В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 30
Текст из файла (страница 30)
ь=! Из этого выражения и из соотношения (5.82) получим (5.81). Теорелча доказана. Докажем теперь важную теорему об одновременном приведении двух квадратичных форм к сумме квадратов. Теорема 5.28. Пусть А(х, у) и В(х, у) — зрмитовы формы, определенные на всевозможных векторах х и у п-мерного линейного пространства К Допустим далее, что для всех ненулевых элементов х из 1У имеет место неравенство В(х, х) > О.
Тогда в пространстве Ъ' можно указать базис (еь) такой, что квадратичньче формь! А(х, х) и В(х, х) могут быть представлены в следующем виде: А(х, х) = 'ч ЛЕ15Е1~, (5.85) ь=! В(х, х) = 2 (8ь~~, (5.86) ь=! где Ль — вещественньче числа, а 5ь — координаты вектора х в базисе (еь). Доказательство. Так как свойства скалярного произведения и свойства эрмитовой формы В(х, у) при дополнительном требовании о том, что В(х, х) > О при х у-. О, формулируются одинаково, мы можем ввести в линейном пространстве 1У скалярное произведение (х, у) векто ов полагая Р (х, у) = В(х, у). Таким образом, 1У представляет собой евклидова пространство со скалярным произведением (5,87).
По теореме 5.27 можно указать в 1' такой ортонормированный базис (еь) и такие вещественные числа Ль, что в этом базисе квадратичная форма А(х,х) будет представлена в виде (5.85). С другой стороны, в любом ортонормированием базисе скалярное произведение (х,х), равное, согласно (5.87), В(х,х), равно сумме квадратов модулей координат вектора х. Таким образом, представление В(х, х) в виде (5.86) также обосновано. Теорелча доказана. 8 7.
Унитарные и нормальные операторы В этом параграфе рассматриваются свойства важного класса операторов, действующих в евклидовом пространстве 1У. Определение 1. Линейный оператор 17 из ЦГ, Ъ') называется унитарным, если для любых элементов х и у из 1У справедливо соотношение (ТТх, 1)у) = (х, у). (5.88) (гл. 5 138 линейные опеьатогы В дальнейшем соотношение (5.88) будем называть условием унитарности оператора. 3 а м е ч а н и е 1. Из условия (5.88) унитарности оператора следует, что для любого унитарного оператора Т) справедливо равенство '8'1)х'8' = 1х8. Отметим следующее утверждение. Если Л вЂ” собственное значение унитарного оператора 1), то (Л( = 1.
Действительно, если Л вЂ” собственное значение 1), то существует такой элемент е, что 8е8 = 1 и 1)е = Ле. Отсюда и из замечания 1 следуют соотношения )Л) = '8Ле8 = '81)е8 = '8е8 = 1. Утверждение доказано. Докажем следующую теорему. Теорема 5.29. Для того чтобы линейный оператор 1), действуюи!ий в евклидовом пространстве И, был унитарныл, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено соотношение (5.89) Доказательство. 1) Необходимость. Пусть оператор унитарный, т.е.
выполнено условие (5.88). Обращаясь к определению сопряженного оператора 1)*, можно переписать это условие в следующей форме '): (1)"1)х, у) = (х, у), (5.90) или, иначе, для любых х и у выполняется равенство ((~3'13 — 1)х, у) = О. Фиксируя в этом равенстве любой элемент х и считая у произвольным, получим, что линейный оператор Т)'11 — 1 действует по правилу (Т)*11 — 1)х = О. Следовательно, 1)*11 = 1. Совершенно аналогично можно убедиться, что 1111* = 1.
Таким образом, Т) и 1)' — взаимно обратные операторы, т. е. соотношение (5.89) выполнено. Необходимость условия теоремы доказана. 2) Достаточность. Пусть выполнено условие (5.89). Тогда, очевидно, Ш1* = О*13 = 1. Обращаясь к определению сопряженного оператора и используя только что написанные соотношения, получим при любых х и у равенства (1)х, Т)у) = (х, 11'Т)у) = (х, 1у) = (х, у). Таким образом, условие (5.88) унитарности оператора выполнено. Следовательно, оператор 11 унитарный.
Теорема доказана. ') Напомним, что оператор 11 называется сопряженным к оператору 11, если для любых х и у выполняется соотношение (х, 1!у) = (11"я, у). Полагая х = 11х, получим (5.90). й7) !39 УНИТАРНЫЕ И НОРМЛЛЬНЫЕ ОПЕРЛТОРЫ 3 а м е ч а н и е 2. В процессе доказательства теоремы установлено, что условие (5.88) унитарности оператора 13 и условие (5.91) эквивалентны. Таким образом, в основу определения унитарного оператора можно положить условие (5.91). Это условие также можно называть условием унитарности оператора с!. Введем понятие нормального оператора.
Определение 2. Линейный оператор А называется нормальным, если справедливо соотношение А*А = АА*. (5.92) Обращаясь к условию (5.91) унитарности оператора и к условию (5.92), мы видим, что любой унитарный оператор является нормальнь!м оператором. Нам понадобится следующее вспомогательное утверждение. Лемма.
Пусть А — нормальньгй оператор. Тогда оператор А и оператор А* имеют общий собственный элемент е такой, что !!е!! = 1 и справедливы соотношения Ае = Ле и А*е = Ле. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Л вЂ” собственное значение оператора А, и пусть йх = 1гег(А — Л1).
Иными словами, йх — множество всех элементов х таких, что Ах — Лх = О. Убедимся теперь, что если х принадлежит йх, то и А'х принадлежит йю Действительно, если Ах = Лх (т, е, х е 77х), то, поскольку А — нормальный оператор, А(А'х) = А'(Ах) = А*(Лх) = Л(А'х). Иными словами, вектор А'х является собственным вектором оператора А н отвечает собственному значению Л, т.е. принадлежит йх. Рассматривая далее оператор А* как оператор, действую!ций из йх в Яю и используя вывод следствия из теоремы 5.8 о том, что каждый линейный оператор имеет собственное значение, мы можем утверждать, что в Йх существует элемент е такой, что !!е!! = 1 и справедливы соотношения А*е = !ге и Ае = Ле. Используя эти соотношения и условие !!е!! = 1, найдем (Ае, е) = = (Ле, е) = Л!!е!!з = Л, (е, А*е) = (е, ре) = р!!е!!з = р.
Так как (Ае, е) = (е, А" е), то, очевидно, Л = р. Лемма доказана. Докажем теперь следующую теорему. Теорема 5.30. Пусть А — нормальньш" оператор. Тогда существует ортонормированный базис (еь), состоящии из собственных элементов операторов А и А'. Доказательство. Согласно только что доказанной лемме операторы А и А* имеют принадлежащий И общий собственный элемент е!, причем !!е!!! = 1. Собственные значения для операторов А и А*, соответствующие е!, равны соответственно Л! н Л!. (гл.
5 140 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРЛТОРЫ Пусть Р1 — ортогональное дополнение элемента е1 до пространства К Иными словами, 1ч — совокупность всех х, удовлетворяющих условию (х, е|) = О. Докажем, что если х принадлежит 1'н то Ах и А'х принадлежат Рн Действительно, если (х, е,) = О, то (Ах, е|) = (х, А е ) = (х, Л1е1) = Л1(х, е~) = О, т.е. Ах Е 1'ы Аналогично, если (х, е!) = О, то (А*х, е,) = (х, Ае,) = (х, Л|е|) = Л~(х, е,) = О, Ах = ')" Ль(х, еь)еь. ь=! Докажем, что сопряженный оператор А' действует по правилу А*у = 2 ' Ль(у, еь)еь.
(5.93) ') Представление (5.69) справедливо для любого оператора, имеющего п попарно ортогоиальиых собственных векторов. т.е. А*х е 1гы Таким образом, Ъ'! — инвариантное подпространство операторов А и А". Поэтому, по только что доказанной лемме, в подпространстве 1г1 существует общий собственный элемент ез операторов А и А' такой, что Аеа = Лзег, А*ез = Лзеа. Далее мы обозначим через Ъгз ортогональное дополнение элемента ея до Гн Рассуждая так же, как и выше, мы докажем, что в 1з есть общий собственный элемент ез операторов А и А' такой, что '5ез~~ = 1.
Продолжая аналогичные рассуждения, мы, очевидно, построим в пространстве Р' ортонормированный базис (еь), состоящий из собственных элементов операторов А и А*. Теорема доказана. Следствие 1. Пусть А — нормальный оператор. Существует базис (еь), в котором А имеет диагональную матрицу. Действительно, по только что доказанной теореме существует базис 4'еь) из собственных векторов оператора А. Согласно теореме 5.9 в этом базисе матрица оператора А диагональна. Следствие 2.
Унитарный оператор имеет полную ортонормированную систвму собственных векторов. Следующая теорема является обратной для теоремы 5.30. Теорема 5.3!. Если у дгиствующгго в и-мгрном гвклидовом пространстве 1г оператора А имеется и попарно оргпогональных собственных элементов ен ев,..., е„, то оператор А нормальный.
Д о к а з а т ел ь с т в о. Пусть (еь) — попарно ортогональиые собственные векторы оператора А. Тогда Аеь = Льеь и, согласно (5.69), имеет место следующее представление оператора А '): 48) !4! клноничкскии вид линейных опввлтогов Достаточно доказать, что для операторов А и А', определяемых соот- ношениями (5.69) и (5.93), справедливо равенство (х, А*у) = (Ах, у). (5.94) Подставляя в левую часть этого равенства выражение А*у по формуле (5.93), получим после несложных преобразований (х, А*у) = '> (х, Лй(у, ей)ей) = 2 Лй(у, ей)(х, ей) = й=! й=! Лй(х, ей)(ей, у) = (Ах, у). Таким образом, равенство (5.94) доказано, т.е. оператор А*, действующий по правилу (5.93), является сопряженным к оператору А. Чтобы завершить доказательство теоремы, нужно убедиться в справедливости равенства (5.92~! А'А = АА'.
Согласно (5.93) имеем ' АА'х = 2 Лу,(х, ей)Аей = й=! и и ЛйЛй(х, ей)ей = 2 ЛйЛй(х, ей)ей = А*Ах. Итак, для операторов А и А* справедливо равенство (5.92) и, следова- тельно, оператор А является нормальным. Теорема доказана. 98. Канонический вид линейных операторов В этом параграфе рассматривается вопрос о выборе для заданного линейного оператора специального базиса, в котором матрица этого оператора имеет простейший вид, называемый жорданоеой формой матриць!. Введем понятие присоединенного элемента оператора А.
Определение. Элемент х называется присоединеннь!м элементом оператора А, отвечающим собственному значению Л, если для некоторого целого т > 1 выполняются соотношения (А — Л1)™х ~! О, (А — Л1) е'х = О. При этом число т называется порядком присоединяемого элемента х. Иными словами, если х — присоединенный элемент порядка т, то элемент (А — Л1)™х является собстееннь!м вектором оператора А. В этом параграфе мы докажем следующую основную теорему. ') Лйы воспользовались также соотношениями Аей = Лйей. (гл.
5 !42 линеиные опеялтопы Теорема 5.32. Пусть А — линейнглй оператор, действующий в п-мерном евклидовом пространстве К Существует базис (еь ), к = 1, 2,..., 1; т = 1, 2, ..., пь! п1+ из+... + п! = и, (5.95) образованный из собственных и присоединенных векторов оператора А, в котором действие оператора А описывается следующими соотногиениями: Аеь = Ляеь 1 1 к = 1, 2,..., 1; (5.96) , 2, ..., 1; т = 2, 3, ..., пь .
Аеь' —— Льея +е~ ', !г = 1 Прежде чем перейти к доказательству, сделаем ряд замечаний. Замечание 1. Очевидно, векторы е„' базиса (5.95) являются собственными векторами оператора А, отвечающими собственным значениям Ль. Из определения присоединенных векторов и соотношений (5.96) следует, что векторы е™ (lь = 1, 2, ..., 1; т = 2, 3, ..., пь) являются присоединенными векторами порядка т., отвечающими собственным значениям Ль соответственно.
3 а м е ч а н и е 2. Обращаясь к формулам (5.13) и (5.12), мы видим, что соотношения (5.96) действительно определяют действие оператора А в пространстве Г при заданном базисе (е„ ). 3 а м е ч а н и е 3. Матрица А линейного оператора А в базисе (е„) имеет следующий «клеточныйь вид: л л О (5.97) А= О Л~ где клетка Ль представляет собой следующую матрицу: Ля ! О ... О О Ль 1 ... О л„= О О О ... ! О О О ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
