В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Теорема доказана. Введем теперь понятие ортогональной матрицы Р. Определение 2. Матрица Р называется ортогональной, если Р'Р = РР' = 1, (5.121) где Тн — транспонированная матрица, а 1 — единичная матрица. Если е!, ез,, .., е„— ортонормированный базис в евклидовом пространстве 1г, то оператор Р является ортогональным тогда и только тогда, когда его матрица в базисе (еь) ортогональна. Непосредственно из равенства (5.121) следует, что если матрица Р = (рь) является ортогональной, то ! ! при !с = й (О при к ~1.
ь=! (гл. 5 152 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРЛТОРЫ В комплексном евклидовом пространстве аналогом ортогональной матрипы является унитарная матрица. Именно, матрица ст называется унитарной, если выполняется соотношение (5.122) в котором Ьг* — эрмитово сопряженная матрица, т.е. ЕГ* = Г, где штрих означает транспонирование, а черта — комплексное сопряжение.
Нетрудно показать, что в ортонормированном базисе матрица линейного оператора С является унитарной тогда и только тогда, когда оператор 13 является унитарным. В заключение рассмотрим для примера ортогональные преобразования в одномерном и двумерном пространствах. В одномерном случае каждый вектор х имеет вид х = ае, где а— вещественное число и е — вектор, порождающий данное пространство.
Тогда Ре = Ле, и так как (Ре, Ре) = Лз(е, е) = (е, е), то Л = ш1. Таким образом, в одномерном случае существуют два ортогональных преобразования: Р,х = х и Р х = — х. В двумерном случае каждое ортогональное преобразование определяется в произвольном ортонормированном базисе ортогоУа ЬЛ нальной матрицей порядка 2, т.е, матрицей Р = ( „) . Из усло(с вия РР' = Р'Р = 1 следует аа+Ь =1, аз=0~, Ьз= с~, ас+ДЬ=О, аЬ+сй=О. Полагая а = соя у, 6 = — з1п у, получаем, что каждая ортогональная матрица порядка 2 имеет вид 1' сову — гйп у Л ~~з1пу ~сову/' причем во второй строке в обоих случаях следует брать либо знак +, либо знак — .
Отметим, что г1е1 Р~ = ш1. Ортогональная матрица Рэ называется собственной, а ортогональная матрица Р— несобственной. Оператор Рэ с матрицей Р в ортонормированном базисе еи еа осуществляет поворот в плоскости еи еа па угол у. Для того чтобы выяснить, как действует оператор Р с матрицей Р, введем матрицу Я = (О ), совпадающую с Р при у = О, и за- /1 От метим, что Р = ОРэ. Матрице Я отвечает отражение плоскости относительно оси еи следовательно, действие оператора Р заключается в повороте на угол у и последующем отражении. Заметим, что векторы Р еи Рэез образуют, в силу ортогональности Р,, ортонормированный базис и в этом базисе матрица оператора Р совпадает с Я, т.е.
является диагональной. В обцгем случае, когда ортогональный оператор Р действует в и;мерном евклидовом пространстве, существует ортонормированный 153 й9~ ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ базис еы ез,..., е„, в котором матрица оператора Р имеет вид 1 1 — 1 — 1 — Мп сп — соя 1с| соя Зя~ я|п сп соз Уь — Я1п 1Яя сйп уя — соя 1сь В этой матрице все элементы, кроме выписанных, равны нулю. Таким образом, в некотором ортонормированном базисе действие ортогонального оператора сводится к последовательным поворотам и отражениям относительно координатных осей.
Глава 6 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ И ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В настоящей главе изучаются различные методы решения системы линейных уравнений с вещественными коэффициентами относительно неизвестных, также принимающих вещественные значения. Все используемые на практике методы решения систем линейных уравнений можно разделить на две большие группы: точные методы и итерационные методы. Под точным методом решения понимается метод, теоретически позволяющий получить точные значения неизвестных в результате проведения конечного числа арифметических операций.
Примером точного метода может служить изложенный в гл. 3 метод, основанный на применении формул Крамера ') . Итерационные методы позволяют получить искомое решение лишь в виде предела последовательности векторов, построение которых производится с помощью единообразного процесса, называемого процессом итераций (последовательных приближений). Итерационные методы весьма удобны для использования современной вычислительной техники.
Изложению наиболее употребительных итерационных методов решения линейных систем посвящен 9 1 настоящей главы. Итерационные методы находят широкое применение и при решении другой важной вычислительной задачи линейной алгебры — так называемой полной проблемы собственных значений (так называют проблему отыскания всех собственных значений и отвечающих им собственных векторов заданной матрицы з)). В итерационных методах собственные значения вычисляются как пределы некоторых числовых последовательностей без предварительного определения коэффициентов характеристического многочлена. ') Практически метод, основанный на формулах Крамера, обычно не применяется, ибо он требует проведения очень большого числа арифметических операций и записей. Более удобным является точный метод, основанный на последовательном исключении неизвестных и называемый методом Гаусса )его изложение можно найти, например, в книге Фаддеев Д.
К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — Мл Физматгиз, )963, гл. 2) ) В отличие от этой проблемы, задачу отыскания некоторых (например, наибольших по модулю) собственных значений заданной матрицы называют частичной проблемой собственных значений. !55 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ В 32 настоящей главы разбирается один из самых важных (наиболее употребительных на ЭВМ) итерационных методов решений полной проблемы собственных значений так называемый метод враи1ений (или метод Якоби).
Этот метод применим ко всякой симметричной (или к эрмитовой) матрице, легко реализуется на ЭВМ и всегда сходится. Он устойчив по отношению к ошибкам округления результатов промежуточных вычислений и обладает тем замечательным свойством, что наличие кратных и близких друг к другу собственных значений не только не замедляет его сходимости, а напротив, ускоряет ее. Метод вращений, предложенный Якоби и известный еще с середины прошлого века, долгое время не находил практического применения из-за большого обьема вычислений, необходимых для его реализации.
И лишь появление быстродействующих электронных вычислительных машин сделало его самым эффективным методом решения полной проблемы собственных значений симметричных и эрмитовых матриц. ф 1. Итерационные методы решения линейных систем 1. Метод простой итерации (метод Якоби). Рассмотрим квадратную систему линейных уравнений с вещественными коэффициентами (3.10) (см.
и. 1 З2 гл.3), которую запишем в матричном виде (6.1) понимая под А основную матрицу системы он а|г ... вы агг агг ... аг„ (6.2) а~ а„г ... а„„ Ж! У~ а под Х и г векторы-столбцы вида Х =, г' = г, первый из Ж которых подлежит определению, а второй задан. Предлагая однозначную разрешимость системы (6.1), заменим матричное уравнение (6.!) эквивалентным ему матричным уравнением Х = Х вЂ” ТАХ+ тг, в котором через т обозначено вещественное число, обычно называемое стационарным параметром. С помощью этого последнего уравнения составим итерационную последовательность векторов (Хь), определив ее рекуррентным соотношением Хьэ| = Хь — ТАХь + тг (и = О, 1, ...) (6.3) при произвольном выборе «нулевого» приближения Хо. Метод простой итерации заключается в замене точного решения Х системы (6.!) й-й итерацией Хь с достаточно большим номером и.
Оценим погреганость ль = Хь — Х метода простой итерации. 156 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ (гл. 6 Из соотношений (6.3) и (6.1) сразу же вытекает следующее матричное уравнение для погрешности Уьл Уя,.1 = (Š— ТА)Уь, (6.4) где Š— единичная матрица порядка п.
Введем в рассмотрение норму вектора в пространстве Е" и операторную норму квадратной матрицы порядка п. Как обычно, назовем нормой вектора Х число ~~Х~~, равное корню квадратному из суммы квадратов координат этого вектора. Назовем операторной нормой произвольной матрицы А число ~~А~~, равное либо точной верхней грани отношения ()АХ)(/!)Х)( на множестве всех ненулевых векторов Х, либо (что то же самое) точной верхней грани норм )(АХ)! на множестве всех векторов Х, имеющих норму, равную единице. Итак, по определению )АХ! ~~А~~ = "'р ~~х~~ (6.5) (6,8) ') Матрица А называется симметричной, если А = А'. Напомним, что для любой симметричной матрицы А ') операторная норма этой матрицы равна наибольшему по модулю собственному значению этой матрицы (см. и.
4 35 гл. 5), т.е. )(А(( = гпах )Л,(. (6.6) Из (6.5) вытекает следующее неравенство, справедливое для любой матрицы А и любого вектора Х: )(АХ)( < !)А() )(Х)!. (6.7) Из матричного уравнения для погрешности (6.4) и из неравенства (6.7) мы получим, что для любого номера й РФ,1~! < 1~Š— тАй !~У,~~. Докажем теперь следующую простую, но важную теорему. Теорема 6.1. Для того чтобы итерационная последовательность (6.3) при любом выборе нулевого приближения Хо и при данном значении параметра т сходилась к точному решению Х системы (6.1), достаточно, чтобы было выполнено условие р = ))Š— ТА~~ < !. (6.9) При этом последовательность (6.3) сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем р.
В случае, если матрица А является симметричной, условие является и необходимым условием сходимости итерационной последовательности (6.3) при любом вгяборе нулевого приближения. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для установления достаточности условия (6.9) заметим, что из неравенства (6.8) вытекает следующее соотношение: ях3ья < ЗŠ— ТА~я"' 'Зкоа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
