В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Ля (5.98) Замечание 4. Форма (5.97) матрицы А линейного оператора А называется жордановой формой матрицы этого оператора. При этом клетка Ль обычно называется жордановой клеткой матрицы А. Отметим, что теорему 5.32 о приведении матрицы оператора к простейшему виду (5.97) называют теоремой о приведении матрицы оператора к жордановой форме. Замечание 5. Жорданова форма матрицы (5.97) определена с точностью до порядка расположения клеток Ль по диагонали матрицы.
Этот порядок зависит от порядка нумерации собственных значений Лю 98! !43 клноничвский вид динкиных опьнлтогов Мы дадим доказательство теоремы 5.32, предложенное А.Ф. Филипповым '). Доказательство теоремы 532. Для доказательства теоремы применим метод индукции, При и = 1 утверждение теоремы очевидно. Пусть и > 1 и теорема верна для пространств размерности меньше и. Докажем, что при этом предложении она верна и для пространств размерности и. Этим и будет завершено доказательство теоремы. Пусть Л вЂ” собственное значение оператора А.
Согласно теореме 5.8 это число является корнем характеристического уравнения г(еС(А — Л1) = О. Следовательно, ранг г линейного оператора а) В = А — Л1 (5.99) меньше и, т.е, т < и.. Линейный оператор В отображает пространство !г на подпространство ппВ. Поэтому оператор В отображает подпространство ппВ размерности г < и в это же подпространство.
По предположению индукции в нп В есть базис ВЬь~ = рьЬлл,, й = 1, 2,..., р, (5.101) ВЬь — — рвЬь +Ь™, ', к=1,2,...,р; т=2,3,...,тл. Таким образом, в этом базисе матрица В оператора В, действующего из ни В в ни В з), имеет следующий клеточный вид: М~ Ма О и, ! О ... О О рь ! ... О где Мь = О 0 О ... 1 О Мт Обо...р, (5.102) Пусть лишь первые т~(т1 > 0) собственных значений оператора В равны нулю.
Так как ранг каждой клетки Ма (см. (5.102)), для которой рь = = О, равен ть — 1, а ранг клетки, для которой рь у= О, равен ть, то, р согласно (5.100), ранг матрицы В равен 2 гь — иг1 = т — ты Поэтому л=1 ') Филиппов А Ф. Краткое доказательство теоремы о приведении матрицы к жордановой форме 0 Вестник Московского университета. !97!. № 2. а) Напомним, что ранг т линейного оператора В равен размерности но В; согласно теореме 5.6 ранг т равен рангу матрицы этого оператора з) Символом В мы будем обозначать оператор В, действующий из ппВ в !п1В. (Ь~~), к=1,2,...,р; т=!,2, ...,га, т1+тз+ +гр:г, (5.100) в котором действие оператора В из ппВ в пи В дается следующими соотношениями: (гл. 5 144 линеиные Опеялтопы размерность подпространства кег В равна ги! ') и кегВ представляет собой линейную оболочку векторов Ь,', Ь,',..., Ь',. Эти векторы в силу линейной независимости образуют базис в 1сегВ.
Очевидно, кегВ с 1гегВ. Дополним базис Ь!!, Ь!, ..., Ь', в (гегВ до базиса в 1сегВ векторами мй, lс = 1, 2,..., то, пйо = п — г — т! (размерность 'кегВ по теореме 5.1 равна и — г)!ш ни В, т. е. Равна и — г). Так как яй е кегВ, то (5. 103) Обратимся теперь к векторам Ь"„', гг = 1, 2, ..., т,!, Поскольку эти векторы принадлежат пп В, то существуют такие векторы Гй е )', что Вуй =Ь„"', !с= 1, 2,..., пг!. (5. 104) Докажем теперь, что векторы Ьй (к=1,2,...,р; пи=1,2,...,гй), 8й (й=1,2,...,то) Гй (й=1,2,...,гп!) (5. 105) линейно независимы.
Рассмотрим следующую равную нулю линейную комбинацию г" этих векторов: Р пй тпо тп, г" = 2 2 ай Ьй + 2 Дйцй+ 2 уйгй = О. (5.10б) й=! ж=! й=! й=! Рассмотрим действие оператора В на этот элемент т. Получим, согласно (5.101), (5.103) и (5.104), следующее выражение: р гв ВГ = 2 ай!рйЬй+ 2 2 ай (рйЬй +Ь, ') + 2 7йЬ" = О. й=! й=! гпйа (5. 107) Соотношение (5.107) представляет собой равную нулю линейную комбинацию базисных векторов (Ь™), поэтому коэффициенты при этих векторах в указанной линейной комбинации равны нулю. Поскольку рй = 0 при гг < пг!, то из (5.107) следует, что коэффициенты при Ь'„" в точности равны тй, и поэтому гй = О.
Отсюда и из соотношения (5.!06) получаем равенства (5. 108) й=! ш=! из которых следует, что вектор я, представляющий собой линейную комбинацию векторов (яй), принадлежит кегВ (напомним, что векторы (яй) составляют часть базиса в !сегВ). С другой стороны, из (5.108) вытекает, что я представляет собой линейную комбинацию векторов Ь™, т.е.
принадлежит 1тВ. Следова- ') Ранг матрицы В равен г!!!и ппВ. Согласно теореме 5.1 г!!!и !и!В+ ч- г!!гп !гегВ = г. Следовательно, ей!и 'пег В = гп!. !45 й9! ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ тельно, я принадлежит кегВ (напомним, что кегВ есть пересечение ХП ( ппВ и 1сегВ), и поэтому и = 2 бьЬь. ь=! Так как линейные оболочки наборов векторов (яь) и (Ь,') имеют общим лишь нулевой элемент (эти наборы вместе образуют базис в кегВ) н, как ьиы установили, н принадлежит каждой из упомянутых линейных оболочек, то я = О.
Но тогда из (5.108) следует, что Дь = 0 (в=1,2,...,тв) иаь =0(в=!,2,...,р; ги=1,2,...,гь). Итак, все коэффициенты в линейной комбинации (5.106) векторов (5.105) равны нулю, т.е. векторы (5.105) линейно незаеисимьи Общее число векторов (5.105) равно г + птв + пты Так как птв = п— — т — гп~ (это было установлено выше, в доказательстве при введении векторов яь), то общее число векторов (5.105) равно и и поэтому они образуют базис в )с. Обозначим Гь = Ь;,'"' (5.109) и запишем векторы этого базиса в следующей последовательности серий: (К )' (аг); "; (й,г: СЬА ° ., Ьь", Ьь" ~ ), ь" = 1, 2,..., гп1', (5.110) ЕЬА "" Ь'") й= +1,", р Рассмотрим действие оператора В на векторы базиса (5.110) в пространстве )'. Обращаясь к соотношениям (5.101), (5.103), (5.104) и (5.109), убедимся, что действие В в базисе (5.110) дается соотношениями Вкь — — О, к=1,2,..., тв, ВЬА"э' =Ь'", ь'= 1,2,...,пм и соотношениями (5.101).
Итак, в базисе (5.!10) оператор В = А — ЛТ действует по правилу (5.96), указанному в формулировке теоремы 5.32. Но тогда в этом базисе и оператор А = В + ЛТ действует по этому же правилу. Теорема доказана. 9 9. Линейные операторы в вещественном евклидовом пространстве В этом параграфе мы покажем, каким образом определения и результаты предыдущих параграфов переносятся на случай вещественных евклидовых пространств. 1. Общие замечания. Рассмотрим произвольное п-мерное вещественное евклидово пространство Ъ' и оператор А, действующий из~'вК Понятие линейного оператора для случая вещественного линейного пространства формулируется в полной аналогии с соответствующим понятием для комплексного пространства. (гл.
5 14б ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРЛТОРЫ Определение 1. Оператор А называется линейным, если для любых элементов х б Ъ' ц у е И и любых вещественных чисел о и В выполняется равенство (5.1 1 1) А(о»+,Зу) = оА»+ 13Ау. В полной аналогии с комплексным пространством вводится понятие собственного значения и собственного вектора оператора. Важно заметить, что собственные значения являются корнями характеристического уравнения оператора. Обратное утверждение в вещественном случае верно лишь тогда, когда соответствующий корень характеристического уравнения вещественный. Только в этом случае указанный корень будет собственным значением рассматриваемого линейного оператора.
В связи с этим естественно выделить какой-либо класс линейных операторов в вегцественном евклидовом пространстве, все корни характеристических уравнений которых вещественны. В доказанной выше теореме 5.!б было установлено, что все собственные значения самосопряженного оператора вещественны. Кроме того, понятие самосопряженного оператора играло важную роль в выводах Эб настоящей главы о квадратичных формах.
Естественно поэтому перенести понятие самосопряженного оператора на случай вещественного пространства. Предварительно введем понятие оператора А*, сопряженного к оператору А. Именно оператор А* называется сопряженным к А, если для любых х и у из И выполняется равенство (А», у) = (», А*у).
Без затруднений на случай вещественного пространства переносится теорема 5.12 о существовании и единственности сопряженного оператора. Напомним, что доказательство теоремы 5.12 опирается на понятие полуторалинейной формы. В вещественном случае вместо полуторалинейной формы следует воспользоваться билинейной формой В(х, у). По этому поводу в п. 2 ~ 4 гл. 5 сделано соответствующее замечание. Напомним в связи с этим определение билинейной формы в любом вещественном, не обязательно евклидовом, линейном пространстве Б. Пусть  — функция, сопоставляющая каждой упорядоченной паре (х, у) векторов х Е! и у б В вещественное число В(х, у). Определение 2.
Функция В(», у) называется билинейной формой, заданной на В, если для любых векторов х, у и я из Ь и любого вещественного числа Л выполняются соотношения: В(»+ я, у) = В(», у) + В(я, у), В(», у+ я) = В(», у) + В(», я), (5. 112) В(Лх, у) = В(х, Лу) = ЛВ(х, у). Важную роль в данном параграфе будет играть специальное представление билинейной формы В(х, у) в виде В(», у) = (А», у), (5.113) 49) !47 линеиные ОпеРлтОРы где А — некоторый линейный оператор.
Соответствующая теорема (теорема 5.11) об аналогичном представлении полуторалинейной формы в комплексном пространстве опиралась на выводы леммы п.! 9 4 настоящей главы о специальном представлении линейной формы Г(х). В конце указанного пункта отмечалось, что эта лемма верна и в вещественном пространстве. Заметим только, что в доказательстве леммы выбор элементов Ьл нужно производить не по формуле (5.41), а с помощью формулы Ь" = Г" (еь), где у'(х) — данная линейная форма в вещественном пространстве.
В эб настоящей главы были введены эрмитовы формы. Эрмитова форма — это полуторалинейная форма В(х, у) в комплексном пространстве, характеризующаяся соотношением В(х, у) = В(у, х) (черта над В означает, что берется комплексно-сопряженное значение для В). В случае вещественного пространства аналогом эрмитовых форм служат симметричные билинейные формы. Такая форма характектеризуется соотношением (5. 114) В(х, у) = В(у, х) Билинейная форма В(х, у), заданная на линейном пространстве Л, называется кососимметричиой, если для любых векторов х и у из Т, выполняется соотношение В(х, у) = — В(у, х).
Очевидно, что для каждой билинейной формы функции В!(х, у) = — [В(х, у) + В(у, х)], 1 Вт(х, у) = — [В(х, у) — В(у, х)[ 1 2 являются соответственно симметричной и кососимметричной билинейными формами. Поскольку В(х, у) = В!(х, у) + Вэ(х, у), то мы получаем следующее утверждение. Любую билинейную форму можно представить в виде сумм!я симметричной и кососимметричной билинейной формы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
