,х) следует гх! ф О, а = 1, 2,..., и. Убедимся, что предположение гаь = 0 ведет к противоречию при этом предположении существует ненулевой вектор х, для которого А(х, х) = О, что противоречит знакоопределенности формы.
Итак, пусть гаа = О. Рассмотрим следующую квадратную однородную систему линейных уравнений: аг!с! + аггсг+... + агась = О, ам 6! + аггчег + .. + агьчь = О, (7.36) аа,ч! + аьгбг+ ... + аььсь = О. Так как ааь .— определитель этой системы и саа = О, то система имеет ненулевое решение гг, бг, ..., ~ь (не все 6! равны 0). Умножим первое из уравнений (7.36) на (!, второе на ~г, ..., последнее на бь и сложим полученные соотношения. В результате получим рая венство 2 ' а,а~!Ел = О, левая часть которого представляет собой !.у=! значение квадратичной формы А(х, х) для ненулевого вектора х с координатами (б1, бг,..., 6ь, О,..., 0).
Это значение равно нулю, что противоречит знакоопределенности формы. Итак,мы убедились, что Ь! ~ О, а = 1, 2,...,п. Поэтому мы можем применить метод Якоби приведения формы А(х,х) к сумме квадратов (см. теорему 7А) и воспользоваться формулами (7.27) для канонических коэффициентов йн Если А(х,х) — положительно определенная форма, то все канонические коэффициенты положительны. Но тогда ')Джемс Джозеф Сильвестр (1814-1897) — английский математик. 7 Лапейааа алгебра (гл. 7 194 БилинеЙные и кВАДРАтичные ФОРмы из соотношений (7.27) следует, что !з! > О, Ья > О, ..., Ь„> О. Если же А(х,х) отрицательно определенная форма, то все канонические коэффициенты отрицательны.
Но тогда из формул (7.27) следует, что знаки угловых миноров чередуются, причем Ь! < О. 2) Достаточность. Пусть выполнены условия, наложенные на угловые миноры астр в формулировке теоремы. Так как Ь! ~ О, ! = = 1, 2, ..., и, то форму А можно привести к сумме квадратов методом Якоби (см, теорему 7.4), причем канонические коэффициенты Л; могут быть найдены по формулам (7.27). Если Ь! > О, Ьз > О, ..., Ь„> О, то из соотношений (7.27) следует, что все Л; > О, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
