В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Линейная алгебра (1152751), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Тогда Аеь = Лчеь, (5.34) и поэтому матрица А оператора А имеет вид (см. соотношения (5.13) и понятие матрицы линейного оператора) О Л! ... О (5.35) хп-Р ! Оьеь = О. ь=! (5.36) Тогда, используя свойства линейного оператора, получим ОААеь = О. ь=! (5.37) ') Напомним, что матрица называется диагональной, если все ее элементы, расположенные не на главной диагонали, равны нулю. т.е, является диагональнои. Пусть матрица А линейного оператора А в данном базисе (еь) диагональна, т.е.
имеет вид (5.35). Тогда соотношения (5.13) примут вид (5.34), а это означает, что еь — собственные векторы оператора А. Теорема доказана. Докажем еще одно свойство собственных векторов. Теорема 5.10. Пусть собственньсе значения Л!, Лш,,., Лр оператора А различны. Тогда отвечающие им собственные векторы е!, ея,..., ер линейно независимь!.
Доказательство. Применим индукцию. Так каке! — ненулевой вектор, то для одного вектора (р = 1) утверждение справедливо (один ненулевой вектор является линейно независимым). Пусть утверждение теоремы доказано для пь векторов е!, еш ..., е,„. Присоединим к этим векторам вектор е э! и допустим, что имеет место равенство (гл. 5 118 линеиные Опеялтогы Так как еь — собственные векторы, то Аеь = Льеь, и поэтому равенство (5.37) можно переписать следующим образом: иг-! оьЛьеь = О. ь=! (5.38) т-ь ! Согласно (5.36) )' Л ч.!оьеь = О. Вычитая это равенство из рая=! венства (5.38), найдем (Лр„.
— Л ы)!хьеь = О. ь=! (5.39) По условию все Ль различны, т. е. Ль — Л ч! ф О. Поэтому из (5.39) и предположения о линейной независимости векторов е!, ещ ..., е следует, что о! = оа = ... = о = О. Отсюда и из (5.36), а также из условия, что е +! собственный вектор (е„,в! ф: 0), вытекает, что сг .ы = О. Таким образом, из равенства (5.36) мы получаем, что о! = оа = ... = гх ь! = О. Это означает, что векторы е!, еа,.,,, е линейно независимы. Индукция проведена, и доказательство теоремы завершено.
С л е д с т в и е. Если характеристический многочлен оператора А имеет п различных корней, то в некотором базисе матрица оператора А имеет диагональный вид. Действительно, в рассматриваемом случае, согласно только что доказанной теореме, собственные векторы линейно независимы и поэтому могут быть выбраны в качестве базисных. Но тогда по теореме 5.9 в этом базисе матрица оператора А будет диагональной. 94. Линейные и полуторалинейные формы в евклидовом пространстве Т(х) = (х, Ь).
(5.40) Доказательство. Для доказательства существования элемента Ь выберем в Ъ' ортонормированный базис е!, ею ..., е„. 1. Специальное представление линейной формы в евклидовом пространстве. Пусть 1' — евклидово пространство, а С вЂ” комплексная плоскость (одномерное комплексное линейное пространство). В и.1 8 1 этой главы мы ввели понятие линейнои формы линейного оператора, действующего из (г в С. В этом пункте мы получим специальное представление произвольной линейной формы Т из Е((г, С).
Лемма. Пусть Т вЂ” линейная форма из Е(1г, С). Тогда суи1ествует единственный элемент Ь из (г такой, что линеиные и полутОРллинеиные ФОРмы !19 Рассмотрим элемент Ь, координаты Ьй которого в выбранном базисе определяются соотношениями ') 6 = 1(ей). (5. 41) Таким образом, Ь = 2 ' 6~ей. й=| и Пусть х = 2 и"ей — произвольный элемент пространства Ъ'. Исй=! пользуя свойства линейной формы 1' и равенство (5.41), получим и и г"(х) = 2 л 1(ей) = 2 х 6 й=| й=| (5.42) В(х, Лу) = ЛВ(х, у). Иными словами, полуторалинейная форма В(х, у) представляет собой числовую функцию двух векторных аргументов х, у, определенную ') Черта над Г (ей) означает, что берется комплексно-сопряженное значение этого выражения.
Так как в ортонормированном базисе (ей) скалярное произведеи и и ние (х, Ь) векторов х = 2 лйей и Ь = 2 ййей равно 2 Фй6й, то й=! й=! й=| из (5.42) получаем г(х) = (х, Ь). Существование вектора Ь доказано. Докажем единственность этого вектора. Пусть Ь| и Ьз — два векто- ра таких, что с помощью этих векторов форма ~(х) может быть пред- ставлена в виде (5.40). Очевидно, для любого х справедливо соотно- шение (х, Ь!) = (х, Ьз), из которого следует равенство (х, Ьз — Ь!) = =- О. Полагая в этом равенстве х = Ьз — Ь! и используя определение нормы элемента в евклидовом пространстве, найдем !!Ьз — Ь|!! = О.
Итак, Ьз = Ь|. Лемма доказана. 3 а м е ч а н и е. Очевидно, лемма справедлива и в случае, если И— вещественное евклидова пространство, а 1 Е В(И, гг), где В вещест- венная прямая. 2. Полуторалинейные формы в евклидовом пространстве. Спе- циальное представление таких форм. Введем понятие полуторали- нейной формы в линейном пространстве. Определение. Числовая функция В(х, у), аргументами которой являются всевозможные векторы х и у линейного пространства Л, называется поугуторалинеаной формой, если для любых векторов х, у и в из 2 и любого комплексного числа Л выполняются соотношения В(х+ у, к) = В(х, к) + В(у, я), В(х, у+ в) = В(х, у) + В(х, я), В(Лх, у) = ЛВ(х, у), (гл.
5 !20 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРЛТОРЫ на всевозможных векторах х и у линейного пространства То линейную по первому аргументу х и антилинейную по второму аргументу у. Замечание !. Если линейное пространство В является вещественным, то полуторалинейные формы переходят в так называемые билинейные формы, т.е.
формы, линейные по каждому из аргументов (четвертое из соотношений (5.43) в силу вещественности л будет характеризовать линейность и по второму аргументу). Билинейные формы изучаются в гл. 7. Обратимся к полуторалинейной форме, заданной в евклидовом пространстве 1г. Справедлива следующая теорема о специальном представлении такой формы. Теорема 5.11. Пусть В(х, у) — полуторалинейная форма в евнлидовом пространстве !г. Тогда существует единственный линейный оператор А из Д(И, 'Р') такой, что В(х, у) = (х, Ау). (5.44) Доказательство. Пусть у — любой фиксированный элемент пространства К Тогда В(х, у) представляет собой линейную форму аргумента х. Поэтому по лемме предыдущего пункта можно указать такой однозначно определенный элемент Ь пространства И, что (5 45) В(х, у) = (х, Ь).
Итак, каждому у из !' по правилу (5.45) ставится в соответствие единственный элемент Ь из К Таким образом, определен оператор А такой, что Ь = Ау. Линейность этого оператора элементарно следует из свойств (5.43) полуторалинейной формы и из свойств скалярного произведения. Докажем единственность оператора А. Пусть А| и Аз два оператора таких, что с помощью этих операторов форма В(х, у) может быть представлена в виде (5.44). Очевидно, для любых х и у справедливо соотношение (х, А1у) = (х, Аяу), из которого следует равенство (х, Азу — А1у) = О.
Полагая в этом равенстве х = Азу — А|у и используя определение нормы элемента, найдем ЕАяу — А|уз = О. Таким образом, для любого у из !г имеет место равенство Агу = = А~у, т. е. Аз = Аи Теорема доказана. Следствие. Пусть В(х, у) — аолуторалинейиая форма в евклидовом пространстве К Тогда существует единственный линейныи оператор А из В($', И) такой, что В(х, у) = (Ах, у). (5.46) Справедливость следствия вытекает из следующих рассуждений. Во-первых, форма В!(х, у) = В(х, у) является полуторалинейной (это следует из того, что В(х, у) — полуторалинейная форма, и из определения такой формы).
Далее, по теореме 5.11 получаем для В1(х, у) представление в виде В1(у,х) = (у, Ах). (5.47) линеиные и полутОРллинеиные ФОРмы Так как сопряженное значение от В!(х, у) равно В!(х, у), то, беря сопряженное значение левой и правой частей (5.47) и учитывая равенство В!(х, у) = В(х, у), получим В(х, у) = (у, Ах). (5.48) Но (у, Ах) = (Ах, у) (см. гл.4, ~3, и. 1). Поэтому из (548) получаем равенство (5,46). Следствие доказано. Замечание 2.
Теорема 5.11 и следствие из этой теоремы справедливы и для случая вещественного евклидова пространства. В этом случае в формулировке теоремы и следствия термин эполуторалннейная формаь надо заменить термином лбилинейная форма». См. также замечание 1. Введем понятие матрицы полуторалинейной формы в данном базисе (еь). и и Пусть х, у принадлежат Г н х = ~ х'е, у = ~ уьеь — разложез=! ь=! ння х и у по базису (еь). Из определения полуторалинейной формы следуют соотношения / и и и и В(х, у) = В ~ ~ ' хзе, ~ ' у"еь~ = ~ ' "> хзу "В(еч еь).
(549) з=! ь=! з=!ь=! Полагая 61ь = В(езч еь), (5.50) запишем выражение (5.49) в следующей форме: В(х, у) = 2' 6ьяхуу З, яи! Матрица В = (6ья) называется матрицей полуторалинейной формы В(х, у) в базисе (еь). Справедливо следующее утверждение. Пусть полуторалинейная форма В(х, у) представлена в виде (5.46) В(х, у) = (Ах, у). Пусть далее элементы матрицы А оператора А в данком ортокормированном базисе равнь! аз.
Тогда в этом базисе 6;ь = аз. Для доказательства обратимся к выражению (5.50) для коэффициентов 6гв полуторалинейной формы. Г1реобразуем правую часть (5.50) с помощью (5.46). Получим, согласно (5.13), 6 ь = В(е, еь) = (Аез, еь) = ( ~ а",ею еь = 2 аз(ею еь). ' ди! д=! Так как базис (еь) ортонормированный, то (ею еь) = О, если д ~ и и (еь, еь) = 1. Поэтому из всех слагаемых последней суммы отличным (гл. 5 122 линеиные опевлтопы от нуля будет лишь то, которое получается при е = Ь. Таким образом, Ь.ь = а .
Утверждение доказано. Заме.чан не 3. Если полуторалинейная форма представлена в виде В(х, у) = (х, Ау) и элементы матрицы А оператора А в данном ортонормированном базисе равны а,", то в этом базисе Ьль = а". ф 5. Линейные самосопряженные операторы в евклидовом пространстве (Ах, у) = (х, А'у). (5.51) Легко убедиться в том, что оператор А*, сопряженный к линейному оператору А, сам является линейным оператором. Это вытекает из очевидного соотношения (Ах, сгу~ + дут) = а(Ах, у,) +,3(Ах, уа) = = а(х, А*у,) + Д(х, А*уз) = (х, А*(ау~ + (ууа)), справедливого для любых элементов х, уп уа и любых комплексных чисел а и 13. Докажем следующую теорему. Теорема 5.12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
